2013届高考数学第一轮基础复习课件12-3不等式选讲
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答案：D
|x－a|±|x－b|<c及|x－a|±|x－b|>c型不等式 解法
[例 2] (2011·宝鸡质检)不等式|x＋1|＋|x－2|≤4 的解 集为________．
分析：用分段讨论、构造函数、数形结合法求解均可， 但数形结合最简便．
解析：解法一：1°当 x≤－1 时，不等式化为－x－1 －x＋2≤4，∴x≥－32，∴－32≤x≤－1；
误区警示 1．使用均值不等式求最值时，必须满足“一正、二 定、三相等”的条件，且注意变形配凑技巧． 2 ． 不 等 式 定 理 中 的 条 件 要 准 确 把 握 ， 如 a2 ＋ b2≥2ab(a，b∈R)，a＋b≥2 ab(a，b∈R＋)等．
3．含绝对值三角不等式|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a| ＋|b|中等号成立的条件应注意，|a＋b|＝|a|＋|b|中 a·b≥0， 而|a－b|＝|a|＋|b|中 a·b≤0 等．
推论 2：设 C 为常数，且 a1、a2、…、an 为 n 个正数， 则当 a1＋a2＋…＋an＝nC 时，a1a2…an≤Cn 且等号成立 ⇔a1＝a2＝…＝an.
2．定理 2(调和平均数不等式)
设 a1 、 a2 、 … 、 an 为 正 数 ， 则 n a1a2…an ≥a11＋a12＋n …＋a1n，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.
三、含绝对值不等式解法 ①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c， |ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c， ②|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c 型不等式解 法．
解法 1(分类讨论思想)：S1 令每个绝对值符号里的 一次式为 0，求出相应的根．
第三节
不等式选讲
重点难点 重点：不等式的性质、基本不等式、含绝对值不等 式的解法和不等式的基本证明方法． 难点：1.含绝对值的三角不等式； 2．不等式的基本证明方法． 3．应用柯西不等式、排序不等式证明不等式的证明 思路．
知识归纳 一、不等式的性质及数学归纳法前面已复习过不再 赘述 二、几个重要的不等式 1．基本不等式 ①定理 1 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时 取等号．
※七、平均值不等式
1．定理 1(平均值不等式) 设 a1、a2、a3、…、an 为 n 个正数，则
a1＋a2＋…＋an≥n n
a1a2…an
等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.
即 n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
推论 1：设 a1、a2、…、an 为 n 个正数，且 a1a2…an ＝1，则 a1＋a2＋…＋an≥n，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an ＝1.
2°当－1<x≤2 时，不等式化为 x＋1－x＋2≤4，即 3≤4 恒成立，∴－1<x≤2；
3°当 x>2 时，不等式化为 x＋1＋x－2≤4，
∴x≤52，∴2<x≤52. 综合 1°，2°，3°知，－32≤x≤52， 即不等式解集为[－32，52]．
解法二：在数轴上到点－1 和 2 距离的和为 4 的点为 －32，52，故使|x＋1|＋|x－2|≤4 的点 x 在－32和52之间，
∴－32≤x≤52.
答案：[－32，52]
(2011·江西文，15)对于 x∈R，不等式|x＋10|－|x －2|≥8 的解集为________．
解 析 ： 令 y ＝ |x ＋ 10| － |x － 2| ＝
－12， x≤－10， 2x＋8，－10<x<2， 12， x≥2.
则可画出函数图象如图所示：
解法 3(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解， |x－a|＋|x－b|表示数轴上点 P(x)到点 A(a)、B(b)距离的 和．关键找出到 A、B 两点距离之和为 c 的点，“≤”取 中间，“≥”取两边．
注意这里 c≥|a－b|，若 c<|a－b|，则|x－a|＋|x－b|≤c 的解集为∅，|x－a|＋|x－b|≥c 解集为 R.
(2)定理 2(向量形式) 设 α、β 为平面上的两个向量， 则
|α||β|≥|α·β|. 当 α 及 β 为非零向量时，上式中等号成立⇔向量 α 和 β 共线⇔存在实数 λ≠0，使得 α＝λβ. 当 α 或 β 为零向量时，上面结果仍成立．
(3)定理 3 设 a1、a2、b1、b2 为实数，则 a21＋a22＋ b21＋b22≥ a1＋b12＋a2＋b22，等号成立⇔存在非负实 数 λ 及 μ，使 μa1＝λb1，μa2＝λb2.
x∈R}．若 A⊆B，则实数 a，b 必满足( )
A．|a＋b|≤3
B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3
D．|a－b|≥3
解析：由题意可得集合 A＝{x|a－1<x<a＋1}，集合 B ＝{x|x<b－2 或 x>b＋2}，又因为 A⊆B，所以有 a＋1≤b －2 或 b＋2≤a－1，即 a－b≤－3 或 a－b≥3.因此选 D.
