2015年宁夏银川一中高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩（∁U B）＝（）
A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）2．（5分）已知直线m、n和平面α，则m∥n的必要非充分条件是（）A．m、n与α成等角B．m⊥α且n⊥α
C．m∥α且n⊂αD．m∥α且n∥α
3．（5分）若等比数列{a n}的前n项和，则a2＝（）A．4B．12C．24D．36
4．（5分）已知复数（1+i）（a+bi）＝2+4i（a，b∈R），函数f（x）＝2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）
A．（﹣，1）B．（﹣，0）C．（﹣，3）D．（，1）5．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）
A．i＞100，n＝n+1B．i＞100，n＝n+2
C．i＞50，n＝n+2D．i≤50，n＝n+2
6．（5分）设a＝（cos x﹣sin x）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为（）
A．﹣20B．20C．﹣160D．160
7．（5分）给出下列四个结论：
（1）如图Rt△ABC中，|AC|＝2，∠B＝90°，∠C＝30°．D是斜边AC上的点，|CD|＝|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD 上的概率是；
（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；
（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21；其中正确结论的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
8．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）
A．πB．3πC．4πD．6π
9．（5分）已知z＝2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）
A．B．C．D．
10．（5分）对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如下表：
数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2013+x2014的值为（）
A．7549B．7545C．7539D．7535 11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点
F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）
A．3B．C．2D．
12．（5分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）等差数列{a n}中，a4+a8+a12＝6，则a9﹣a11＝．
14．（5分）若α∈（0，π），且3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为．
15．（5分）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．则抛物线C的方程为．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（2sin B，
﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
的最大值．
（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC的面积S
△ABC
18．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，
DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB，AB＝4，tan∠EAB＝．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．
19．（12分）前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
20．（12分）已知A，B，C是椭圆m：+＝1（a＞b＞0）上的三点，其中
点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||＝2||．（1）求椭圆m的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||＝||．求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1（k∈R）
（Ⅰ）当k＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1；几何证明选讲．
22．（10分）如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（1）求证：∠PEC＝∠PDF；
（2）求PE•PF的值．
选修4-4：坐标系与参数方程．
23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的
倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
选修4-5；不等式选讲．
24．选修4﹣5；不等式选讲．
设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．
（I）试比较ab+1与a+b的大小；
（II）设max表示数集A的最大数．h＝max，求证：h≥2．
2015年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x≥2}，则A∩（∁U B）＝（）
A．[1，2]B．（1，2）C．（1，2]D．[1，2）
【解答】解：集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∁U B＝{x|x＜2}，
A∩（∁U B）＝）}＝{x|x＞1}∩{x|x＜2}＝{x|1＜x＜2}，
故选：B．
2．（5分）已知直线m、n和平面α，则m∥n的必要非充分条件是（）A．m、n与α成等角B．m⊥α且n⊥α
C．m∥α且n⊂αD．m∥α且n∥α
【解答】解：A．若m∥n，则m、n与α成等角，当m、n与α成等角是，m∥n 不一定成立，故m、n与α成等角是m∥n的必要非充分条件，
B．若m∥n，则m⊥α且n⊥α，反之也成立，故m⊥α且n⊥α是充要条件．C．若m∥n，则m∥α且n⊂α不一定成立，
D．若m∥n，则m∥α且n∥α不一定成立，
故选：A．
3．（5分）若等比数列{a n}的前n项和，则a2＝（）A．4B．12C．24D．36
【解答】解：∵，
∴，
a2＝S2﹣S1＝（9a﹣2）﹣（3a﹣2）＝6a，
a3＝S3﹣S2＝（27a﹣2）﹣（9a﹣2）＝18a，
∵{a n}为等比数列，
∴（6a）2＝（3a﹣2）×18a，
解得a＝2，或a＝0（舍），
∴a＝2，
∴a2＝S2﹣S1＝6a＝12，
故选：B．
4．（5分）已知复数（1+i）（a+bi）＝2+4i（a，b∈R），函数f（x）＝2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）
A．（﹣，1）B．（﹣，0）C．（﹣，3）D．（，1）【解答】解：∵复数2+4i＝（1+i）（a+bi）＝（a﹣b）+（a+b）i，
∴，
解得a＝3，b＝1．
故函数f（x）＝2sin（ax+）+b
＝2sin（3x+）+1，
∵3x＝kπ，k∈Z，
∴x＝，k∈Z，
当k＝1时，x＝，
故函数f（x）＝2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）．
故选：D．
5．（5分）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）
A．i＞100，n＝n+1B．i＞100，n＝n+2
C．i＞50，n＝n+2D．i≤50，n＝n+2
【解答】解：此时，经第一次循环得到的结果是，经第二次循环得到的结果是
经第三次循环得到的结果是
据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母＝2（i﹣1）
令2（i﹣1）＝100解得i＝51即需要i＝51时输出
