高三数学1月月考试卷文科课标试题

2021-2021学年第一学期北江中学高三数学1月月考试卷文科
一．选择题〔一共10题，每一小题5分，一共50分〕 1．sin 42sin 72cos 42cos72+= (
)
A ．sin 60
B ．cos 60
C ．sin114
D ． cos114
2. 集合{|213}A x x =+>,2
{|60}B x x x =+-≤,那么A B =〔 〕
.A [3,2)(1,2]-- .B (3,2](1,)--+∞ .C (3,2][1,2)-- .D (,3)(1,2]-∞-
3．假设,,,a b c R a b ∈<那么以下不等式恒成立的是〔 〕
A ．
11a b > B ．22a b < C ．22
11
a b
c c <++ D ．ac bc < 4．在等差数列{}n a 中，假设622a =，那么8102a a -的值是〔 〕
A ．11
B ．12
C ．21
D ．22
5．a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么||a b += ( )
A ．3
B ．2
C ．4
D 6．在复平面内，复数
1i i
+＋(1＋3i )2
对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
7. 将函数x y sin =的图象上各点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标保持不变，然后将所
得曲线向左平移
4
π
单位，得到()x f y =函数的图象，那么()()f x =
A. ⎪⎭⎫
⎝
⎛+
42sin πx B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+82sin πx C. x 2cos D. ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-22sin πx 8．假设数列}{n a 的前n 项的和32n n S a =-，那么这个数列的通项公式为〔 〕 A ．1
3()2
n n a -=
B ．1
13()
2
n n a -=⨯ C ．32n a n =- D ．1
3n n a -=
．函数
||
1x y a =-(1)a >的大致图像是〔 〕
10．定义在R 上的函数f(x)满足()(2)f x f x =+，当]5,3[∈x 时，|4|2)(--=x x f ，那么)6
(sin ),2(cos ),1(sin π
f f f 的大小关系是〔 〕
A ．)2(cos )1(sin )6(sin
f f f <<π
B ．)2(cos )6
(sin )1(sin f f f <<π
C ．(cos 2)(sin1)(sin
)6f f f π
<< D ．)6
(sin )2(cos )1(sin π
f f f <<
二．填空题〔一共4题，每一小题5分，一共20分;两空的第一空2分，第二空3分〕 11．1
tan 2,tan()7
βαβ=-=
，那么tan α= ． 12．在条件02021x y y x ≤≤⎧⎪
≤≤⎨⎪-≥⎩
下， 3z x y =-的最大值是
13．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，那么(6)f 的值是________. 14．观察下表中的数字排列规律,那么第8行的第2个数是_______;第n 行〔2n ≥〕第2个数是 __________.
三．解答题〔一共6题，一共80分〕 15．〔本小题满分是12分〕
假设函数)0(cos sin sin )(2
>-=a ax ax ax x f 的图象与直线m y =〔m 为常数〕相切，
〔B 〕
〔D 〕 〔C 〕 〔A 〕
并且最小正周期为
2
π． 〔Ⅰ〕求a 和m 的值；
〔Ⅱ〕假设点),(00y x A 是)(x f y =图象的对称中心，且∈0x [0,
2
π
]，求点A 的坐标． 16．〔本小题满分是14分〕不等式2
30{|1,}x x t x x m x R -+<<<∈的解集为 〔1〕求t ，m 的值；
〔2〕假设函数f(x)=－x 2
＋ax ＋4在区间(],1-∞上递增，
求关于x 的不等式2
log (32)0a mx x t -++-<的解集.
17．〔本小题满分是14分〕
如图,在三棱锥S-ABC 中，平面SAC ⊥平面ABC ，且△SAC 是正三角形, △ABC 是等腰直角三角形，其中AC=CB ，O 是AC 的中点，D 是AB 的中点.
(Ⅰ) 求证：OD//平面SBC; (Ⅱ) 求证:SO ⊥AB.
18．〔本小题满分是12分〕某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b 人，以后学生人数年增长率为4.9‰．该校今年年初有旧实验设备a 套,其中需要换掉的旧设备占了一半．决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x 套的旧设备，
〔1〕假如10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？
〔2〕按照(1)更换速度，一共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？ 以下数据供计算时参考：
C
B
A
O
S
D
19. (本小题满分是14分〕函数2
2
()4()f x x ax a a R =-+∈． 〔Ⅰ〕假如关于x 的不等式()f x ≥x 的解集为R ，务实数a 的最大值；
〔Ⅱ〕设函数3
()23()g x x af x =+，假如()g x 在区间(0，1)上存在极小值，务实数a 的取值范围．
20. (本小题满分是14分〕3
()f x x ax =-+在(0,1)上是增函数。

