微积分基本定理 课件

(2)ʃ20|1－x2|dx＝____2____. 解析 |1－x2|＝1x2－－x12， ，01≤ <xx≤≤21. ， ʃ20|1－x2|dx＝ʃ10(1－x2)dx＋ʃ21(x2－1)dx ＝ x－13x310＋ 31x3－x21 ＝23＋73－1＝2.
(3)ʃ21[2x2＋xx＋1－cos x]dx＝_4_＋__ln__2_－__s_in__2_＋__s_in__1. 解析 ʃ21[2x2＋xx＋1－cos x]dx ＝ʃ21(2x＋1＋1x－cos x)dx ＝(x2＋x＋ln x－sin x)|21 ＝6＋ln 2－sin 2－(2－sin 1)
解析 ʃ10f(x)dx＝ʃ10(ax2＋c)dx
＝ 31ax3＋cx10＝a3＋c. f(x0)＝ax20＋c，
∴a3＝ax20，即
x0＝
33或－
3 3.
∵0≤x0≤1，∴x0＝
3 3.
1.微积分基本定理 (1)条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x) ； (2)结论：ʃbaf(x)dx＝__F_(_b_)－__F_(_a_)_； (3)符号表示：ʃbaf(x)dx＝_F__(x_)_|ba__＝__F_(_b_)－__F__(a_)__. 2.常见的原函数与被积函数关系 (1)ʃbaCdx＝Cx|ba(C 为常数). (2)ʃbaxndx＝ n＋1 1xn＋1ba(n≠－1).
＝4＋ln 2－sin 2＋sin 1.
类型二 利用定积分求参数
例2
(1)已知 2≤ʃ21(kx＋1)dx≤4，则实数 k 的取值范围为__[23_，__2_]__.
解析 ʃ21(kx＋1)dx＝ 21kx2＋x21＝32k＋1. 由 2≤32k＋1≤4 得23≤k≤2.
3 (2)设函数 f(x)＝ax2＋c(a≠0).若ʃ10f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则 x0 的值为__3____.
(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则ʃbaf(x)dx ＝__S_上_－__S_下____.特别地，若 S 上＝S 下，则ʃbaf(x)dx＝ 0 .0(2x＋ex)dx 的值为( C )
A.e＋2
B.e＋1
C.e
D.e－1
解析 ʃ10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝(1＋e)－1＝e.故选 C.
微积分基本定理
知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
思考 1 已知函数 f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则ʃ10(2x＋1)dx 与 F(1)－F(0) 有什么关系？ 答 由定积分的几何意义知，ʃ10(2x＋1)dx＝12×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0) ＝2，故ʃ10(2x＋1)dx＝F(1)－F(0). 思考2 对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F′(x)＝f(x)? 答 不唯一，根据导数的性质，若F′(x)＝f(x)，则对任意实数c，都有 [F(x)＋c]′＝F′(x)＋c′＝f(x).
(3)ʃbasin xdx＝－cos x|ba. (4)ʃbacos xdx＝sin x|ba. (5)ʃba1xdx＝ln x|ba(b>a>0). (6)ʃbaexdx＝ex|ba. (7)ʃbaaxdx＝ lnaxaba(a>0 且 a≠1).
(8)ʃba
xdx＝
2 3x
3 2
ba(b>a>0).
知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系
思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？ 答 当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积 函数f(x)≥0不恒成立，则不相等.
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则ʃbaf(x)dx＝__S_上___. (2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图②，则ʃbaf(x)dx＝_－__S_下___.