海南省嘉积中学2013届高三上学期高中教学质量监测(四)数学理 含答案

2012—2013学年度第一学期高中教学质量监测（四）
高三年级数学科试题(理科）
（时间：120分钟 满分：150分）
命题教师:吕银平 陈泽惠 审题教师:邢大福
欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩!
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
（1）已知集合}0,2|{},2|{2
>==--==x y y B x x y x A x
，R 是实数集,则
(B C R
）∩A =（ ）
(A)R （B ）(]2,1 （C ）[]1,0
(D ）φ
（2)设i 为虚数单位，则复数56i i -=（ )
(A ）65i + （B)65i - （C ）i -6+5 (D)i -6-5
(3)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） (A ）3
（B ）6- （C ）10 （D ）15-
（4） 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
（A ）2865+ （B ）3065+ （C)56125+ （D ）
60125+
(5）已知等差数列{}n
a 的前n 项和为5
5,5,15n
S a
S ==，则数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前100
项和为( ）
（A ）100101
(B)
99101
（C ）
99100
（D)101100
（6）关于直线,m n 与平面,,αβγ有以下三个命题
（1)若//,//,,//m n m n αβαβ且//则 （2）若,,m m αβαγβγγ=⊥⊥⊥，则
(3）若,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥⊥且则，其中真命题有( ） (A ）1个 （B ）2个 （C)3个 （D ）0个
（7）双曲线22
214x y b
-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线
的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
（A ）5 （B)24 （C)3 （D ）5
（8）已知α为第二象限角，3
sin cos 3
αα+=
，则cos 2α=（ ) （A ）53
-
（B ）59
-
（C)59
(D ）
53
（9)已知正四棱柱111
1
ABCD A BC D -中，12,22,AB CC E ==为1
CC 的中点，则直
线1
AC 与平面BED 的距离为( ） (A ）2 （B ）3 （2 （D)1
（10） 设函数)(x f ()x R ∈满足()()()(),=2-f x f x f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，()3
=f x x .
又函数()()=cos g x x x π,则函数()()()=-h x g x f x 在13-,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的零点个数
为（ ）
（A ）5 （B)6 （C ）7 （D ）8
（11）正三棱柱111
ABC A B C -内接于半径为1的球，则当该棱柱体积最大时,高h =（ ）
（A ）
63
（B ）
66
(C 3 （D ）33
（12)如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R 的对应过程:区间(0，
1）中的实数m 对应数轴上(线段AB ）的点M （如图1）;将线段A 、B 围成一个圆,使两端点A 、B 恰好重合(如图2）；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上；点A 的坐标为（0，1）（如图3），当点M 从A 到B 是逆时针运动时,图3中直线AM 与x 轴交于点N （n ，0）,按此对应法则确定的函数使得m 与n 对应,即对称f （m ）= n ．对于这个函
数y =f （x ),下列结论不正确．．．
的是 ( ）
(A ）1()14
f =-；
（B ）()f x 的图象关于
1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
对称； （C)若()3f x =
,则 56
x =
; （D)()f x 在()0,1上单调递减．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填
在题中横线上
（13）若实数,x y 满足
40,
20,250,
x y x y x y 则2z x
y 的最大值为
.
（14)已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→
→
→
→→
b
a b a a ，则=→
b .
(15）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直
线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋ a 到直线l :y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋（y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a
M
O D
A C
B P 图5
＝ .
(16）函数f （x ）=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如
图4所示,其中，P 为图像与y 轴的交点，A ，C 为图像与 x 轴的两个交点，B 为图像的最低点。

(1
）若6
πϕ=，点P 的坐标为（0），则ω= ;
（2）若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点
在△ABC 内的概率为 。

三、解答题:本大题共5小题,满分60分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．
(17）在∆ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos 3cos 3cos A C c a B
b
--=．
（1）求sin sin C A
的值；
(2)若B 为钝角，10b =，求a 的取值范围.
（18) 已知{n
a }是等差数列，其前n 项和为n
S ，｛n
b }是等比数列，且1
a =1
=2b ，
44+=27a b ，44
=10S b -.
（1）求数列{n a ｝与｛n
b ｝的通项公式；
（2）记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++；证明：+12=2+10n n n T a b -+
()n N ∈.
（19) 已知四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥平面,底面ABCD 是边长为a 的菱形，
120BAD ∠=︒，PA b =．
(1）求证：PBD PAC ⊥平面平面；
（2）设AC 与BD 交于点O ，M
为OC
中点， 若二面角O PM D --的正切值为求:a b 的值．
(20） 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆
22
:1(0)x y C a b +=>>的离心率
2
3
e =
C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3； （1）求椭圆C 的方程;
（2)在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线:1l mx ny +=与圆2
2
:1O x y +=相交于
不同的两点,A B ,且AOB ∆的面积最大？若存在,求出点M 的坐
标及相对应的
AOB ∆的面积；
若不存在,请说明理由.
（21）已知函数.ln )2()(2x x a ax x f ++-=
（1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点
))1(,1f （处的切线方程； （2）当0>a 时，若)(x f 在区间],1[e 上的最小值为-2，求a 的取值范围; (3）若对任意2121),,0(,x x x x <+∞∈,且22112)(2)(x x f x x f +<+恒成立，求a 的取值范围。