〔I 〕务实数a 的取值的集合A ；
〔II 〕当a 取A 中的最小值时，定义数列{}n a 满足1(0,1)a b =∈，且12()n n a f a +=
试比拟n a 与1n a +的大小？
〔III 〕在〔II 〕的条件下，问是否存在正实数c ，使得0<
c
a c a n n -+<2对于一切*
n N ∈恒成立？假设存在，求出c 的取值范围；假设不存在，说明理由。

[参考答案]
一、选择题：
二、填空题：
11．3 12．－3 13．0 14．29；22
2
n n -+
三、解答题：
15．解：〔Ⅰ〕2
1
)2cos 2(sin 212sin 21)2cos 1(21)(++-=--=
ax ax ax ax x f 2
1
)42sin(22++-
=πax ………………………〔4分〕 ∵)(x f y =的图象与m y =相切.
∴m 为)(x f 的最大值或者最小值. 即221+=
m 或者2
2
1-=m ……〔6分〕
又因为)(x f 最小正周期为2
π
. 又0,2
22>==
a a T π
π 所以2=a ……………………〔8分〕 〔Ⅱ〕 即2
1
)44sin(22)(++-=πx x f ……………………〔9分〕 令0)44sin(=+
π
x ．那么)(,16
4)
(,4
400Z k k x Z k k x ∈-=
∴∈=+
π
πππ
〔10分〕 由0≤
164ππ-k ≤,()2
k Z π
∈得k =1,2, 因此对称中心为)21,163(π、)2
1
,167(π． (12)
16．解：⑴ 不等式t x x +-32
＜0的解集为{|1,}x x m x R <<∈
∴⎩⎨
⎧==+t m m 31得⎩⎨⎧==2
2
t m
⑵ f(x)=44222a a x ++--）（在(,1]-∞上递增，∴1,22
a a ≥≥
又0log log )
32()
23(2
2
＜x x
a t x mx
a
+--++-= ，
由2≥a ，可知0＜x x 322
+-＜1 由2
230x x -<， 得0＜x ＜2
3
由22310x x -+>，得x ＜21
或者x ＞1 故原不等式的解集为{
x|0＜x ＜21或者1＜x ＜
2
3
}
17．(Ⅰ)证明: ∵O 是AC 的中点，D 是AB 的中点 ∴OD//BC,又BC ⊆平面SCD,OD ⊄平面SCD
∴ OD//平面SBC; …………………………………6分
(Ⅱ) 证明:SAC ∆是正三角形, O 是AC 的中点，
∴SO AC ⊥.
又∵平面SAC
⊥平面ABC ，
∴SO ACB ⊥平面，
∴SO AB ⊥. …………………………………12分
18．解：〔1〕设今年学生为b 人，那么10年后学生为b (1+4.9‰)10
b ,
由题设可知，1年后的设备为(110%) 1.1a x a x ⨯+-=-．
2年后的设备为2
2
(1.1)(110%) 1.1 1.1 1.1(1 1.1)a x x a x x a x -⨯+-=--=-+． 3年后的设备为2
3
2
3
2
(1.1 1.1)(110%) 1.1 1.1 1.1 1.1(1 1.1 1.1)a x x x a x x x a x --⨯+-=---=-++ ……
10年后的设备为
1029101.1(1 1.1 1.1 1.1)
1(1 1.1)
2.61 1.1
2.616.
a x a x a x ⨯-++++⨯-=-⨯
-=-
由题设得
2.61621.05a x a b b -=⨯ ，解得1
32
x a =．
〔2〕全部更换旧设备还需116232a
a ÷=．
答：〔1〕每年更换旧设备为2
116
a m ．〔2〕按此速度全部更换旧设备还需16年．
19．解： 〔Ⅰ〕
()f x x ≥的解集为R ，22(41)0x a x a ∴-++≥恒成立
2240(41)a a -≤∴∆=+，即2
12810a a ++≤
