河津市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

河津市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． 一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，则该几何体的体积为（ ）
A ．64
B ．32
C ．
D ．
64
3
323
3． 已知lga+lgb=0，函数f （x ）=a x 与函数g （x ）=﹣log b x 的图象可能是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 若f （x ）=sin （2x+θ），则“f （x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
5． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ）A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
6． 已知数列{a n }是等比数列前n 项和是S n ，若a 2=2，a 3=﹣4，则S 5等于（
）
A ．8
B ．﹣8
C ．11
D ．﹣11
7． 若函数()()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
1217212
3x x π
π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（
）
A
B
D 8． 在△ABC 中，若A=2B ，则a 等于（ ）
A ．2bsinA
B ．2bcosA
C ．2bsinB
D ．2bcosB
9． 已知函数f （x ）=x 3+mx 2+（2m+3）x （m ∈R ）存在两个极值点x 1，x 2，直线l 经过点A （x 1，x 12），B （x 2，x 22），记圆（x+1）2+y 2=上的点到直线l 的最短距离为g （m ），则g （m ）的取值范围是（ ）
A ．[0，2]
B ．[0，3]
C ．[0，
）
D ．[0，
）
10．已知点A （0，1），B （3，2），C （2，0），若＝2，则||为（ ）AD → DB → CD →
A ．1 B.4
3
C. D ．253
11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（
）
A ．钱
B ．钱
C ．钱
D ．钱
12．执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（
）
A ．（11，12）
B ．（12，13）
C ．（13，14）
D ．（13，12）
二、填空题
13．已知（ax+1）5的展开式中x 2的系数与
的展开式中x 3的系数相等，则a= ．
14．阅读右侧程序框图，输出的结果i 的值为 ．
15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.16．已知,则函数的解析式为_________.
()2
12811f x x x -=-+()f x 17．要使关于的不等式恰好只有一个解，则_________.x 2
064x ax ≤++≤a =【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.
18．设某总体是由编号为的20个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方
01,02,…,19,206
法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为________．
【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．
三、解答题
19．为了培养中学生良好的课外阅读习惯，教育局拟向全市中学生建议一周课外阅读时间不少于t 0小时．为此，教育局组织有关专家到某“基地校”随机抽取100名学生进行调研，获得他们一周课外阅读时间的数据，整理得到如图频率分布直方图：
（Ⅰ）求任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）（单位：小时）的概率
（Ⅱ）专家调研决定：以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t 0，试确定t 0
的取值范围
20．甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛，成绩如下：甲：78 76 74 90 82乙：90 70 75 85 80
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
1818 0792 4544 1716 5809 7983 86196206 7650 0310 5523 6405 0526 6238
21．本小题满分12分已知椭圆2．C Ⅰ求椭圆的长轴长；
C Ⅱ过椭圆中心O 的直线与椭圆交于A 、B 两点A 、B 不是椭圆的顶点，点M 在长轴所在直线上，且
C C C ,直线BM 与椭圆交于点
D ，求证：AD AB 。

2
2
OM
OA OM =⋅ ⊥22．已知，且．
（1）求sin α，cos α的值；（2）若
，求sin β的值．
23．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图
2．
（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（I）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；
（II）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．
河津市第三中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：∵（x ﹣2）3+2x+sin （x ﹣2）=2，∴（x ﹣2）3+2（x ﹣2）+sin （x ﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y ﹣2）3+2y+sin （y ﹣2）=6，
∴（y ﹣2）3+2（y ﹣2）+sin （y ﹣2）=6﹣4=2，设f （t ）=t 3+2t+sint ，
则f （t ）为奇函数，且f'（t ）=3t 2+2+cost ＞0，即函数f （t ）单调递增．
由题意可知f （x ﹣2）=﹣2，f （y ﹣2）=2，即f （x ﹣2）+f （y ﹣2）=2﹣2=0，即f （x ﹣2）=﹣f （y ﹣2）=f （2﹣y ），∵函数f （t ）单调递增∴x ﹣2=2﹣y ，即x+y=4，故选：D ．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f （t ）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．　
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:
，故选B. 1
444322
⨯⨯⨯=考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.