分析：依据|ax＋b|<c 不等式解法求出 x 的取值范 围，与 1<x<3 比较求出 a，或依据方程的根与不等式解t;x<a＋1， 又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得 a＝2.
答案：2
(理)设集合 A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，
|ax＋b|<c及|ax＋b|>c型不等式解法
[例 1] (2011·甘肃兰州一中月考)解关于 x 的不等式 |ax－1|>a＋1(a>－1)．
分析：这是|ax＋b|>c(c>0)型不等式，先去掉绝对值号 等价转化为一元一次不等式，由于含字母系数 a，故须分 类讨论．
解析：|ax－1|>a＋1⇔ax－1>a＋1，或 ax－1<－a－ 1⇔ax>a＋2，或 ax<－a.
(5)定理 5(三角不等式的向量形式) 设 α、β、γ 为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|， 当 α－β、β－γ 为非零向量时，上式中等号成立⇔存在正 常数 λ，使 α－β＝λ(β－γ)⇔向量 α－β 与 β－γ 同向．
六、排序不等式 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1、 c2、…、cn 为 b1、b2、…、bn 的任一排列，则有 a1bn＋a2bn －1＋…＋anb1≤a1c1＋ a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋ anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn. 即反序和≤乱序和≤顺序和．
②定理 2(基本不等式) a＋2 b≥ ab(a，b∈R＋)，仅 当 a＝b 时取等号．
③定理 3(平均值不等式) a＋3b＋c≥3 abc(a，b，c ∈R＋)，当且仅当 a＝b＝c 时取等号．
n1(a1＋a2＋…＋an)≥n a1a2…an(ai∈R＋，i＝1,2，…， n)，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时取等号．
4．用比商法证明不等式应注意：
AB>1⇒A>B. B>0
AB>1⇒A<B. B<0
因此，用比商法必须先判定符号．
5．分析法证明不等式的每一步都是寻求使不等式成 立的充．分．条件．
6．换元法证明不等式时，要注意换元后，新．元．的．取． 值．范．围．会发生变．化．，而有时忽视这种变化会导致错误结 论或无法进行下去．
其中等号成立⇔ab11＝ab22＝…＝bann(当某 bj＝0 时，认为
aj＝0，j＝1,2，…，n)．
2．二维形式的柯西不等式： (1)定理 1(代数形式) 设 a1、a2、b1、b2 均为实数， 则 (a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2. 上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.
2．绝对值三角不等式 ①定理 1 |a|＋|b|≥|a＋b|(a，b∈R)，当且仅当 ab≥0 时等号成立． ②定理 2 如果 a、b、c∈R，那么|a－c|≤|a－b|＋|b －c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立． ③||a|－|b||≤|a±b|.
3．分式不等式 若 a>b>n>0，m>0，则ba－－nn<ba<ba＋＋mm.
由图象可以观察出使 y≥8 的 x 的取值范围为[0，＋ ∞)．
∴|x＋10|－|x－2|≥8 的解集为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
不等式的有解与恒成立问题
常常是分析找思路，综合写过程．
(4)反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题 不成立，把它作为条件和其它条件结合在一起，利用已 知定义、定理、公理、性质等基本原理进行正确推理， 逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理、性质， 或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设不正 确，从而肯定原命题成立的方法称为反证法．
S2 把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干 个小区间．
S3 在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符 号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集．
S4 这些解集的并集就是原不等式的解集．
解法 2(函数与方程思想)：构造函数 f(x)＝|x－a|＋|x － b|－ c， 写 出 f(x) 的 分段 解 析式 作出 图象 ，找 出使 f(x)≤0(或 f(x)≥0)的 x 的取值范围即可．
(4)定理 4(平面三角不等式) 设 a1、a2、b1、b2、c1、c2∈R，则 a1－b12＋a2－b22 ＋ b1－c12＋b2－c22≥ a1－c12＋a2－c22， 等号成立⇔存在非负实数 λ 和 μ，使 μ(a1－b1)＝λ(b1 －c1)，μ(a2－b2)＝λ(b2－c2)成立，其几何意义是三角形两 边之和大于第三边．
当－1<a<0 时，x<a＋a 2或 x>－1，原不等式的解集为 (－∞，a＋a 2)∪(－1，＋∞)．
当 a＝0 时，原不等式的解集为∅.
