天津市各地市高考数学最新联考试题分类大汇编(10)圆锥曲线

天津市各地市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编（10）圆锥
曲线
一、选择题：
7、(天津市六校2012届高三第三次联考文科)过双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点
F 作圆222a y x =+的切线FM (切点为M ),交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则
双曲线的离心率是
A. 5
B. 2
C. 3
D. 2
【答案】D
6．(天津市六校2012届高三第三次联考理科)设F 是抛物线C 1：y 2
＝2px （p ＞0）的焦点，
点A 是抛物线与双曲线C 2：22
221x y a b
-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的一个公共点，且AF ⊥x
轴，则双曲线的离心率为（ A ）．
2
221,(0)x y a a
-=>交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是( B )
A ．2 D ．3
7．(天津市天津一中2012届高三第三次月考文科)已知抛物线x y 42
=的准线与双曲线
12
22=-y a
x )0(>a 相交于B A ,两点，且F 是抛物线的焦点，若FAB ∆是直角三角形，则双曲线的离心率为（ B ） A ．3
B ．6
C ．2
D ．3
6．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试文科)抛物线28y x =的焦点到双曲线
22
1124
x y -=的渐近线的距离为 （ A ）
A ．1
B C D 8．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试理科)已知O 为坐标原点，双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点O 的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=，则双曲线的离心率e 为（ C ）
恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ,使得||||MP MQ =？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
19、解：（Ⅰ）因为椭圆的短轴长：221b b =⇒=，
又因为两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，所以：
2
2
2
2b c a b c =⇒=+=；故椭圆的方程为：2
212
x y +=……………4分
（Ⅱ）（1）若l 与x 轴重合时，显然M 与原点重合，0m =；
（2）若直线l 的斜率0k ≠，则可设:(1)l y k x =-，设1122(,),(,)P x y Q x y 则： 22222
(1)
2(21)20220
y k x x k x x x y =-⎧⇒+-+-=⎨
+-=⎩
所以化简得：2222(12)4220k x k x k +-+-=；
2122412k x x k +=⇒+PQ 的中点横坐标为：2
2
212k k +，代入:(1)l y k x =-可得： PQ 的中点为N 2222(
,)1212k k
k k -++， 由于||||MP MQ =得到1
22
2
+=k k m 所以：22211
(0,)11222k m k k
==∈++ 综合（1）（2）得到：
1[0,)2m ∈ ……14分
18．(天津市六校2012届高三第三次联考理科)（本小题满分13分）
已知曲线)0()0,0(1:2
22222221≥=+≥>>=+x r y x C x b a b
y a x C ：和曲线都过点A （0，
－1），且曲线1C 所在的圆锥曲线的离心率为2
3. （Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的方程；
（Ⅱ）设点B,C 分别在曲线1C ，2C 上，21,k k 分别为直线AB,AC 的斜率,当124k k =时，问直线BC 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
18. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由已知得21b =，
24a =
，
21r =． ……2分
所以曲线1C 的方程为2
214
x y +=（0x ≥）． ……3分
所以2
12222221,11k k C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
． ……9分
19．(天津市天津一中2012届高三第三次月考理科)如图，在直角坐标系xOy 中有一直角梯形ABCD ，AB 的中点为O ，AD AB ⊥，AD BC ∥，4AB =，3BC =，1AD =，以,A B 为焦点的椭圆经过点C . （1）求椭圆的标准方程；
（2）若点()0,1E ，问是否存在直线l 与椭圆交于,M N 两点且ME NE =，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．解：
∵AB=4, BC=3, ∴AC=5 ∴CA+CB=8
∴a=4 ∵c=2 ∴b 2
=12
112
162
2=+∴y x ：椭圆
∵|ME|=|NE| ∴EF ⊥MN ∴k EF ·k=-1
14341
4332
2
-=⋅+--+k k km k m
∴m=-(4k 2
+3)代入①
∴16k 2+12>(4k 2+3)2
∴16k 4+8k 2
-3<0
2
121<<-
k 当k=0时符合条件，k 不存在（舍）
)2
1,21(-∈∴k
17．(天津市天津一中2012届高三第三次月考理科)双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的一条
渐近线方程是y ，坐标原点到直线AB 的距离为2
3
，其中).,0(),0,(b B a A - （1）求双曲线的方程；
（2）若1B 是双曲线虚轴在y 轴正半轴上的端点，过点B 作直线交双曲线于点,M N
，
（3）B （0，-3） B 1（0， 3） M （x 1 , y 1） N(x 2 , y 2) ∴设直线l ：y=kx-3
⎩⎨⎧=--=∴9
33
2
2
y x kx y
20．(天津市天津一中2012届高三第三次月考文科)（本小题满分14分）
已知F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点，A 是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离
心率为
2
1
，点B 在x 轴上，AF AB ⊥，F B A ,,三点确定的圆C 恰好与直线033=++y x 相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在过F 作斜率为k )0(≠k 的直线l 交椭圆于N M ,两点，P 为线段MN 的中点，设O 为椭圆中心，射线OP 交椭圆于点Q ，若OM ON OQ +=，若存在求k 的值,若不存在则说明理由．
将(1)代入(2)可得：
(3+4k 2)x 2+8k 2x+(4k 2
-12)=0 2’
'
24362438222433)1('
243424382022022
2
2122
21⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+==+-==∴=∴=+=++=
+=+-
=+=∴+-
=+k k y y k k x x O O O k k
x k y k k x x x k k x x p p p p p 且又
19、(天津市耀华中学2012届高三第二次月考文科) (本小题满分14分)
设21F F 、分别是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，满
足|PF l |+|PF 2|=8，△PF 1F 2的周长为l2，
(!)求椭圆的方程；
(II)求21PF ∙的最大值和最小值；
(III)已知点A(8，0)，B(2，0)，是否存在过点A 的直线l 与椭圆交于不同的两点C,D ，使得|BC |=|BD |?若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由． 19、(本小题满分14分)
(Ⅲ)当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所以若直线l 存在，则直线l 的斜率也存在，设直线l 的斜率为k ．则直线l 的方程为y=k(x-8)．
20．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试文科)（本小题满分14分）
已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上，若右焦点到直线0x y -+=的
距离为3。

（1）求椭圆的方程；
（2）设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点M ，N ，当|AM|=|AN|时，求m
的取值范围。

20．解：
（Ⅰ）依题意可设椭圆方程为2
221x y a
+=，则右焦点)
F
3=，解得23a =， …………………………………………3分
故所求椭圆的方程为2
2 1.3
x y += …………………………………………5分
18．(天津市五区县2012届高三上学期期末考试理科)（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为e =
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若过点B （2，0）的直线l （斜率不等于零）与椭圆C 交于点E ，F ，且2
B F B E =，
设l 方程为2(0)x my m =+≠ ①。