高考数学一轮复习 第九章 算法初步、统计、统计案例 9.4 用样本估计总体课件 理

月份 收入x 支出Y
1月份 12.3 5.63
2月份 14.5 5.75
3月份 15.0 5.82
4月份 17.0 5.89
5月份 19.8 6.11
6月份 20.6 6.18
• 根据统计资料，则( ) • A．月收入的中位数是15，x与Y有正线性相关关系 • B．月收入的中位数是17，x与Y有负线性相关关系 • C．月收入的中位数是16，x与Y有正线性相关关系 • D．月收入的中位数是16，x与Y有负线性相关关系
• 【答案】 (1)D (2)B
• 反思归纳 相关关系的直观判断方法就是作 出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说 明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线 型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱 则不具有相关性。
• 【变式训练】 (2016·长沙模拟)某公司在2015年上半年的收入x(单位：万元) 与月支出Y(单位：万元)的统计资料如表所示：
7
ti－－t yi－－y
(2)由－y ＝9.732≈1.331
i＝1
及(1)得b^＝
7
ti－－t 2
2.89 ＝ 28 ≈0.103，
i＝1
a^＝－y －b^－t ≈1.331－0.103×4≈0.92。 所以，y 关于 t 的回归方程为^y＝0.92＋0.10t。 将 2016 年对应的 t＝9 代入回归方程得
第九章 算法初步、统计、统计案例
第四节 变量间的相关关系与统计案例
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•☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆
考纲要求
真题举例
命题角度
1.会作两个相关变量的数据的散点
图，会利用散点图认识变量间的相 2016，全国卷Ⅲ，18,12
关关系；
分(线性回归分析)
2.了解最小二乘法的思想，能根据 2015，全国卷Ⅰ，19,12
年份－2010 －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 对预处理后的数据，容易算得，
－x ＝0，－y ＝3.2，
－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2
b^＝
－42＋－22＋22＋42－5×02
260 ＝ 40 ＝6.5，
a^＝－y －b^－x ＝3.2。
• (3)线性相关关系、回归直线
• 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近， 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫 做回归直线。
2．回归方程 (1)最小二乘法 使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小 二乘法。 (2)回归方程 方程^y＝b^x＋a^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)， (x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中a^ ，b^ 是待定参数。
i＝1
7
(ti
－
－t
)(yi
－
－y
)
＝
7
t
iyi
－
－t
7
y
i
＝
40.17
－
4×9.32
＝
2.89
，
i＝1
i＝1
i＝1
2.89 r≈0.55×2×2.646≈0.99。
因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当 高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系。
• 2．(选修1－2P16习题1.2T1改编)为考察某种药物预防疾病 的效果，对100只某种动物进行试验，得到如下的列联表： 患病 未患病 合计
服用药 10
40
50
没服用药 20
合计
30
30
50
70
100
• 经计算，统计量K2≈4.762，则有________把握认为药物有 效(P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥5.024＝0.025)( )
15＋17 【解析】 月收入的中位数是 2 ＝16，收入增加，支出增加，
故 x 与 Y 有正线性相关关系。故选 C。
【答案】 C
考点二 线性回归分析
• 【典例2】 (2016·全国卷Ⅲ)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无 害化处理量(单位：亿吨)的折线图。
• (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加 以说明；
微点提醒 1．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线 必过(－x ，－y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上。 2．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实 质上是预测值(期望值)。 3．K2 越大，“X 与 Y 有关联”的把握程度越大。
小|题|快|练 一 、走进教材 1．(必修 3P94A 组 T3 改编)相关变量 x，y 的样本数据如下表：
• C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关 系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
• D．以上三种说法都不正确
• 【解析】 根据独立性检验的思想知C项正确。 • 【答案】 C
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考点例析 对点微练
•考一【点典例1相】关关(1系)下的列判四断个散点图中，变量x与
y之间具有负的线性相关关系的是( )
• (2)为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班 学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴、y轴的单位长度相同)，用 回归直线方程＝bx＋a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最 有可能成立的是( )
• A．线性相关关系较强，b的值为1.25 • B．线性相关关系较强，b的值为0.83 • C．线性相关关系较强，b的值为－0.87 • D．线性相关关系较弱，无研究价值
2．回归直线方程^y＝b^x＋a^必经过样本点中心(－x ，－y )。 3．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确 定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线 性回归方程来估计和预测。
• 【变式训练】 某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数 据：
年份
• 3．回归分析
• (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
• (2)样本点的中心
• 对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中 (__x_，__y__)称为样本点的中心。
• (3)相关系数 • 当r>0时，表明两个变量_正__相__关__； • 当r<0时，表明两个变量_负__相__关__。
