人教A版选修2-21.3导数在研究函数中的运用同步练习.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
1.3导数在研究函数中的运用同步练习
1. 曲线f(x )=x ㏑x 在点x =1处的切线方程是（ ） A ． y=2x +2 B ．y=2x -2 C ．y=x -1
D ．y=x +1
答案：C
解析：解答：根据导数的几何意义求出函数f （x ）在x =1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可解：y=x ln x , y '=1×ln+x •1
x
=1+ln x , y '=1又当x =1时y=0，∴切线方程为y=x -1即x -y-1=0，故选：C
分析：此题主要考查导数的计算，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题 2.曲线y= 2
x
x -在点（1，-1）处的切线方程为 A ．y=x -2 B ．y=-3x +2 C ．y=2x -3
D ．y= -2x +1
答案：D
解析：解答：根据题意 ，由于曲线y=
2
x
x -,则可知其导数2222(2)(2)x x y x x ---'==--，故当
x =1时，则可知导数值为-2，则由点斜式方程可知为y= -2x +1，选D. 分析：主要是考查了导数在研究曲线的切线方程中的运用，属于基础题。

3. 函数2
1ln 2
y x x =-的单调递减区间为（ ） A.(-1，1]
B.(0，1]
C.[1，+∞)
D.(0，+∞)
答案：B
解析：解答：根据题意，对于函数21ln 2y x x =
-，由于1(1)(1)x x y x x x
-+'=-=（x >0），可知，当y ’<0时，则可知0<x <1能满足题意，故可知单调减区间为(0，1]，选B. 分析：本题考查利用导数求函数的单调区间，注意首先应求函数的定义域
4.已知f(x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c R ∈，且a ＋b>0，a ＋c>0，b ＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( ) A ．一定大于0 B ．一定等于0 C ．一定小于0 D ．正负都有可能 答案：A
解析：解答：由2
()31f x x '=+可知函数在定义域内为增函数,又3
()f x x x =+为奇函数，则a+b>0得a>-b ，()()()f a f b f b >-=-，故()()0f a f b +>，同理()()0f a f c +>，
()()0f b f c +>，三式相加可得2()2()2()0f a f b f c ++>，即()()()0f a f b f c ++>.
分析：此题利用函数的单调性解决不等式，有一定的技巧，属于中档题。

5. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '且函数(1)()y x f x '=-的图像如图所示，则下列结论一定成立的是（ ）
A ．函数()f x 的极大值是(2)f ，极小值是 (1)f
B ．函数()f x 的极大值是(2)f - ，极小值是(1)f
C ．函数()f x 的极大值是(2)f ，极小值是(2)f -
D ．函数()f x 的极大值是 (2)f -，极小值是(2)f 答案：D
解析：解答：当2x <-时，(1)()0x f x '->且10x ->，所以()0f x '>；当21x -<<时，
(1)()0x f x '-<且10x ->，所以()0f x '<；当12x <<时，(1)()0x f x '->且10x -<，所以()0f x '<；当2x >时，(1)()0x f x '-<且10x -<，所以()0f x '>。