当 a>0 时，x>a＋a 2，或 x<－1， 原不等式的解集为(－∞，－1)∪(a＋a 2，＋∞)．
(文)(2011·陕西三检)若关于 x 的不等式|x－a|<1 的 解集为(1,3)，则实数 a 的值为________．
7．柯西不等式及排序不等式中 ai、bi(i＝1,2，…， n)均为实数，而平均值不等式中 ai 为正数．
解题技巧 1．应用放缩法证明不等式时，放缩要适．当．，既不能 放的过小，也不能放过了头． 2．用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑合适的 项便于应用归纳假设． 3．应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子特点， 从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立的条件．
四、不等式的证明方法 (1)比较法：依据 a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0 来证 明不等式的方法称作比较法． 其基本步骤：作差→配方或因式分解→判断符号→ 得出结论．
(2)综合法：从命题的已知条件出发，利用公理、已 知的定义、定理、性质等，经过一系列的推理论证得出 命题成立的方法．它是由因导果法．
推论：设 a1、a2、…、an 为 n 个正数，则 (a1＋a2＋…＋an)a11＋a12＋…＋a1n≥n2.
3．加权平均不等式 设 a1、a2、…、an 为 n 个正数，p1、p2、…、pn 都是 正有理数，并且 p1＋p2＋…＋pn＝1，那么 p1a1＋p2a2＋… ＋pnan≥ap11ap22…apnn. 八、贝努利不等式 设 x>－1，且 x≠0，n 为大于 1 的自然数，则(1＋x)n>1 ＋nx.
(3)分析法：从要证明结论出发，逐步寻求使它成立 的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立 的事实(定义、公理或已证明过的定理、性质等)，从而得 出要证明的命题成立的方法，它是执果索因的方法．
分析法与综合法常常结合起来运用，看由已知条件能 产生什么结果，待证命题需要什么条件，两边凑一凑找出 证明途径．
(5)放缩法：证明不等式时，根据需要把需证明的不 等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易， 达到证明目的，这种方法称为放缩法．
五、柯西不等式
1．一般形式：
设 a1、a2、…、an、b1、b2、…、bn 为实数，则(a12＋
a22＋…＋a2n)
1 2
(b12＋b22＋…＋
bn2)
1 2
≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|.
|x－a|±|x－b|<c及|x－a|±|x－b|>c型不等式 解法
[例 2] (2011·宝鸡质检)不等式|x＋1|＋|x－2|≤4 的解 集为________．
分析：用分段讨论、构造函数、数形结合法求解均可， 但数形结合最简便．
解析：解法一：1°当 x≤－1 时，不等式化为－x－1 －x＋2≤4，∴x≥－32，∴－32≤x≤－1；
误区警示 1．使用均值不等式求最值时，必须满足“一正、二 定、三相等”的条件，且注意变形配凑技巧． 2 ． 不 等 式 定 理 中 的 条 件 要 准 确 把 握 ， 如 a2 ＋ b2≥2ab(a，b∈R)，a＋b≥2 ab(a，b∈R＋)等．
3．含绝对值三角不等式|a|－|b|≤||a|－|b||≤|a±b|≤|a| ＋|b|中等号成立的条件应注意，|a＋b|＝|a|＋|b|中 a·b≥0， 而|a－b|＝|a|＋|b|中 a·b≤0 等．
推论 2：设 C 为常数，且 a1、a2、…、an 为 n 个正数， 则当 a1＋a2＋…＋an＝nC 时，a1a2…an≤Cn 且等号成立 ⇔a1＝a2＝…＝an.
2．定理 2(调和平均数不等式)
设 a1 、 a2 、 … 、 an 为 正 数 ， 则 n a1a2…an ≥a11＋a12＋n …＋a1n，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.
三、含绝对值不等式解法 ①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c， |ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c， ②|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c 型不等式解 法．
解法 1(分类讨论思想)：S1 令每个绝对值符号里的 一次式为 0，求出相应的根．
第三节
不等式选讲
重点难点 重点：不等式的性质、基本不等式、含绝对值不等 式的解法和不等式的基本证明方法． 难点：1.含绝对值的三角不等式； 2．不等式的基本证明方法． 3．应用柯西不等式、排序不等式证明不等式的证明 思路．
知识归纳 一、不等式的性质及数学归纳法前面已复习过不再 赘述 二、几个重要的不等式 1．基本不等式 ①定理 1 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时 取等号．
※七、平均值不等式
1．定理 1(平均值不等式) 设 a1、a2、a3、…、an 为 n 个正数，则
a1＋a2＋…＋an≥n n
a1a2…an
等号成立⇔a1＝a2＝…＝an.