解得11.26a -
≤≤-故a 的最大值为1
.6
-………………………………6分 〔Ⅱ〕由可得：3
2
2
2
()23123g x x ax a x a =+-+ 那么'
2
2
()66126()(2)g x x ax a x a x a =+-=-+
令'
()0g x =得x a =或者2.x a =-………………………………8分
〔1〕假设0a =，那么'
()0g x ≥， ()g x ∴在R 上单调递增，在〔0，1〕上无极
值；
〔2〕假设0a >，那么当2x a <-或者x a >时，'
()0g x >；当2a x a -<<时，
'()0g x <
∴当x a =时，()g x 有极小值；
又
()g x 要在区间(0，1)上存在极小值，∴01a <<………………11分
〔3〕假设0a <，那么当'
2()0x a x a g x <>->或时，；当
'2()0a x a g x <<-<时，
∴当2x a =-时，()g x 有极小值； 又
()g x 要在区间(0，1)上存在极小值，∴1
021,02
a a <-<<<∴-……14分
综上所述，当1
02
a <<-
或者01a <<时，()g x 要在区间(0，1)上存在极小值 20．解：①设任意12
,x x ∈(0,1),且12x x <，那么
331111223321122
2212121
1222212121()()()()
()
()()() ()()
f x f x x ax x ax x x a x x x x x x x x a x x x x x x x x a -=-+--+=-+-=-+++-=-++-
由题意知：11()()0f x f x -< 且 12x x < 22
21210x x x x a ∴++-<恒成立
12,x x ∈(0,1) ∴ 222121x x x x ++∈(0,3) ∴ 3a ≥∴A ：[3, +∞ ]
②由题意知：3a =a=3时，3
12()3n n n n a f a a a +==-+ ∴ 3113
22
n n n a a a +=-
+ ，n N ∈ ∴ 332113111
(1)22222n n n n n n n n n a a a a a a a a a +-=-+-=-+=--
由①可知313
()22g x x x =-+ 在(0,1)为增函数 ∴1(0,1)a b =∈
∴ 332111313131222222a a a b b =-+=-+<-+= 又 221
(3)02a b b =->
∴2(0,1)a ∈ ……由此猜测：(0,1)n a ∈
以下用数学归纳法证明：(0,1)n a ∈ 1) 由：12,(0,1)a a ∈
2) 设(2,)n k k k N =≥∈时，结论成立∴(0,1)k a ∈
∴1n k =+时, 311322k k k a a a +=-+ 313
()22
g x x x =-+在(0,1)为增函数
∴3311313
0001112222
k a +=-+<<-+= ∴101k a +<<∴对于一切正整数n ，均有
(0,1)n a ∈∴211
(1)02
n n n n a a a a +-=--> ∴ 1n n a a +>
③ 设存在正实数c ，使0<
c a c a n n -+<2恒成立 ∴n a c > 21n n n a c c
a c a c
+=+--
即: 211n c a c -<
<-恒成立, 即201n c
a c <<-即 12n a c c
->即 3n a c >∴3n a c >恒成
立. 1n n a a +> 对任意n 成立. ∴ 13a c >∴103a c <<，即c 的取值范围为：(0,)3
b。

励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。

创作；朱本晓2022年元月元日
创作；朱本晓2022年元月元日。