故图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是分别是i＞50，n＝n+2故选：C．
6．（5分）设a＝（cos x﹣sin x）dx，则二项式（x2+）6展开式中的x3项的系数为（）
A．﹣20B．20C．﹣160D．160
【解答】解：由于a＝＝（sin x+cos x）＝﹣2，
则二项式＝展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•＝
（﹣2）r••x12﹣3r，
令12﹣3r＝3，解得r＝3，故展开式中的x3项的系数为﹣8×20＝﹣160，
故选：C．
7．（5分）给出下列四个结论：
（1）如图Rt△ABC中，|AC|＝2，∠B＝90°，∠C＝30°．D是斜边AC上的点，|CD|＝|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD 上的概率是；
（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；
（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21；其中正确结论的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：（1）由题意，|CD|＝|CB|，∠C＝30°，所以∠CBD＝75°，所以E 点落在线段CD上的概率是＝，故不正确；
（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为＝0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；
（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立
性检验最有说服力，正确；
（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x＝1对称，因为P （ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.21，正确；
故正确结论的个数为3，
故选：C．
8．（5分）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）
A．πB．3πC．4πD．6π
【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．
∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．
∴此四面体的外接球的表面积为表面积为＝3π．
故选：B．
9．（5分）已知z＝2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：
由，得A（1，1），
由，得B（a，a），
当直线z＝2x+y过点A（1，1）时，目标函数z＝2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z＝2x+y过点B（a，a）时，目标函数z＝2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3＝4×3a，
∴a＝，
故选：B．
10．（5分）对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如下表：
数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2013+x2014的值为（）
A．7549B．7545C．7539D．7535
【解答】解：∵数列{x n}满足x1＝1，且对任意n∈N*，
点（x n，x n+1）都在函数y＝f（x）的图象上，
∴x n+1＝f（x n）
∴x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝6，x5＝1，x6＝3，x7＝5，x8＝6，…
∴数列是周期数列，周期为4，一个周期内的和为1+3+5+6＝15，
∴x1+x2+x3+x4+…+x2013+x2014
＝503×（x1+x2+x3+x4）+x1+x2
＝503×15+1+3
＝7549．
故选：A．
11．（5分）已知F2、F1是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点
F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）
A．3B．C．2D．
【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），
一条渐近线方程为y＝x，则F2到渐近线的距离为
＝b．
设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，
∴|MF2|＝2b，A为F2M的中点，
又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，
∴△MF1F2为直角三角形，
∴由勾股定理得4c2＝c2+4b2
∴3c2＝4（c2﹣a2），∴c2＝4a2，
∴c＝2a，∴e＝2．
故选：C．
12．（5分）已知函数f（x）＝a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）＝﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，
即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]时有解，
设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝a（x﹣）﹣2lnx+＝ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，即a，
则F′（x）＝，
当x∈[1，e]时，F′（x）＝≥0，
∴F（x）在[1，e]上单调递增，
即F min（x）＝F（1）＝0，
因此a＞0即可．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）等差数列{a n}中，a4+a8+a12＝6，则a9﹣a11＝．
【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8+a12＝6，得3a8＝6，a8＝2．
则a9﹣a11＝（3a9﹣a11）＝（a9+a7+a11﹣a11）＝（a9+a7）＝a8＝．故答案为：．
14．（5分）若α∈（0，π），且3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．
【解答】解：∵α∈（0，π），且3cos2α＝sin（﹣α），
∴3cos2α﹣3sin2α＝cosα﹣sinα，
∴cosα﹣sinα＝0，或3（cosα+sinα）＝．
若cosα﹣sinα＝0，则α＝，sin2α＝1；
若3（cosα+sinα）＝，平方求得sin2α＝﹣，
故答案为：1，或﹣．
15．（5分）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差
数列的概率为．
【解答】解：基本事件总数m＝＝17×16×3，
选出火炬编号为a n＝a1+3（n﹣1），
当n＝1时，由1，4，7，10，13，16可得4种选法，
当n＝2时，由2，5，8，11，14，17可得4种选法，
当n＝3时，由3，6，9，12，15，18可得4种选法，
根据分类计算原理可得共有12种选法，
∴所求概率为P＝＝＝．
故答案为：．
16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心
为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．则抛物线C的方程为x2＝2y．【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，），
设M（x0，），x0＞0，Q（a，b），
由题意知b＝，
则点Q到抛物线C的准线的距离为b+＝＝＝，
解得p＝1，
∴抛物线C的方程为x2＝2y．
故答案为：x2＝2y．
三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（12分）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量＝（2sin B，
﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥．
（Ⅰ）求锐角B的大小；
的最大值．
