宁夏银川一中届高三第三次模拟考试数学试题及答案(文)

2013年普通高等学校招生全国统一考试
文 科 数 学
(银川一中第三次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：
样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式
s =
13
V S h =
其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式
V Sh = 24S R π= 34
3
V R π=
其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知全集U=R ，设函数y=lg(x-1)的定义域为集合A ，函数y=522++x x 的值域为集合B ，则A∩(C U B)=( )
A ．[1,2]
B ．[1,2)
C ．(1,2]
D ．(1,2) 2．已知sinθ=5
4
，且sinθ-cosθ>1，则sin2θ=( ) A ． -2524 B ．-2512 C ．-54 D ．25
24 3．已知等差数列}{n a 满足,0101321=++++a a a a 则有( )
A ．01011>+a a
B ．01002<+a a
C ．0993=+a a
D ．5151=a
4．已知01
1<<b
a ，则下列结论不正确的是( )
A ．a 2<b 2
B ．ab<b 2
C ．
2>+a
b
b a D ．|a|+|b|>|a+b|
5. 下图给出了下一个算法流程图，该算法流程图的功能是( )
A ．求a,b,c 三数的最大数
B ．求a,b,c 三数的最小数
C ．将a,b,c 按从小到大排列
D ．将a,b,c 按从大到小排列
6. 已知函数)5(,)0)(3()0(2)(f x x f x x f x
则⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤==( )
A ．32
B ．16
C ．
2
1
D ．
32
1 7. 若命题“p ∧q”为假，且“⌝p”为假，则( )
A ．p 或q 为假
B ．q 假
C ．q 真
D ．不能判断q 的真假
8．已知正四棱锥的各棱棱长都为23，则正四棱锥的外接球的表面积为( )
?
?
A ．π12
B ．π36
C ．π72
D ．π108
9．函数y=sinxcosx+3cos 32-x 的图象的一个对称中心是( ) A )23,32(
-π B )23,65(-π C )2
3
,32(π- D )3,3(-π
10．甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量(千克∕亩)如下表：
则平均产量较高与产量较稳定的分别是( ) A ．棉农甲，棉农甲
B ．棉农甲，棉农乙
C ．棉农乙，棉农甲
D ．棉农乙，棉农乙
11. 已知函数34)(2+-=x x x f ，集合(){}0)()(,≤+=y f x f y x M ， 集合(){}0)()(,≥-=y f x f y x N ，则集合N M 的面积是( )
A ．
4
π
B ．
2
π
C ．π
D ．π2
12．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，
0)(')()()('>+x g x f x g x f ，且0)3(=-f ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是( ）
A ．(－3，0)∪(3，+∞)
B ．(－3，0)∪(0，3)
C ．(－∞，－3)∪(3，+∞)
D ．(－∞，－3)∪(0，3)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13 椭圆19
822=++y k x 的离心率为21，则k 的值为________.
14. 已知函数),(1
22
2)(R x a a x f x
x ∈+-+⋅=是奇函数，则实数a 的值________.
15. 已知边长分别为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、
OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积分别为
21cr 、21ar 、21br ，由S=21cr+21ar+2
1
br 得r=
c
b a S
++2，类比得若四面体的体积为V,四个面的面积分别为A 、B 、C 、D ，则内
切球的半径R=_____________. 16.若数列}{n a 满足}*1112()1n
n n n
a a a a n N a ++==∈-数列满足，，则该数列的前2013项的乘积______.
三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分)
如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距)33(5+海里
的两个观测点。

现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60° 的D 点有一艘轮船发出求救信号。

位于B 点南偏西60° 且与B 相距
203海里的C 点的救援船立即前往营救， 其航行速度为30海里/小时。

求救援船直线到达D 的 时间和航行方向。

18．(本小题满分12分)
已知函数)(x f =b ax x ++2
（1）若-242,4≤≤-≤≤b a ，且a Z b Z ∈∈,，求方程)(x f =0无实根的概率 （2）若,1≤a 1≤b ，求方程)(x f =41b 2+b-4
1
无实根的概率.
19. (本小题满分12分)
已知D 、E 分别在平面ABC 的同侧，且DC ⊥平面ABC ，
EB ⊥平面ABC ，DC=2,ΔABC 是边长为2的正三角形，F 是 AD 中点.
(1)当BE 等于多少时，EF ∥平面ABC ；
60°
45°
B
A
C
D
60°
(2)当EF ∥平面ABC 时，求证CF ⊥EF. 20. (本小题满分12分)
曲线C 上任一点到定点(0，81)的距离等于它到定直线8
1
-=y 的距离. (1)求曲线C 的方程；
(2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线、1l 2l 分别交曲线C 于A 、B 两点，且1l ⊥2l ，设M 是AB 中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M 到这个定点的距离与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由.
21. (本小题满分12分)
(1))0()
1ln()(>+=
x x
x x f ,求证：若0>>n m ,则)()(n f m f <. (2)求2ln )(ax x x g -=在[1,2]上的最大值。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲．
如图：AD 是ΔABC 的角平分线，以AD 为弦的 圆与BC 相切于D 点，与AB 、AC 交于E 、F. 求证：AE·CF=BE·AF
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程．
(1)求点M （2，
3π）到直线ρ=θ
θcos sin 3
+上点A 的距离的最小值。

