2007年湖南高考理科数学试卷及详解

2007年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)
数学（理工农医类)
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．复数2
2i 1+i ⎛⎫
⎪⎝⎭
等于（ ）
A ．
B ．4i -
C ．
D ．2i -
2．不等式
2
01
x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，，
B ．[12]-，
C ．(1)
[2)-∞-+∞，， D ．(12]-，
3．设M N ，是两个集合，则“M N =∅"是“M N ≠∅”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a b
B ．∥a b
C ．||||=a b
D ．||||≠a b
5．设随机变量服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=( ) A ．0.025
B ．0.050
C ．0.950
D ．0.975
6．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩
， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是
（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 7．下列四个命题中，不正确．．．
的是（ ） A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0
lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→
B ．函数2
2
()4
x f x x +=
-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞
-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
=→→
D
．1
1
2
x =→ 8．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球的表面上，E F ，分别是棱1AA ，
1DD 的中点，则直线EF 被球截得的线段长为（ ）
A
．
2
B ．
C
．12
+
D ．
9．设12F F ，分别是椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在使
线段1PF 的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．02⎛
⎝⎦
，
B ．03⎛
⎝⎦，C
．12⎫
⎪⎪
⎣⎭
D
．13⎫
⎪⎪
⎣⎭
10．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，,{}j j j S a b =，（i j ≠,{123}i j k ∈、，，，，），都有
min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩
⎭，，(min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者）
，则的最大值是（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是．
12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b =
，c =π
3
C =，则B =．
13．函数3
()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是．
14．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥,{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅,
(1)的取值范围是； （2）若()x y A
B ∈，，且2x y +的最大值为9，则的值是．
15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表．从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行，…,第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
…………………………………………… 图1
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2
π()cos 12f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭，1()1sin 22
g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知参加过财会培训的有60％，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I)任选1名下岗人员,求该人参加过培训的概率；
（II)任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望． 18．(本小题满分12分）
如图2，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点,是EF 上的一点，将GAB △，
GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △,2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平
面ABCD ，12G G AD ∥,且12G G AD <．连结2BG ，如图3．
图2
图3
（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ;
（II ）当12AB =,25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角． 19．（本小题满分12分）
如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为(090θ<<)，且2
sin 5
θ=
，点到平面的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km ，原有公路改建费用为
2
a 万元/km ．当山坡上公路长度为km （12l ≤≤）时，其造价为2
(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =
，OA =
．
（I ）在AB 上求一点，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；
（II) 对于(I ）中得到的点，在DA 上求一点，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．
(III ）在AB 上是否存在两个不同的点，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II)中得到的最小总造价，证明你的结论．
20．(本小题满分12分）
已知双曲线22
2x y -=的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于A B ，两点． （I ）若动点满足1111FM F A F B FO =++（其中为坐标原点）
，求点的轨迹方程； （II ）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在,请说明理由． 21．（本小题满分13分) 已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线x
y e =上的点,1a a =，是数列{}n a 的前项和，且满足
22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，2
34n =，，，…． （I ）证明:数列2n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
（2n ≤）是常数数列； （II ）确定的取值集合,使a M ∈时,数列{}n a 是单调递增数列; （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*)的斜率随单调递增．
参考答案
1．【答案】C
【解析】2
22
2i 4i 42i.1+i (1+i)2i -⎛⎫=== ⎪⎝⎭
2．【答案】D 【解析】由
2
01x x -+≤得(2)(1)010
x x x -+⎧⎨+≠⎩≤，所以解集为(12]-，。