（Ⅱ）如果b＝2，求△ABC的面积S
△ABC
【解答】解：（Ⅰ）∵＝（2sin B，﹣），＝（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sin B（2cos2﹣1）＝﹣cos2B，
∴2sin B cos B＝﹣cos2B，即sin2B＝﹣cos2B，
∴tan2B＝﹣，
又B为锐角，∴2B∈（0，π），
∴2B＝，
则B＝；…（6分）
（Ⅱ）当B＝，b＝2，
由余弦定理cos B＝得：a2+c2﹣ac﹣4＝0，
当B＝，b＝2，
由余弦定理cos B＝得：a2+c2+ac﹣4＝0，
又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a＝c＝2时等号成立），
＝ac sin B＝ac≤（当且仅当a＝c＝2时等号成立），
∴S
△ABC
的最大值为．…（12分）
则S
△ABC
18．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，
DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB，AB＝4，tan∠EAB＝．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），
∵CD∩AC＝C，∴BC⊥平面ACD…（3分）
∵CD∥BE，CD＝BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，
∴DE⊥平面ACD…（4分），
∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（5分）
（Ⅱ）依题意，…（6分），
由（Ⅰ）知
＝
＝
，
当且仅当时等号成立…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，1），，，
∴，，
，…（9分）
设面DAE的法向量为，
，即，∴，…（10分）
设面ABE的法向量为，
，即，∴，
∴…（12分）
∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为
．…（13分）
19．（12分）前不久，省社科院发布了2013年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：
（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很
多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；
（Ⅱ）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则；
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3．
；；
；．
则ξ的分布列为：
所以Eξ＝．
另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．
则ξ～B（3，），．所以Eξ＝．
20．（12分）已知A，B，C是椭圆m：+＝1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||＝2||．（1）求椭圆m的方程；
（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||＝||．求实数t的取值范围．
【解答】解（1）如图所示，
∵＝2，且BC过点O（0，0），则；
又•＝0，∴∠OCA＝90°，且A（2，0），则点C，由a＝，可设椭圆的方程m：；
将C点坐标代入方程m，得，解得c2＝8，b2＝4；
∴椭圆m的方程为：；
（2）如图所示，
由题意，知D（0，﹣2），∵M（0，t），
∴1°当k＝0时，显然﹣2＜t＜2，
2°当k≠0时，设l：y＝kx+t，则
，消去y，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12＝0；
由△＞0，可得t2＜4+12k2 ①
设点P（x1，y1），Q（x2，y2），且PQ的中点为H（x0，y0）；
则x0＝＝﹣，y0＝kx0+t＝，
∴H；
由，∴DH⊥PQ，则k DH＝﹣，
∴＝﹣；
∴t＝1+3k2 ②
∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，
∴t的范围是（1，4）；
综上，得t∈（﹣2，4）．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx+1（k∈R）
（Ⅰ）当k＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）【解答】解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为（0，+∞），
又f′（x）＝
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；
当x＞1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）当k≤0时，f（1）＝1﹣k＞0，不成立，
故只考虑k＞0的情况
又f′（x）＝
当k＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0；
当时，f′（x）＜0
在上是增函数，在时减函数，
此时
要使f（x）≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可
解得：k≥1．
（Ⅲ）当k＝1时，
有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）＝0，
即lnx＜x﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立，
令x＝n2，则lnn2＜n2﹣1，
即2lnn＜（n﹣1）（n+1），
∴（n∈N*且n＞1）
∴+++…+＜＝
即：+++…+＜（n∈N*且n＞1）成立．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1；几何证明选讲．
22．（10分）如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．
（1）求证：∠PEC＝∠PDF；
（2）求PE•PF的值．
【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝∠APE＝90°，
∴P、B、C、E四点共圆．
∴∠PEC＝∠CBA．
又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA＝∠PDF，
∴∠PEC＝∠PDF﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）解：∵∠PEC＝∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．
∴PE•PF＝PC•PD＝P A•PB＝2×12＝24．﹣﹣﹣﹣（10分）
选修4-4：坐标系与参数方程．
23．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．
（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
【解答】解：（I）l的普通方程为y＝（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2＝1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）
所以|AB|＝＝1；
（II）曲线C2：（θ为参数）．
设所求的点为P（cosθ，sinθ），
则P到直线l的距离d＝＝[sin（）+2]当sin（）＝﹣1时，d取得最小值．
选修4-5；不等式选讲．
24．选修4﹣5；不等式选讲．
设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．
（I）试比较ab+1与a+b的大小；
（II）设max表示数集A的最大数．h＝max，求证：h≥2．
【解答】解：（I）由不等式|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，从而求得M＝（0，1）．
由a，b∈M，可得0＜a＜1，0＜b＜1．
∴（ab+1）﹣（a+b）＝（a﹣1）（b﹣1）＞0，
∴（ab+1）＞（a+b）．
（II）设max表示数集A的最大数，∵h＝max，
∴h≥，h≥，h≥，
∴h3≥＝4•≥8，故h≥2．。