陕西省延安市2019-2020学年中考第三次质量检测数学试题含解析

陕西省延安市2019-2020学年中考第三次质量检测数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）
A ．2CD AC =
B ．3CD A
C =
C ．4C
D AC =
D ．不能确定
2．下列计算正确的是（ ） A ．2a 2﹣a 2＝1
B ．（ab ）2＝ab 2
C ．a 2+a 3＝a 5
D ．（a 2）3＝a 6
3．点A （m ﹣4，1﹣2m ）在第四象限，则m 的取值范围是 （ ） A ．m ＞
1
2
B ．m ＞4
C ．m ＜4
D ．
1
2
＜m ＜4 4．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 绕原点O 旋转180°得到△CDA ，点A ，B ，C 的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D 的坐标为（ ）
A ．（2，2）
B ．（2，﹣2）
C ．（2，5）
D ．（﹣2，5）
5．如图，点C 、D 是线段AB 上的两点，点D 是线段AC 的中点．若AB=10cm ，BC=4cm ，则线段DB 的长等于（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．6cm
D ．7cm
6．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示．对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ）
A ．众数是90
B ．中位数是90
C ．平均数是90
D ．极差是15
7．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）
A ．43
B ．42
C ．6
D ．4
8．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根，则x 12+x 22=（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 9．二次函数2y x =的对称轴是( ) A ．直线y 1=
B ．直线x 1=
C ．y 轴
D ．x 轴
10．某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为（ ）元． A ．140
B ．120
C ．160
D ．100
11．3-的倒数是（ ） A ．13
-
B ．3
C ．
13
D ．13
±
12．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ’C ’D ’，图中阴影部分的面积为（ ）．
A ．
1
2
B ．
3 C ．31-
D ．31-
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的数为x ﹣3，点B 表示的数为2x+1，点C 表示的数为﹣4，若将△ABC 向右滚动，则x 的值等于_____，数字2012对应的点将与△ABC 的顶点_____重合．
14．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长为_______．
15．如图，路灯距离地面6m ，身高1.5m 的小明站在距离灯的底部（点O ）15m 的A 处，则小明的影子AM 的长为________m ．
16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，AB 与CD 相交于点E ． （1）AB 的长等于_____；
（2）点F 是线段DE 的中点，在线段BF 上有一点P ，满足
5
3
BP PF =，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
17．若圆锥的地面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则圆锥的母线是__________cm ．
18．某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）发现
如图1，在有一个“凹角∠A 1A 2A 3”n 边形A 1A 2A 3A 4……A n 中（n 为大于3的整数），∠A 1A 2A 3＝∠A 1+∠A 3+∠A 4+∠A 5+∠A 6+……+∠A n ﹣（n ﹣4）×180°．
验证如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD 中，证明：∠ABC ＝∠A+∠C+∠D ．证明3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF 中，证明；∠ABC ＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F ﹣360°．
延伸如图4，在有两个连续“凹角A 1A 2A 3和∠A 2A 3A 4”的四边形A 1A 2A 3A 4……A n 中（n 为大于4的整数），∠A 1A 2A 3+∠A 2A 3A 4＝∠A 1+∠A 4+∠A 5+∠A 6……+∠A n ﹣（n ﹣ ）×180°．
20．（6分）甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，
乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如下图所示．求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．求乙组加工零件总量a的值．
21．（6分）如图，在三个小桶中装有数量相同的小球(每个小桶中至少有三个小球)，
第一次变化：从左边小桶中拿出两个小球放入中间小桶中；
第二次变化：从右边小桶中拿出一个小球放入中间小桶中；
第三次变化：从中间小桶中拿出一些小球放入右边小桶中，使右边小桶中小球个数是最初的两倍．
(1)若每个小桶中原有3个小球，则第一次变化后，中间小桶中小球个数是左边小桶中小球个数的____倍；
(2)若每个小桶中原有a个小球，则第二次变化后中间小桶中有_____个小球(用a表示)；
(3)求第三次变化后中间小桶中有多少个小球？
22．（8分）解不等式组：21
5
1
2
x x
x
x
+>
⎧
⎪
⎨+
-≥
⎪⎩
，并把解集在数轴上表示出来．
23．（8分）在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．求每张门票原定的票价；根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．
24．（10分）某校诗词知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验，他们的10次成绩如下（单位：分）：整理、分析过程如下，请补充完整．
（1）按如下分数段整理、描述这两组数据：
成绩x
学生
70≤x≤7475≤x≤7980≤x≤8485≤x≤8990≤x≤9495≤x≤100
甲______ ______ ______ ______ ______ ______
乙 1 1 4 2 1 1
（2）两组数据的极差、平均数、中位数、众数、方差如下表所示：
学生极差平均数中位数众数方差
甲______ 83.7 ______ 86 13.21
乙24 83.7 82 ______ 46.21
（3）若从甲、乙两人中选择一人参加知识竞赛，你会选______（填“甲”或“乙），理由为______．25．（10分）（5分）计算：．
26．（12分）如图，矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°后得到矩形CEFG，连接DG交EF于H，连接AF 交DG于M；
（1）求证：AM=FM；
（2）若∠AMD=a．求证：DG
AF
=cosα．
27．（12分）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求tan∠BAF的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．B
【解析】
【分析】
由AB=CD，可得AC=BD，又BC=2AC，所以BC=2BD，所以CD=3AC.