四、选做题，请考生在第(22)、（23）、(24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
（每道题满分10分）你选做的是第
（ ）题
(22）【选修4—1：几何证明选讲】
如图，在正△ABC 中,点D,E 分别在边AC, AB 上，且
AD=13AC ， AE= 2
3
AB ，BD ，CE 相交于点F 。

（1）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；
（2)若正△ABC 的边长为2,求A ，E ，F ，D 所在圆的半径．
(23)【选修4—4:坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线
2:sin 2cos (0)C a a =>ρθθ，已知过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为
:242
x y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
，直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。

(1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；
（2)若,,PM MN PN 成等比数列, 求a 的值．
(24）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数()2123f x x x =++- (1）求不等式()6f x ≤的解集；
(2)若关于x 的不等式()1f x a ≤-的解集非空，求实数a 的取值范围。

2012—2013学年度第一学期高中教学质量监测（四）
高三年级数学科试题(理科)参考答案
一、1—12、CDCBA ， BAADB ， DD
二、13、7； 14、5； 15、94
； 16、3，4
π
．
三、17、 解：（1）由正弦定理，设,sin sin sin a b c k A B C
===
则33sin sin 3sin sin ,sin sin c a k C k A C A b k B B
---==
所以cos 3cos 3sin sin .cos sin A
C C A
B B
--= ………………2分
即(cos 3cos )sin (3sin sin )cos A C B C A B -=-,
化简可得sin()3sin().A B B C +=+ ………………4分 又A B C π++=， 所以sin 3sin C A = 因
此
sin 3.sin C
A
= ………………6分 （2）由sin 3sin C A
=得3.c a =
(8)
分
由题意222
a c b
a c b
+>⎧⎨+<⎩， (10)
分
5
102
a ∴<< (12)
分
18、解：(1)设数列{}n
a 的公差为d ，数列{}n
b 的公比为q ；
则
3443
441273
23227102
46210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩………………4分
得：31,2n n
n a n b =-= (6)
分
（2）12
1122311211
2222()2
2n n n n
n
n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=+++
+=++
+=+
++ 111
21313235
2222
n n n n n n n a n n n c c +-----++==-=-………………8分
12231112[()()()]2()n n n n n n T c c c c c c c c ++=-+-+
+-=- (10)
分
1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=- (12)
分
【注】第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明,同样给分,篇幅关系，答案略．
19、解:（1）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ………………2分
又ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD,所以BD ⊥平面PAC ………………4分
从而平面PBD ⊥平面PAC ． ……………6分 （2）过O 作OH ⊥PM 交PM 于H ，连HD
因为DO ⊥平面PAC,可以推出DH ⊥PM ，所以∠OHD 为O —PM —D 的平面角………………8分 又33,,44
a a
OD OM AM =
==，且OH AP OM PM =………………10分
从而2
2
22·41916
69a OH b a a
b =
=
++………………11分
223(169)tan 26b a OD
OHD OH +∠===所以
22
916a b =，即
4
3
a b =． ………………………12分
M
O D
A
C
P
H
法二：如图，以A 为原点，,AD AP 所在直线为y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,),(0,,0)P b D a ，3
3
3(,,0)8M a ,31
(,,0)4O a
…………8分
y
z x
M
O D
A
C
P
从而3
3
3
(0,,),(,,)88
PD a b PM a a b =-=-33(,,0)44OD a a =-………………9分
因为BD ⊥平面PAC,所以平面PMO 的一个法向量为
33
(,,0)44
OD a a =-
．………………10分
设平面PMD 的法向量为(,,)n x y z =,由,PD n PM n ⊥⊥得
333
0,088
PD n ay bz PM n ax ay bz ⋅=-=⋅=
+-= 取5,,33
x b y b z a =
==，即(,,)33
n b a =
……………11分
设OD 与n 的夹角为θ，则二面角O PM D --大小与θ相等 从而tan 26θ=cos 15
θ=
2
2531124cos 5||||5212427
ab ab
OD n OD n a b a θ-
+⋅===⋅+
从而43b a =，即:4:3a b =． ……………12分 20、(1）设22c a b =- 由222233
c e c a a ==
⇒=,所以22221
3b a c a =-=………………
1分 设
(,)
P x y 是椭圆
C
上任意一点,则
22
22
1x y a b +=,所以
2
2
2
222(1)3y x a a y b
=-=- (2)
分
2222222||(2)3(2)2(1)6PQ x y a y y y a =+-=-+-=-+++3分
当1b ≥时,当1y =-时，||PQ 263a +=，可得3a =所以1,2b c ==当1b <时，226363PQ a b <
+=+<
不合题意………………5分
故椭圆C 的方程为:2
213
x y += (6)
分
(2）AOB ∆中，1OA OB ==，11sin 22
AOB
S OA OB AOB ∆=⨯⨯⨯∠≤ (8)
分
当且仅当90AOB ︒
∠=时，AOB
S
∆有最大值12
,………………9分
90AOB ︒∠=时，点O 到直线AB 的距离为d =
………………10分
22
2d m n =
⇔=⇔+=………………11分
又2
22231
33,22
m n m n +=⇒==
，此时点(,22
M ±
±………………12分
21、解:（1）当1=a 时,x
x x f x x x x f 132)(,ln 3)(2+-=+-=.………………2分
因为2)1(,0)1('-==f f 。