综上可得2
x <-或2x >时，()0f x '>；当21x -<<或12x <<，即22x -<<时，()0f x '≤。

所以()f x 在(,2)-∞-和(2,)+∞上单调递增，在(2,2)-上单调递减。

当2x =-时()f x 取得极大值为
(2)f -；当2x =时()f x 取得极小值为(2)f 。

故D 正确。

分析：此题综合考察了函数，函数图像，导数的关系，难度较大
6.若函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.(,2]-∞-
B.(,1]-∞-
C.[2,)+∞
D.[1,)+∞
答案：D
解析：解答：1()f x k x '=-，由已知得()0f x '≥在(1,)x ∈+∞恒成立，故1
k x
≥，因为x >1，所以1
01x
<
<，故k 的取值范围是[1,)+∞． 分析： 非常函数f(x )在区间[a,b]上递增，则导函数()f x '在区间[a,b]上有()0f x '≥ 7. 函数()ln f x x x =，则（ ） A ．在 (0,)+∞上递增；
B ．在 (0,)+∞上递减；
C ．在 1(0,)e
上递增；
D ．在 1(0,)e
上递减
答案：D
解析：解答：因为函数()ln f x x x =，所以()f x '=ln x +1, ()f x ' >0,解得x >
1
e
,则函数的单调递增区间为1(,)e +∞，又()f x '<0,解得0<x <1e ,则函数的单调递减区间为(0, 1
e
).故选D.
分析：非常函数f(x )在区间[a,b]上递增，则导函数()f x '在区间[a,b]上有()0f x '≥，非常函数f(x )在区间[a,b]上递减，则导函数()f x '在区间[a,b]上有()0f x '≤
8. 已知定义域为R 的函数()f x 满足(4)3f =-，且对任意实数x ，总有()3f x '< 则不等式()f x ＜3x －15的解集为( ) A ．(﹣∞，4） B ．（﹣∞，﹣4）
C ．（﹣∞，﹣4）∪（4，﹢∞）
D ．（4，﹢∞） 答案：C
解析：解答：设()()(315)()315g x f x x f x x =--=-+,则所求的不等式解集可理解为使
()0g x <的解集.()g x 的导函数为()()3g x f x ''=-,根据题意可知()()30g x f x ''=-<对
任意实数x 恒成立,所以()g x 在R 上单调递减.则(4)(4)12150g f =-+=,令()0g x <,则
()(4)g x g <根据单调递减可知:4x >.
分析： 求不等式()f x ＜3x －15的解集，可以转化为求
()()(315)()315g x f x x f x x =--=-+0<的解集，考查构造函数，难度较大
9. 函数f （x ）的定义域为开区间（a ，b ），导函数f ′（x ）在（a ，b ）内的图象如下图所示，则函数f （x ）在开区间（a ，b ）内有极大值点的个数为（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 答案：B
解析：解答：函数()y f x =在点0x 处连续且0()0f x '=，若在点0x 附近左侧0()0f x '>，右侧0()0f x '<，则点0x 为函数的极大值点，满足定义的点有2个.
分析： 导数为0的点是函数极值的可疑点，当导函数图像从上往下穿过x 轴时，为极大值点，从下往上穿过x 轴时是极小值点，不穿过x 轴时为驻点
10. 若函数()f x 的导函数2()43f x x x '=-+则函数(1)f x +的单调递减区间是（ ） A.（0,2） B.（-3，-1） C.（1，3） D.（2,4）
答案：A
解析：解答：由2
()43f x x x '=-+<0得，13x <<，所以，函数()f x 的减区间为（1,3）；
又函数()f x 的的图像向左平移1个单位即得到函数(1)f x +的图象，所以，函数(1)f x +的单调递减区间是（0，2），选A 。

分析：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。

11. 下列函数中，x ＝0是其极值点的是 ( )． A ．y ＝－3x B ．y ＝cos2x C ．y ＝tan x －x
D ．y ＝
1
1
x +
答案：B
解析：解答：对于B ，2sin 2y x '=-，当x =0，0y '=，函数图像从上往下穿过x 轴，所以x =0是函数的极大值点，故选B
分析：导数为0的点是函数极值的可疑点，当导函数图像从上往下穿过x 轴时，为极大值点，从下往上穿过x 轴时是极小值点，不穿过x 轴时为驻点 12. 函数ln x
y x
=的最大值为（ ） A.1e -
B.e
C.2e
D.
103
答案：A
解析：解答：22
1
ln 1ln x x
x x y x x ⋅--'==
，令0y '=，x =e ，此时函数图像从上往下穿过x 轴，所以x =e 是函数的极大值点，在这里也是最大值点，所以最大值为1e -，故选A 分析：f(x )在区间[a,b]上连续，则F(x )的最大值在f(x )的端点和极大值点中取到
13. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.[-5,-3] B.[-6,1]
C.[-6,-2]
D. [-4,-3]
答案：C
解析：解答：不等式32430ax x x -++≥变形为3243ax x x ≥--．当x =0时，30-≥，故实数a 的取值范围是R ；当(0,1]x ∈时，，记
23
43
()x x f x x --=
，244
89(9)(1)
()0x x x x f x x x -++--+'==>，故函数()f x 递增，则max ()(1)6f x f ==-，故6a ≥-；当[2,0)x ∈-时，2343x x a x --≤，记23
43
()x x f x x
--=，令()0f x '=，得x =-1或x =9（舍去），当(2,1)x ∈--时，()0f x '<；当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，故
min ()(1)2f x f =-=-，则2a ≤-．综上所述，实数a 的取值范围是[-6,-2]．
分析：先用分离常数法把不等式变为只含有x 的式子，是此题解题的关键 14.若函数3
2
3()12
f x x x =-
+，则（ ）
A ．最大值为1，最小值为 12
B ．最大值为1，无最小值
C ．最小值为
1
2
，无最大值 D ．既无最大值也无最小值查看解析 答案：D
解析：解答：2()333(1)f x x x x x '=-=-，令2
()333(1)0f x x x x x '=-=->，得想x <0
或x >1，令2
()333(1)0f x x x x x '=-=-<，得01x <<，因此函数()f x 在(,0)-∞上单
调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以在x =0时，函数()f x 取得极大值1，在x =1时，函数()f x 取得极小值
1
2
，但是函数()f x 在(-∞,+∞)上，既无最大值也无最小值，弄清楚极值与最值是两个不同的概念，就不会选错答案，此处选择D. 分析：弄清楚极值与最值是两个不同的概念.
15. 已知函数3()3f x x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点，则c= ( ) A ．-2或2 B ．-9或3 C ．-1或1 D ．-3或1
答案：A
解析：解答：对函数进行求导即2
333(1)(1)y x x x '=-=+-，确定函数的单调性并判断函数的极值点，即令0y '>，可得x >1或x <-1；令0y '<，可得-1<x <1；于是知函数在(-1,1)上单调递减，在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，所以函数在x =-1处取得极大值，在x =1处取得极小值．利用函数3
()3f x x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点知，极大值等于0或极小值等于0，由此可解出c 的值．
分析： 利用一元三次函数图像的性质解题，难度较大 16. 曲线33y x x =-+在点（1，3）处的切线方程为 ． 答案：210x y -+=
解析：解答：．先求出导函数2
31y x '=-，然后x =1得，k=2，再由所求切线方程过点（1，3），所以所求切线方程为：y-3=2(x -1)，化简整理得210x y -+=．故答案为210x y -+=． 分析： 函数在某一点的导数是过该点切线的斜率
17. 函数
ln
()
x
f x
x
=的单调递增区间是
答案：（0，e）
解析：解答：因为,
ln
()
x
f x
x
=,所以,
22
1
ln1ln
()0
x x x
x
f x
x x
⋅--
'==>，0<x<e故, 函数
ln
()
x
f x
x
=的单调递增区间是（0，e）.
分析：简单题，在指定区间，导函数值非负，函数为增函数，导函数值非正，函数为减函数。