【详解】
∵AB=CD，
∴AC+BC=BC+BD，
即AC=BD，
又∵BC=2AC，
∴BC=2BD，
∴CD=3BD=3AC.
故选B．
【点睛】
本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
2．D
【解析】
【分析】
根据合并同类项法则判断A、C；根据积的乘方法则判断B；根据幂的乘方法判断D，由此即可得答案. 【详解】
A、2a2﹣a2＝a2，故A错误；
B、(ab)2＝a2b2，故B错误；
C、a2与a3不是同类项，不能合并，故C错误；
D、(a2)3＝a6，故D正确，
故选D．
【点睛】
本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握各运算的运算性质和运算法则是解题的关键．3．B
【解析】
【分析】
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】
解：∵点A（m-1，1-2m）在第四象限，
∴
40
120
m
m
-
⎧
⎨
-
⎩
＞①
，
＜②
解不等式①得，m＞1，
解不等式②得，m＞1 2
所以，不等式组的解集是m＞1，
即m的取值范围是m＞1．
故选B．
【点睛】
本题考查各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．4．A
【解析】
分析：依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点O，依据B的坐标为（﹣2，﹣2），即可得出D的坐标为（2，2）．
详解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），
∴点O是AC的中点，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD经过点O，
∵B的坐标为（﹣2，﹣2），
∴D的坐标为（2，2），
故选A．
点睛：本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋
转后的点的坐标． 5．D 【解析】
【分析】先求AC,再根据点D 是线段AC 的中点，求出CD ，再求BD. 【详解】因为，AB=10cm ，BC=4cm ， 所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm ） 因为，点D 是线段AC 的中点， 所以，CD=3cm,
所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm ） 故选D
【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度. 6．C 【解析】 【分析】
由统计图中提供的数据，根据众数、中位数、平均数、极差的定义分别列出算式，求出答案： 【详解】
解：∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；
∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2=90； ∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89； 极差是：95﹣80=1． ∴错误的是C ．故选C ． 7．B 【解析】 【分析】
由已知条件可得ABC DAC ~V V ,可得出AC BC
DC AC
=,可求出AC 的长． 【详解】
解：由题意得：∠B=∠DAC ，∠ACB=∠ACD,所以ABC DAC ~V V ，根据“相似三角形对应边成比例”，
得
AC BC
DC AC
=，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=, 故选B. 【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答． 8．C 【解析】
试题分析：根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣3，再变形x 12+x 22得到（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2，然后利用代入计算即可．
解：∵一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=2，x 1•x 2=﹣3，
∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=22﹣2×（﹣3）=1． 故选C ． 9．C 【解析】 【分析】
根据顶点式y=a （x-h ）2+k 的对称轴是直线x=h ，找出h 即可得出答案． 【详解】
解：二次函数y=x 2的对称轴为y 轴． 故选:C ． 【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题关键是顶点式y=a （x-h ）2+k 的对称轴是直线x=h ，顶点坐标为（h ，k ）． 10．B 【解析】 【分析】
设商品进价为x 元，则售价为每件0.8×200元，由利润=售价-进价建立方程求出其解即可． 【详解】
解：设商品的进价为x 元，售价为每件0.8×200元，由题意得 0.8×200=x+40 解得：x=120
答：商品进价为120元． 故选：B ． 【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键． 11．A 【解析】 【分析】 【详解】
解：3-的倒数是1
3
-． 故选A ．
【点睛】
本题考查倒数，掌握概念正确计算是解题关键． 12．C 【解析】 【分析】
设B′C′与CD 的交点为E ，连接AE ，利用“HL”证明Rt △AB′E 和Rt △ADE 全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE ＝∠B′AE ，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，然后求出∠DAE ＝30°，再解直角三角形求出DE ，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD 的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解． 【详解】
如图，设B′C′与CD 的交点为E ，连接AE ，
在Rt △AB′E 和Rt △ADE 中，
AE AE
AB AD '
=⎧⎨=⎩
， ∴Rt △AB′E ≌Rt △ADE （HL ）， ∴∠DAE ＝∠B′AE ， ∵旋转角为30°， ∴∠DAB′＝60°， ∴∠DAE ＝
1
2
×60°＝30°， ∴DE ＝1×
33＝33
， ∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（12×1×313
故选C ． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE ＝∠B′AE ，从而求出∠DAE ＝30°是解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．﹣1 C ． 【解析】。