所以切线方程是.2-=y …………………………4分
（2）函数x x a ax x f ln )2(2)(++-=的定义域是），（∞+0。

………………5分
当0>a 时，
)0(1
)2(21)2(2)('2>-+-=++-=x x x a ax x a ax x f
令0)('=x f ,即
0)
1)(12(1)2(2)('2=--=++-=x
ax x x x a ax x f ，
所以21=x 或a x 1
=. ……………………6分 当11
0≤<a
,即1≥a 时，)(x f 在［1，e ]上单调递增， 所以)(x f 在［1，e]上的最小值是2)1(-=f ；
当e a <<11时，)(x f 在［1，e ］上的最小值是2)1()1
(-=<f a f ，不合题意; 当e a
≥1时，)(x f 在(1，e )上单调递减， 所以)(x f 在［1，e ]上的最小值是2)1()(-=<f e f ，不合题意………………8分
(3)设x x f x g 2)()(+=,则x ax ax x g ln )(2+-=，
只要)(x g 在），（∞+0上单调递增即可。

…………………………9分 而x ax ax x a ax x g 1212)('2+-=+-= 当0=a 时,01)('>=x
x g ，此时)(x g 在），（∞+0上单调递增;……………………10分
当0≠a 时，只需0)('≥x g 在），（∞+0上恒成立，因为),0(+∞∈x ,只要0122≥+-ax ax ，
则需要0>a ，………………………………11分
对于函数122+-=ax ax y ,过定点（0，1）,对称轴04
1>=x ，只需082≤-=∆a a ， 即80≤<a 。

综上80≤≤a . ………………………………………………12分
四、22、（1）证明:∵23AE AB =,∴13
BE AB =. ∵在正△ABC 中,13
AD AC =,∴AD BE =， 又AB BC =，BAD CBE ∠=∠，
∴△BAD≌△CBE ，∴ADB BEC ∠=∠，
即πADF AEF ∠+∠=，所以A ，E ,F ，D 四点共圆. …………………………（5分）
（2)解：如图6，取AE 的中点G ，连结GD ，则12
AG GE AE ==。

∵23AE AB =,∴1233
AG GE AB ===， ∵1233
AD AC ==，60DAE ∠=︒， ∴△AGD 为正三角形,
∴23GD AG AD ===，即23GA GE GD ===， 所以点G 是△AED 外接圆的圆心,且圆G 的半径为23。

由于A ，E ，F ，D 四点共圆,即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为图6
2
3。

…（10分）
23、解：（1）22,2y
ax y x ==-.………………5分
(2）直线l
的参数方程为22()4x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数 代入22y
ax =，
得到2)8(4)0t a t a -+++=， ………………7分
则有12),t
t a +=+128(4)t t a =+。

………………8分 因为2MN PM PN =⋅，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-⋅=⋅。

1a =………………9分
解得1a =………………10分
24、解：(1)原不等式等价于 32(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或1322(21)(23)6x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或12(21)(23)6
x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解之得32,2x <≤或13,22x -≤≤或11,2
x -≤<- 即不等式的解集为{}12x x -≤≤ ………………5分
（2)∵()2123(21)(23)4f x x x x x =++-≥+--=， ∴14a ->解此不等式得
3a <-或5a > ………………10分。