【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.3． 【答案】B
【解析】解：∵lga+lgb=0
∴ab=1则b=
从而g （x ）=﹣log b x=log a x ，f （x ）=a x 与
∴函数f （x ）与函数g （x ）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B ，故答案为B
4． 【答案】B
【解析】解：若f （x ）的图象关于x=对称，
则2×
+θ=
+k π，
解得θ=﹣+k π，k ∈Z ，此时θ=﹣
不一定成立，
反之成立，
即“f （x ）的图象关于x=对称”是“θ=﹣
”的必要不充分条件，
故选：B
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．　
5． 【答案】B 【解析】
试题分析：设从青年人抽取的人数为，故选B ．800,,2050600600800
x x x ∴=∴=++考点：分层抽样．6． 【答案】D
【解析】解：设{a n }是等比数列的公比为q ，因为a 2=2，a 3=﹣4，
所以q=
=
=﹣2，
所以a 1=﹣1，
根据S 5==﹣11．
故选：D ．
【点评】本题主要考查学生运用等比数列的前n 项的求和公式的能力，本题较易，属于基础题．　
7． 【答案】C
【解析】
考
点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()2122k k ππϕπ⨯
+=
+∈Z ，解得3π
ϕ=
，从而()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线1112x π=-对称，可得12116
x x π
+=-，从而
()12113
3f x x ππ⎛⎫
+=-+=
⎪⎝⎭．8． 【答案】D 【解析】解：∵A=2B ，
∴sinA=sin2B ，又sin2B=2sinBcosB ，∴sinA=2sinBcosB ，根据正弦定理==2R 得：
sinA=
，sinB=
，
代入sinA=2sinBcosB 得：a=2bcosB ．故选D
9． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）=x 3+mx 2+（2m+3）x 的导数为f ′（x ）=x 2+2mx+2m+3，由题意可得，判别式△＞0，即有4m 2﹣4（2m+3）＞0，解得m ＞3或m ＜﹣1，
又x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=2m+3，
直线l 经过点A （x 1，x 12），B （x 2，x 22），即有斜率k=
=x 1+x 2=﹣2m ，
则有直线AB ：y ﹣x 12=﹣2m （x ﹣x 1），即为2mx+y ﹣2mx 1﹣x 12=0，
圆（x+1）2+y 2=的圆心为（﹣1，0），半径r 为．
则g （m ）=d ﹣r=
﹣
，
由于f ′（x 1）=x 12+2mx 1+2m+3=0，则g （m ）=
﹣
，
又m ＞3或m ＜﹣1，即有m 2＞1．
则g （m ）＜
﹣
=，
则有0≤g （m ）＜．
故选C ．
【点评】本题考查导数的运用：求极值，同时考查二次方程韦达定理的运用，直线方程的求法和点到直线的距离公式的运用，以及圆上的点到直线的距离的最值的求法，属于中档题．　
10．【答案】
【解析】解析：选C.设D 点的坐标为D （x ，y ），∵A （0，1），B （3，2），＝2，AD → DB →
∴（x ，y －1）＝2（3－x ，2－y ）＝（6－2x ，4－2y ），
∴即x ＝2，y ＝，{
x ＝6－2x ，y －1＝4－2y )
53
∴＝（2，）－（2，0）＝（0，），CD → 5353∴||＝＝，故选C.CD → 02＋（53）25311．【答案】B
【解析】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a ﹣2d ，a ﹣d ，a ，a+d ，a+2d ，则由题意可知，a ﹣2d+a ﹣d=a+a+d+a+2d ，即a=﹣6d ，又a ﹣2d+a ﹣d+a+a+d+a+2d=5a=5，∴a=1，
则a﹣2d=a﹣2×=．
故选：B．
12．【答案】A
【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2，
当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3，
当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4，
当n=4时，不满足进行循环的条件，
故输出的数对为（11，12），
故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．　
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，
与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，
∴10a2=5，
即a2=，解得a=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．
14．【答案】　7　．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=1，i=3
不满足条件S≥100，S=8，i=5
不满足条件S≥100，S=256，i=7
满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环S ，i 的值是解题的关键，属于基础题．　
15．【答案】2300
【解析】111]
试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+≥≥140
20y 10x 506y 5x 0y 0x ，求目标函数300y 200x Z +=的最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值2300.
1111]
考点：简单线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为Z 元，则y x Z 300200+=，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值.
16．【答案】()2
245f x x x =-+【解析】
试题分析：由题意得，令，则，则，所以函数1t x =-1x t =+()22
2(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+()f x 的解析式为.()2
245f x x x =-+考点：函数的解析式.
17．【答案】
.
±
【解析】分析题意得，问题等价于只有一解，即只有一解，
264x ax ++≤2
20x ax ++≤
∴，故填：.