3．【答案】B
Ｏ
A
E
D
B
H
P
【解析】由韦恩图知M N ≠∅⇒/M
N ≠∅；反之，M
N ≠∅.M N ⇒≠∅
4． 【答案】A
【解析】2
2
2
()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+a b a b a b a b a b ，若函数()f x 的图象是一条直线,即其二次项系数为0， ∴a b =0, ⇒⊥a b.
5．【答案】C
【解析】服从标准正态分布(01)N ，，(|| 1.96)( 1.96 1.96)P P ξξ⇒<=-<<=
(1.96)( 1.96)12( 1.96)120.0250.950.ΦΦΦ--=--=-⨯=
6．【答案】B.
【解析】由图像易知交点共有3个。

7【答案】C.
【解析】lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
=→→的前提是lim ()lim ()x x f x g x ∞
∞
→→与必须都存在！
8．【答案】D 。

【解析】正方体对角线为球直径,所以4
3
2
=
R ，在过点E 、F 、O 的球的大圆中， 由已知得d=
23,21=R ，2
2
4143=-=r ，所以EF=2r=. 9． 【答案】D
【解析】由已知P 2(,)a y c ，所以1F P 的中点Q 的坐标为2(,)22b y
c ，由
1212422
2222,,1,2.2F P
QF F P QF cy cy b k k k k y b b b c c
==⋅=-⇒=--
2222211()(3)0(3)0,13
y a c e e e ∴=--
>⇒->>>
当10F P
k =时，2QF k 不存在，此时为中点，223a c c e c -=⇒=
1.e ≤< 10．【答案】B
【解析】含2个元素的子集有15个，但｛1，2}、{2，4}、｛3，6}只能取一个；
｛1，3}、{2，6｝只能取一个；｛2，3｝、｛4，6}只能取一个， 故满足条件的两个元素的集合有11个。

11．【答案】2
2
(1)(1)2x y -+-=
【解析】半径R=
22
|
411|=-+，所以圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=
12．【答案】
5π
6
【解析】由正弦定理得cos
B ==,所以5π.6B =
13．【答案】–16 【解析】
2()12302,f x x x '=-=⇒=±检验
(2)16,(3)9,f f ⇒-=-=min ()(2)16.f x f ∴=-=-
14．【答案】（1）[1)+∞， （2)
9
2
【解析】（1）由图象可知的取值范围是[1).+∞，
（2）若(),,x y A B ∈⋂令t=2x y +,则在（0，b ）处取得最大值，
所以0+2b=9，所以b=
9
2。

15．【答案】21n -,32
【解析】由不完全归纳法知,全行都为1的是第21n
-行；
662163,n =⇒-=
故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1。