即 n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
推论 1：设 a1、a2、…、an 为 n 个正数，且 a1a2…an ＝1，则 a1＋a2＋…＋an≥n，等号成立⇔a1＝a2＝…＝an ＝1.
2°当－1<x≤2 时，不等式化为 x＋1－x＋2≤4，即 3≤4 恒成立，∴－1<x≤2；
3°当 x>2 时，不等式化为 x＋1＋x－2≤4，
∴x≤52，∴2<x≤52. 综合 1°，2°，3°知，－32≤x≤52， 即不等式解集为[－32，52]．
解法二：在数轴上到点－1 和 2 距离的和为 4 的点为 －32，52，故使|x＋1|＋|x－2|≤4 的点 x 在－32和52之间，
∴－32≤x≤52.
答案：[－32，52]
(2011·江西文，15)对于 x∈R，不等式|x＋10|－|x －2|≥8 的解集为________．
解 析 ： 令 y ＝ |x ＋ 10| － |x － 2| ＝
－12， x≤－10， 2x＋8，－10<x<2， 12， x≥2.
则可画出函数图象如图所示：
解法 3(数形结合思想)：利用绝对值的几何意义求解， |x－a|＋|x－b|表示数轴上点 P(x)到点 A(a)、B(b)距离的 和．关键找出到 A、B 两点距离之和为 c 的点，“≤”取 中间，“≥”取两边．
注意这里 c≥|a－b|，若 c<|a－b|，则|x－a|＋|x－b|≤c 的解集为∅，|x－a|＋|x－b|≥c 解集为 R.
(2)定理 2(向量形式) 设 α、β 为平面上的两个向量， 则
|α||β|≥|α·β|. 当 α 及 β 为非零向量时，上式中等号成立⇔向量 α 和 β 共线⇔存在实数 λ≠0，使得 α＝λβ. 当 α 或 β 为零向量时，上面结果仍成立．
(3)定理 3 设 a1、a2、b1、b2 为实数，则 a21＋a22＋ b21＋b22≥ a1＋b12＋a2＋b22，等号成立⇔存在非负实 数 λ 及 μ，使 μa1＝λb1，μa2＝λb2.
x∈R}．若 A⊆B，则实数 a，b 必满足( )
A．|a＋b|≤3
B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3
D．|a－b|≥3
解析：由题意可得集合 A＝{x|a－1<x<a＋1}，集合 B ＝{x|x<b－2 或 x>b＋2}，又因为 A⊆B，所以有 a＋1≤b －2 或 b＋2≤a－1，即 a－b≤－3 或 a－b≥3.因此选 D.
分析：依据|ax＋b|<c 不等式解法求出 x 的取值范 围，与 1<x<3 比较求出 a，或依据方程的根与不等式解t;x<a＋1， 又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得 a＝2.
答案：2
(理)设集合 A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，
|ax＋b|<c及|ax＋b|>c型不等式解法
[例 1] (2011·甘肃兰州一中月考)解关于 x 的不等式 |ax－1|>a＋1(a>－1)．
分析：这是|ax＋b|>c(c>0)型不等式，先去掉绝对值号 等价转化为一元一次不等式，由于含字母系数 a，故须分 类讨论．
解析：|ax－1|>a＋1⇔ax－1>a＋1，或 ax－1<－a－ 1⇔ax>a＋2，或 ax<－a.
(5)定理 5(三角不等式的向量形式) 设 α、β、γ 为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|， 当 α－β、β－γ 为非零向量时，上式中等号成立⇔存在正 常数 λ，使 α－β＝λ(β－γ)⇔向量 α－β 与 β－γ 同向．
六、排序不等式 设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组实数，c1、 c2、…、cn 为 b1、b2、…、bn 的任一排列，则有 a1bn＋a2bn －1＋…＋anb1≤a1c1＋ a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋ anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an 或 b1＝b2＝…＝bn. 即反序和≤乱序和≤顺序和．
②定理 2(基本不等式) a＋2 b≥ ab(a，b∈R＋)，仅 当 a＝b 时取等号．
③定理 3(平均值不等式) a＋3b＋c≥3 abc(a，b，c ∈R＋)，当且仅当 a＝b＝c 时取等号．
n1(a1＋a2＋…＋an)≥n a1a2…an(ai∈R＋，i＝1,2，…， n)，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时取等号．
4．用比商法证明不等式应注意：
AB>1⇒A>B. B>0
AB>1⇒A<B. B<0
因此，用比商法必须先判定符号．
5．分析法证明不等式的每一步都是寻求使不等式成 立的充．分．条件．
6．换元法证明不等式时，要注意换元后，新．元．的．取． 值．范．围．会发生变．化．，而有时忽视这种变化会导致错误结 论或无法进行下去．
其中等号成立⇔ab11＝ab22＝…＝bann(当某 bj＝0 时，认为
aj＝0，j＝1,2，…，n)．
2．二维形式的柯西不等式： (1)定理 1(代数形式) 设 a1、a2、b1、b2 均为实数， 则 (a21＋a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2. 上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.