280a a ∆=-=⇒=±±18．【答案】19
【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19．三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）一周课外阅读时间在[0，2）的学生人数为0.010×2×100=2人，
一周课外阅读时间在[2，4）的学生人数为0.015×2×100=3人，
记一周课外阅读时间在[0，2）的学生为A ，B ，一周课外阅读时间在[2，4）的学生为C ，D ，E ，从5人中选取2人，得到基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共有10个基本事件，记“任选2人中，恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）”为事件M ，
其中事件M 包含AC ，AD ，AE ，BD ，BC ，BE ，共有6个基本事件，
所以P （M ）==，
即恰有1人一周课外阅读时间在[2，4）的概率为．
（Ⅱ）以该校80%的学生都达到的一周课外阅读时间为t 0，即一周课外阅读时间未达到t 0的学生占20%，由（Ⅰ）知课外阅读时间落在[0，2）的频率为P 1=0.02，
课外阅读时间落在[2，4）的频率为P 2=0.03，
课外阅读时间落在[4，6）的频率为P 3=0.05，
课外阅读时间落在[6，8）的频率为P 1=0.2，
因为P 1+P 2+P 3＜0.2，且P 1+P 2+P 3+P 4＞0.2，
故t 0∈[6，8），
所以P 1+P 2+P 3+0.1×（t 0﹣6）=0.2，
解得t 0=7，
所以教育局拟向全市中学生的一周课外阅读时间为7小时．
【点评】本题主要考查了用列举法计算随机事件的基本事件，古典概型概以及频率分布直方图等基本知识，考查了数据处理能力和运用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）用茎叶图表示如下：
（Ⅱ）=
，==80
，
= [（74﹣80）2+（76﹣80）2+（78﹣80）2+（82﹣80）2+（90﹣80）2]=32
，
= [（70﹣80）2+（75﹣80）2+（80﹣80）2+（85﹣80）2+（90﹣80）2]=50，∵=，，
∴在平均数一样的条件下，甲的水平更为稳定，应该派甲去．
21．【答案】
【解析】Ⅰ由已知，又，解得
，224c a b a =+=222a b c =+223,1a b ==所以椭圆的长轴长
C Ⅱ以O 为坐标原点长轴所在直线为x 轴建立如图平面直角坐标系，
xOy 不妨设椭圆的焦点在x 轴上，则由1可知椭圆的方程为；C C 2213
x y +=设A ，D ,则A 11(,)x y 22(,)x y 11(,)x y --∵ ∴M 22
OM OA OM =⋅ 1(2,0)x 根据题意，BM 满足题意的直线斜率存在，设，
1:(2)l y k x x =-联立，消去y 得，221
13(2)x y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩2222211(13)121230k x k x x k x +-+-=，
22222222111(12)4(13)(123)12(413)0k x k k x k x k ∆=--+-=-++>2221112122212123,,1313k x k x x x x x k k
--+=-⋅=++212111************
(2)(2)(5)4112313AD y y k x x k x x k x x kx k k k x x x x x x x k
k --+---====-=----+11111
(2)3AB y k x x k k x x ---===
∴AD AB 1AD AB k k ∴⋅=-⊥22．【答案】
【解析】解：（1）将sin +cos =两边平方得：（sin +cos ）2=sin 2+2sin cos +cos 2=1+sin α=，
∴sin α=，
∵α∈（
，π），∴cos α=﹣
=﹣；（2）∵α∈（
，π），β∈（0，），∴α+β∈（，），
∵sin （α+β）=﹣＜0，
∴α+β∈（π，
），∴cos （α+β）=﹣=﹣，
则sin β=sin=sin （α+β）cos α﹣cos （α+β）sin α=﹣×（﹣
）﹣（﹣）×=+=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．
23．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC 中，由已知可得：AC ⊥DE ．在图2中，DE ⊥A 1D ，DE ⊥DC ，即可证明DE ⊥平面A 1DC ，再利用面面垂直的判定定理即可证明．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A 1BC 的法向量为，利用，BE 与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）设CD=x （0＜x ＜6），则A 1D=6﹣x ，利用=（0＜x ＜6），即可得出．
【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC 中，DE ∥BC ，AC ⊥BC ，则AC ⊥DE ，
∴在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，
又∵A1D∩DC=D，∴DE⊥平面A1DC，
∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1DC，
∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC．
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），
E（2，0，0）．
则，，
设平面A1BC的法向量为
则，解得，即
则BE与平面所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，在（2）的坐标系下有：A1（0，0，6﹣x），B（3，x，0），
∴==（0＜x＜6），
即当x=3时，A1B长度达到最小值，最小值为．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣1|，
由f（x）≥3即|x+1|+|x﹣1|≥3
当x≤﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1+1﹣x≥3，解得x≤﹣；
当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+1﹣x≥3，不可能成立，即x∈∅；
当x≥1时，不等式化为x+1+x﹣1≥3，解得x≥．
综上所述，f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；
（Ⅱ）由于|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，
则f（x）的最小值为|a﹣1|．
要使∀x∈R，f（x）≥2成立，
则|a﹣1|≥2，解得a≥3或a≤﹣1，
即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用分类讨论和绝对值不等式的性质，是解题的关键．。