16．解:（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26
f x x =
++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π
26
x +
πk =, 即0 π
2π6x k =-
（k ∈Z ）． 所以0011π
()1sin 21sin(π)226
g x x k =+=+-．
当为偶数时，01π13()1sin 12644
g x ⎛⎫
=+-=-= ⎪⎝⎭, 当为奇数时，01π15()1sin 12644
g x =+
=+=． （II)1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=
++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
1π311
3cos 2sin 2cos2sin 22622222
x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=
+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭． 当πππ2π22π232k x k -
++≤≤，即5ππ
ππ1212
k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭是增函数, 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，（k ∈Z ）． 17．解:任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机
培训"为事件,由题设知，事件与相互独立，且()0.6P A =,()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=
所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=． 解法二:任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=
该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．
（II)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布
(30.9)B ，，33()0.90.1k k k P k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，,即的分布列是
的期望是10.02720.24330.729 2.7E ξ=⨯+⨯+⨯=． （或的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=)
18．解:解法一：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ,平面1G AB
平面
ABCD AB =,AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面1G AB ，又AD ⊂平面
12G ADG ，
所以平面1G AB 平面12G ADG ．
（II ）过点作1BH AG ⊥于点,连结2G H ． 由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G ADG ，
所以2BG H ∠是2BG 和平面12G ADG 所成的角． 因为平面1G AB ⊥平面ABCD ,平面1G AB
平面ABCD AB =，1G E AB ⊥,
1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，故1G E EF ⊥．
因为12G G AD <,AD EF =，所以可在EF 上取一点，使12EO G G =, 又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EOG 是矩形．
由题设12AB =,25BC =,8EG =，则17GF =．所以218G O G E ==，
217G F =
,15OF ==,1210G G EO ==．
因为AD ⊥平面1G AB ，12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1G AB ，从而121G G G B ⊥．
故2222222
21126810200BG BE EG G G =++=++=
，2BG =
又110AG ==，由11BH AG G E AB =得81248
105
BH ⨯=
=
．
故2248sin 525
BH BG H BG ∠=
==
． 即直线2BG 与平面12G ADG
所成的角是arcsin
25
． 解法二:(I ）因为平面1G AB ⊥平面ABCD ，平面1G AB
平面ABCD AB =，1G E AB ⊥，
1G E ⊂平面1G AB ，所以1G E ⊥平面ABCD ，从而1G E AD ⊥．又AB AD ⊥，
所以AD ⊥平面1G AB ．因为AD ⊂平面12G ADG ,所以平面1G AB 平面12G ADG ． （II ）由（I ）可知，1G E ⊥平面ABCD ．故可以为原点，分别以直线1EB EF EG ，， 为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设12AB =，25BC =，8EG =，则6EB =,
25EF =,18EG =，相关各点的坐标分别是(600)A -，
，，
(6250)D -，，，1(008)G ，，，(600)B ，，． 所以(0250)AD =，，，1(608)AG =，，．
设()n x y z =，，是平面12G ADG 的一个法向量，
由100n AD n AG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，.得250680
y x z =⎧⎨+=⎩，故可取(403)n =-，
，． 过点作2G O ⊥平面ABCD 于点，因为22G C G D =，所以OC OD =， 于是点在轴上．
因为12G G AD ∥,所以12G G EF ∥,218G O G E ==．
设2(08)G m ，，
(025m <<)，由222
178(25)m =+-,解得10m =， 所以2(0108)(600)(6108)BG =-=-，，，，，，． 设2BG 和平面12G ADG 所成的角是，则
222
22
224|sin 25
643
BG n BG n
θ=
=
=
++． 故直线2BG 与平面12G ADG 所成的角是arcsin
25
．
19．解：（I ）如图，PH α⊥，HB α⊂，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以
PBH ∠是 山坡与所成二面角的平面角
,则PBH θ∠=，
1sin PH
PB θ
=
=． 设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则
PD ==[12]∈，
． 记总造价为1()f x 万元， 据题设有
2
211111
()(1)(224
f x PD AD AO a x x a =++
+=-++ 2
143416x a a ⎛⎫
⎛=-++ ⎪ ⎝⎭⎝
当14x =
，即1
(km)4
BD =时，总造价1()f x 最小． (II ）设(km)AE y =，5
04
y ≤≤,总造价为2()f y 万元，根据题设有
22131()1224f y PD y a ⎡⎤
⎛⎫=++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦43216y a a ⎫=+⎪⎭．
则(
)21
2f y a ⎛⎫'⎪=-⎪⎭
，由2()0f y '=,得1y =．
当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数； 当514y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时,2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫ ⎪⎝⎭
，内是增函数． 故当1y =，即1AE =（km)时总造价2()f y 最小，且最小总造价为
67
16
a 万元． （III ）解法一:不存在这样的点，． 事实上，在AB 上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于 与 之间．故可设位于与之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，123
02
x y +≤≤，总造价为万元，
则2
11111224x y S x a ⎛⎫=-
++ ⎪⎝
⎭．类似于（I ）、（II)讨论知，2
111216
x x --≥
，1322y ≥,当且仅当11
4x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立,此时1(km)4BD '=，1(km)AE =，取得最小值67
16
a ，点D E ''，
分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于(II ）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得