18. 如图是函数()
y f x
=的导函数()
y f x
'
=的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间（-2，1）内()
f x是增函数；
②在区间（1，3）内()
f x是减函数；
③在2
x=时，()
f x取得极大值；
④在3
x=时，()
f x取得极小值。

其中正确的是．
答案：③
解析：解答：由()
y f x
'
=的图象可知，（-3，-
3
2
），()0
f x
'<，函数为减函数；所以，
①在区间（-2，1）内()
f x是增函数；不正确；②在区间（1，3）内()
f x是减函数；
不正确；x=2时，()
y f x
'
==0，且在x=2的两侧导数值先正后负，③在2
x=时，()
f x取得极大值；而，x=3附近，导函数值为正，所以，④在3
x=时，()
f x取得极小值。

不正确。

故答案为③。

分析：简单题，在某区间，函数的导数非负，函数为增函数，函数的导数非正，函数为减函数。

19. 函数2cos y x x =+在区间[0,]2
π上的最大值是 ．
答案：
36
π+
解析：解答：对函数y=x +2cos x 进行求导，研究函数在区间[0,
]2
π上的极值，本题极大值就
是最大值．解：∵y=x +2cos x ，∴y ′=1-2sin x ，令y ′=0而x ∈[0，2π]则x =6π当x ∈[0，6
π]时，y ′＞0．当x ∈[6π，2π]时，y ′＜0．所以当x =6
π
时取极大值，也是最大值；故答案为
36
π+
分析：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题 20. 函数3()33f x x bx b =++在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围 答案：(0,1)
解析：解答：∵f （x ）=x 2－2b x +3a 的导数为f'（x ）=2x －2b ， ∴f （x ）极小值点是方程2x －2b=0的根，即x =b ， 又∵函数f （x ）在区间（0，1）内有极小值， ∴0＜b ＜1，故答案为(0,1)
分析： 简单题，由二次函数的极小值点在指定区间内，求参数的取值范围，一般可利用导数求函数极值和二次函数的性质等求解。

21. 已知曲线y=
313x 在x =x 0处的切线L 经过点P(2，8
3
)，求切线L 的方程。

答案：解：设切于点Q(0x ，0y )， y'=x 2
则y －0y =0x 2(x －0x )经过(2，
83) 32
00081(2)33
x x x -=- 30x －320x +4=0 解得 0x =－1，或0x =2
∴所求的切线方程为12x －3y －16=0或3x －y+2=0 解析： 分析：函数在某一点的导数是过该点切线的斜率 22. 已知函数1ln (),(1)x
f x x x
+=
≥． （1）试判断函数()f x 的单调性，并说明理由； 答案：解：（1）2ln ()x
f x x
'=- 1x ≥ ln 0x ∴≥ ()0f x '≤ 故()f x 在[1,)+∞递减
（2）若()1
k
f x x ≥
+恒成立，求实数k 的取值范围． 答案：由()1
k
f x x ≥+得(1)(1ln )x x k x ++≥ 记(1)(1ln )()x x
g x x ++=，2
ln ()x x g x x -'= 再令()ln h x x x =-，则1
()1h x x
'=-
1x ≥时()0h x '≥ h(x )在[1,)+∞上递增。

min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '> 故()g x 在[1,)+∞上也单调递增min [()](1)2g x g ==,2k ∴≤
解析： 分析：主要是考查了函数单调性的运用，以及函数单调性与导数的符号的关系的运用，属于中档题。