(2)求曲线)(sin cos 1:为参数θθθ
⎩
⎨
⎧=+-=y x C 关于直线y =1对称的曲线的参数方程
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲．
已知：c a < c b <，求证：
c
ab
c b a 1
2<++. E
A
B C D
F
参考答案
一、选择题：
二、填空题： 13． 4或4
5-
14. 1 15. D C B A V +++3 16. 2
三、解答题：
17．解：AB=)33(5+，∠D=105°，sinD=sin(60°+45°)=
4
2
6+ 由
D
AB
DB sin 45sin =︒
得BD=310…………4分
在ΔDCB 中，BC=203，∠DBC=60° CD=302
1
3103202)310()320(2
2
=⋅⋅⋅-+ ∴救援船到达D 的时间为
130
30
=小时…………8分 由︒=60sin sin CD DCB BD 得2
1
sin =∠DCB
∠DCB=30°
∴救援船的航行方向是北偏东30°的方向。

…………12分
18．（本小题满分12分）解析：（1）满足条件的不等式共有49个…………1分 不等式解集为R 的条件是b a 42
-＜0…………2分 a=-2时b=2，3，4 a=-1时b=1，2，3，4 a=0时b=1，2，3，4 a=1时b=1，2，3，4 a=2时b=2，3，4 a=3时b=3，4
所以满足等式)(x f ＞0的解集为R 的不等式有20个…………5分 故等式)(x f ＞0的解集为R 的概率是
49
20
…………6分 (2)Ω满足条件,1≤a 1≤b ，其构成的区域面积为4…………8分
)(x f =
41b 2+b-41无实根的条件是a 2+ b 2
＜1，其构成的区域面积为π…………11分 故)(x f =41b 2+b-41无实根的概率为P=4
π
…………12分
19．解：(1)取AC 中点G ，连接FG 、BG ，则FG ∥DC ∥BE
当BE=1时，有FG=BE ，即BEFG 为平行四边形
故当BE=1时，EF ∥BG ，即EF ∥平面ABC ………6分
(2).证明：由DC ⊥平面ABC 得DC ⊥BG
G 是正三角形ABC 的边AC 的中点
∴BG ⊥AC
∴BG ⊥平面ACD ∴BG ⊥CF 又 EF ∥BG ∴ EF ⊥CF
20．解：设1l ：y-2=k(x-1)(k≠0) 1l :y=2=k
1- 由⎩⎨
⎧=-+=2
22x
y k kx y 得2x 2-kx+k-2=0
同理得B 点坐标为)2
)21
(,221(2
----
k k
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+---=--=8)1(4144)1(422k k k k y k
k x
消去k 得：y=4x 2+4x+2
5
………9分
M 轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M 到定点的距离等于它到定直线
的距离。

将抛物线方程化为)23(41)2
1
(2
-=
+y x ，此抛物线可看成是由抛物线y x 4
12=左移21个单位，上移23个单位得到的，而抛物线y x 412=的焦点为(0，161)，准线为y=-16
1.∴所求的定点为)1625,21(-，定直线方程为y=16
23
.
21. 解：(1)方法一：设B(M,ln(m+1)),A(n,ln(n+1))为函数y=ln(x+1)图象上两点 而f(m),f(n)分别B 、A 两点与原点连线的斜率， 显然k OA >k OB
即f(m)<f(n) ……………5分
方法二：2)
1ln(1)('x
x x x
x f +-+=
令)1ln(1)(+-+=x x x
x h 0)1(11)
1(1)('2
2<+-=+-+=x x
x x x h ∴)(x h 是减函数 由x>0得，h(x)<h(0)=0 ∴0)('<x f ∴f(x)是减函数
由m>n>0可得f(m)<f(n) ……………5分
(2)x
ax ax x x g 2
2121)('-=-=
令0)('=x g 得2ax 2=1 ……………①
当a≤0时，0)('>x g ，)(x g 在[1,2]上为增函数 ∴最大值为g(2) 当a>0时，由①得a
x 21= 若
a
21
≥2即0<a≤81时，)('x g ≥0，)(x g 在[1,2]上为增函数
∴最大值为g(2) 若
a
21
≤1即a≥21时，)('x g ≤0，)(x g 在[1,2]上为减函数
∴最大值为g(1),
若1<
a
21
<2即81<a<21时
)(x g 在(1，a 21)上为增函数，在(a 21
，2)上为减函数
∴最大值为21
2ln 21)21(--=a a g
综上得：a≤81
时，最大值为ln2-4a
81<a<21时，最大值为21
2ln 21--a ，
a≥2
1
时，最大值为-a 22.解：连结ED ∵圆与BC 切于D ，∴∠BDE=∠BAD
∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC
又∠DAC=∠DEF ∴∠BDE=∠DEF ∴EF//BC ∴
CF
AF
BE AE =
即AE·CF=BE·AF 23.（1）解：M 点的直角坐标为（1，3）………………………2分
直线的直角坐标方程为：x + y -3=0………………………4分
点M （1，3）到直线x + y -3=0上点A 的距离的最小值为d 则2
22
3
31=-+=d 点M （2，
3π）到直线ρ=θθcos sin 3+上点A 的距离的最小值为2
2……………6分 （2）)(sin 2cos 1为参数θθ
θ
⎩⎨
⎧+=+-=y x ………………………10分
24．证明：要使原不等式成立，只要：22
21c ab c b a <⎪⎭
⎫
⎝⎛++………………………3分
只要：22242222)2(b a abc c c b ab a ++<++………………………6分
只要：0))((2222<--b c c a 由已知此不等式成立。

………………………10分。