211111224x y S x a ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭
))
2
1111143
3
4416
x a y y a a ⎛
⎫⎡⎤=-++
+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭
143
416a a ⨯+≥ 67
16
a =． 当且仅当114x =
且11)y y ，即11114
x y ==，同时成立时,
取得最小值
6716
a ，以上同解法一． 20．解：由条件知1(20)F -，
，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． 解法一：（I ）设()M x y ，，则则1
(2)FM x y =+，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y FO =+=，，，，由1111FM F A F B FO =++得
121226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y
+=-⎧⎨+=⎩， 于是AB 的中点坐标为422x y -⎛⎫ ⎪⎝
⎭，． 当AB 不与轴垂直时，1212248
22
y
y y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上,所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得
12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-． 将1212()8
y y y x x x -=--代入上式,化简得22(6)4x y --=． 当AB 与轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点的轨迹方程是22
(6)4x y --=．
(II ）假设在轴上存在定点(0)C m ，，使CA CB 为常数．
当AB 不与轴垂直时,设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．
代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421
k x x k +=-， 于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--
22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++
22222222(1)(42)4(2)411
k k k k m k m k k +++=-++--
222222(12)2442(12)11
m k m m m m k k -+-=+=-++--． 因为CA CB 是与无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时CA CB =．
当AB 与轴垂直时，点A B ，
的坐标可分别设为(2
，(2-，
， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，
． 故在轴上存在定点(10)C ，，使CA CB 为常数．
解法二：(I)同解法一的（I ）有1212
4x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩， 当AB 不与轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222
(1)4(42)0k x k x k -+-+=． 则12x x ，是上述方程的两个实根，所以2
12241
k x x k +=-． 21212244(4)411
k k y y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭． 由①②③得2
2441
k x k -=-．…………………………………………………④ 241
k y k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，
4x k y -=，将其代入⑤有 22224
44(4)(4)(4)1x y x y y x x y y -⨯
-==----．整理得22(6)4x y --=． 当0k =时，点的坐标为(40)，
，满足上述方程． 当AB 与轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，
,也满足上述方程． 故点的轨迹方程是22
(6)4x y --=． （II ）假设在轴上存在定点点(0)C m ，
，使CA CB 为常数，
当AB 不与轴垂直时，由(I)有212241k x x k +=-,2122421
k x x k +=-． 以上同解法一的（II ）．
21．解：（I)当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．
因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． ……①
于是213(1)n n S S n ++=+． ……②
由②－①得163n n a a n ++=+． ……③ 于是2169n n a a n +++=+． ……④ 由④－③得26n n a a +-=， ……⑤ 所以2
262n n n n a a a n a n b e e e b e ++-+===，即数列2(2)n n b n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
≥是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，
所以332a a =+，4182a a =-．
而 ⑤表明:数列2{}k a 和21{}k a +分别是以，为首项，6为公差的等差数列， 所以226(1)k a a k =+-,2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N*, 数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N*成立． 12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ⇔<<<9151223218244a a a a a ⇔<-<+<-⇔<<． 即所求的取值集合是9154
4M a a ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭． (III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n n
a a n n n n n n n
b b e e k a a a a ++++--==-- 任取，设函数0
0()x x e e f x x x -=-，则0020()()()()
x x x e x x e e f x x x ---=- 记00()()()x
x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x x g x e x x e e e x x '=-+-=-,
当0x x >时,()0g x '>，()g x 在0()x +∞，
上为增函数， 当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数， 所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>,
所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，
上都是增函数． 由（II)知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，
取0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n n a a n n n e e k a a ++-=-22n n
a a n n
e e a a ++-<-． 取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n e e k a a +++++-=-2
2n n a a n n e e a a ++->-． 所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随单调递增．
解法二:设函数1
1
()n a x n e e f x x a ++-=-，同解法一得， ()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，
上都是增函数, 所以111111lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a +++-+++--=<=--→，211111211lim n n n n n a a a x a n n a n n n e e e e k e a a x a ++++++++++--=>=--→． 故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N*的斜率随单调递增．。