23. 已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，(1)f -）处的切线方程670x y -+=。

（1）求函数()y f x =的解析式；
答案：由()f x 的图象经过点P(0,2)，知d=2。

所以3
2
()2f x x bx cx =+++，则2
()32f x x bx c '=++
由在(1,(1))M f --处的切线方程是670x y -+=知6(1)70f ---+=，即
(1)1,(1)6f f '-=-=。

所以3-2b+c=6,-1+b-c+2=1解得b=c=-3。

故所求的解析式是3
2
()332f x x x x =--+。

（2）求函数2
3()922
g x x x a =
-++与()y f x =的图像有三个交点，求a 的取值范围。

答案：因为函数g(x )与 ()f x 的图像有三个交点 所以3
2
2
3332922
x x x x x a --+=-++有三个根 即3
2
962
x x x a -
+=有三个根 令3
29()62
h x x x x =-+，则()h x 的图像与y=a 图像有三个交点。

接下来求()h x 的极大值与极小值（表略）。

()h x 的极大值为5
2
()h x 的极小值为2
因此522
a <<
解析： 分析： （1）将点P(0,2)代入函数解析式可得d 的值，将1x =-代入直线670x y -+=可得(1)1f -=的值，再由切线方程可知切线的斜率为6，由导数的几何意义可知即
(1)6f '-=，解由(1)1f -=和(1)6f '-=组成的方程组可得b,c 的值。

（2）可将问题转化
为()()g x f x =有三个不等的实根问题，将()()g x f x =整理变形可得3
2
962
x x x a -
+=，令3
2
9()62
h x x x x =-
+，则()h x 的图像与y=a 图像有三个交点。

然后对函数()h x 求导，令导数等于0求其根。

讨论导数的符号，导数正得增区间，导数负得减区间，根据函数的单调性得函数的极值，数形结合分析可得出a 的取值范围。

24. 已知命题p:函数2()1f x x ax =++在(1,)+∞上单调递增，命题q ：函数()g x x α=在R 上是增函数.
（1）若p 或q 为真命题，求a 的取值范围； （2）若p ⌝或q ⌝为真命题，求a 的取值范围. 答案：(1）[2,)-+∞ ；（2）(,0]-∞ 解析：解答：解：若命题p 为真，则有12
a
-
≤ ，即2a ≥- ,若命题q 为真，
a>0 （1）若p q ∨ 为真，则{|2}{|0}{|2}a a a a a a ≥-⋃>=≥-,即a 的取值范围是
[2,)-+∞ .
（2）p ⌝ 为真,则a<-2，q ⌝ 为真，则0a ≤，p q ⌝∨⌝ 为真时，
{|2}{|0}{|0}a a a a a a <-⋃≤=≤
即a 的取值范围是(,0]-∞
分析： （1）利用函数的单调性分别求出命题p 和命题q 所对应的集合，然后求出这两个集合的并集即可；
（2）由（1）的结果求出命题p ⌝和命题q ⌝所对应的集合，然后求出这两个集合的并集即可.
25. 若函数3()4f x ax bx =-+．当x =2时，函数()f x 取得极值43
-． （1）求函数的解析式；
答案：2()3f x ax b '=-,所以(2)0f '=,4(2)3f =-.即12a-b=0,8a-2b+4=43
-,由此可解得13a =,b=4 ∴31()443
f x x x =-+ （2）若函数()f x =k 有3个解，求实数k 的取值范围． 答案：31()443
f x x x =
-+,2()4(2)(2)f x x x x '=-=+- 所以()f x 在x =-2处取得极大值283,在x =2处取得极小值43- 所以42833k -<< 解析： 分析：（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的导数()f x '，令()0f x '=，求方程()0f x '=的所有实数根；（3）考察()f x '在各实数根左、右的值的符号：
①如果在x 0两侧()f x '符号相同，则0x 不是()f x 的极值点；②如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0()f x 是极大值；③如果()f x 在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极小值．。