• 【解析】 (1)观察散点图可知，只有D选 项的散点图表示的是变量x与y之间具有负 的线性相关关系。故选D。
• (2)由散点图可以看出两个变量所构成的点 在一条直线附近，所以线性相关关系较强， 且应为正相关，所以回归直线方程的斜率 应为正数，且从散点图观察，回归直线方 程的斜率应该比y＝x的斜率要小一些，综 上可知应选B。
经回归分析可得 y 与 x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程
为^y＝1.1x＋a，则 a＝( )
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
【解析】 －x ＝3，－y ＝3.6，又回归直线经过样本中心点(－x ，－y )， 所以 3.6＝1.1×3＋a，解得 a＝0.3。故选 C。
【答案】 C
• 【答案】 A
3．已知 x，y 的取值如下表，从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且
回归方程为^y＝0.95x＋a，则 a＝( )
x
0
1
3
4
A.3.25
y
2.2
4.3
4.8
6.7
B．2.6
C．2.2
D．0
【解析】 由已知得－x ＝2，－y ＝4.5，因为回归直线经过点(－x ，－y )，
所以 a＝4.5－0.95×2＝2.6。故选 B。
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• 1．两个变量的线性相关
• (1)正相关 • 在散点图中，点散布在从左下角到__右__上_角____的区域，对
于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关。
• (2)负相关 • 在散点图中，点散布在从左上角到__右__下_角__的区域，对于两
个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关。
【答案】 B
• 4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正 确的是( )
• A．若K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟 与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺 病
• B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有 关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
• 【答案】 C
2．(2016·葫芦岛模拟)某商品销售量 Y(件)与销售价格 x(元/件)负相关，
则其回归直线方程可能是( )
A.^y＝－10x＋200
B.^y＝10x＋200
C.^y＝－10x－200
D.^y＝10x－200
• 【解析】 因为商品销售量Y(件)与销售价 格x(元/件)负相关，所以<0，排除B、D。 又因为x＝0时，y>0，所以应选A。
由上述计算结果，知所求回归直线方程为 ^y－257＝b^(x－2010)＋a^＝6.5(x－2010)＋3.2，
即^y＝6.5(x－2010)＋260.2。(*) (2)利用回归直线方程(*)，可预测 2016 年的粮食需求量为 6.5(2016－ 2010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)。 【答案】 (1)^y＝6.5(x－2010)＋260.2 (2)299.2 万吨
2006 2008 2010 2012 2014
需求量(万吨) 236 246 257 276 286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程^y＝b^x＋a^； (2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地 2016 年的粮食需求量。
• 【解析】 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上 升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：
• r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强。r的绝对值越 接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。通常|r|大于 _0_._75__时，认为两个变量有很强的线性相关性。
• 4．独立性检验 • (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变
量称为分类变量。
• (2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分 类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数 列联表(称为2×2列联表)为
• A．99.5%
B．95%
• C．99%
D．97.5%
• 【解析】 由K2≈4.762>3.841，可知有 95%的把握，认为药物有效。故选B。
• 【答案】 B
• 二、双基查验 • 1．观察下列各图： • 其中两个变量x，y具有相关关系的图是( )
• A．①② • C．③④
B．①④ D．②③
• 【解析】 由散点图知③④具有相关关系。 故选C。
• 2×2列联表
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
nad－bc2 构造一个随机变量 K2＝a＋b c＋da＋cb＋d，其中 n＝a＋b＋c
＋d 为样本容量。
• (3)独立性检验
• 利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关 系”的方法称为独立性检验。
^y＝0.92＋0.10×9＝1.82。 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 亿吨。 【答案】 (1)见解析 (2)回归方程为^y＝0.92＋0.10t，生活垃圾无害
化处理量约为 1.82 亿吨
反思归纳 1.正确理解计算b^，a^的公式和准确的计算是求线性回归方 程的关键。
• (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾 无害化处理量。
附注：
7
7
参考数据： yi＝9.32， tiyi＝40.17,
i＝1
i＝1
7
yi－－y 2＝0.55，
7
i＝1
≈2.646。
参考公式：相关系数 r＝
n
ti－－t yi－－y
i＝1
，
n
ti－－t 2
n
给出的线性回归方程系数公式建立 分(线性回归分析)
线性回归方程；
2015，福建卷，4,5分(线
3.了解独立性检验(只要求2×2列联 性回归分析)
表)的基本思想、方法及其简单应用；2014，安徽卷，18,12分
4.了解回归分析的基本思想、方法 (独立性检验)
及其简单应用。
1.以选择题、填空题 的形式考查求线性回 归系数或利用线性回 归方程进行预测，在 给出临界值的情况下 判断两个变量是否有 关； 2.在解答题中与频率 分布结合考查线性回 归方程的建立及应用 和独立性检验的应用。
yi－－y 2
i＝1
i＝1
回归方程^y＝a^＋b^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝
n
ti－－t yi－－y
i＝1
n
ti－－t 2
，a^＝－y －b^－t 。
i＝1
【解析】 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
－t ＝4，
7
(ti－－t )2＝28,
i＝1
7
yi－－y 2＝0.55，