2．绝对值三角不等式 ①定理 1 |a|＋|b|≥|a＋b|(a，b∈R)，当且仅当 ab≥0 时等号成立． ②定理 2 如果 a、b、c∈R，那么|a－c|≤|a－b|＋|b －c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立． ③||a|－|b||≤|a±b|.
3．分式不等式 若 a>b>n>0，m>0，则ba－－nn<ba<ba＋＋mm.
由图象可以观察出使 y≥8 的 x 的取值范围为[0，＋ ∞)．
∴|x＋10|－|x－2|≥8 的解集为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
不等式的有解与恒成立问题
常常是分析找思路，综合写过程．
(4)反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题 不成立，把它作为条件和其它条件结合在一起，利用已 知定义、定理、公理、性质等基本原理进行正确推理， 逐步推证出一个与命题的条件或已证明过的定理、性质， 或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设不正 确，从而肯定原命题成立的方法称为反证法．
S2 把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干 个小区间．
S3 在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符 号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集．
S4 这些解集的并集就是原不等式的解集．
解法 2(函数与方程思想)：构造函数 f(x)＝|x－a|＋|x － b|－ c， 写 出 f(x) 的 分段 解 析式 作出 图象 ，找 出使 f(x)≤0(或 f(x)≥0)的 x 的取值范围即可．
(4)定理 4(平面三角不等式) 设 a1、a2、b1、b2、c1、c2∈R，则 a1－b12＋a2－b22 ＋ b1－c12＋b2－c22≥ a1－c12＋a2－c22， 等号成立⇔存在非负实数 λ 和 μ，使 μ(a1－b1)＝λ(b1 －c1)，μ(a2－b2)＝λ(b2－c2)成立，其几何意义是三角形两 边之和大于第三边．
当－1<a<0 时，x<a＋a 2或 x>－1，原不等式的解集为 (－∞，a＋a 2)∪(－1，＋∞)．
当 a＝0 时，原不等式的解集为∅.
当 a>0 时，x>a＋a 2，或 x<－1， 原不等式的解集为(－∞，－1)∪(a＋a 2，＋∞)．
(文)(2011·陕西三检)若关于 x 的不等式|x－a|<1 的 解集为(1,3)，则实数 a 的值为________．
7．柯西不等式及排序不等式中 ai、bi(i＝1,2，…， n)均为实数，而平均值不等式中 ai 为正数．
解题技巧 1．应用放缩法证明不等式时，放缩要适．当．，既不能 放的过小，也不能放过了头． 2．用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑合适的 项便于应用归纳假设． 3．应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子特点， 从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立的条件．
四、不等式的证明方法 (1)比较法：依据 a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0 来证 明不等式的方法称作比较法． 其基本步骤：作差→配方或因式分解→判断符号→ 得出结论．
(2)综合法：从命题的已知条件出发，利用公理、已 知的定义、定理、性质等，经过一系列的推理论证得出 命题成立的方法．它是由因导果法．
推论：设 a1、a2、…、an 为 n 个正数，则 (a1＋a2＋…＋an)a11＋a12＋…＋a1n≥n2.
3．加权平均不等式 设 a1、a2、…、an 为 n 个正数，p1、p2、…、pn 都是 正有理数，并且 p1＋p2＋…＋pn＝1，那么 p1a1＋p2a2＋… ＋pnan≥ap11ap22…apnn. 八、贝努利不等式 设 x>－1，且 x≠0，n 为大于 1 的自然数，则(1＋x)n>1 ＋nx.
(3)分析法：从要证明结论出发，逐步寻求使它成立 的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立 的事实(定义、公理或已证明过的定理、性质等)，从而得 出要证明的命题成立的方法，它是执果索因的方法．
分析法与综合法常常结合起来运用，看由已知条件能 产生什么结果，待证命题需要什么条件，两边凑一凑找出 证明途径．
(5)放缩法：证明不等式时，根据需要把需证明的不 等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易， 达到证明目的，这种方法称为放缩法．
五、柯西不等式
1．一般形式：
设 a1、a2、…、an、b1、b2、…、bn 为实数，则(a12＋
a22＋…＋a2n)
1 2
(b12＋b22＋…＋
bn2)
1 2
≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|.