5+第三章+轴向拉压变形共38页

2 )
V (1 2 ) V
一般情况下，材料受拉体积会增加，所以我们推断泊松比 小于0.5。橡胶与石蜡是两种受拉时体积几乎无变化的材 料，因此其泊松比接近于极限值0.5。另一方面，软木的 泊松比接近于0，即拉伸时横向几乎不收缩。
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第三章 轴向拉压变形
多力杆的变形与叠加原理 (superposition principle)
F
F
b
b1
l l1
bb1 b
b b
横向正应变
试验表明：在比例极限内，横向正应变与轴向正应变成正比
一般 与 符号相反。
定义：
泊松比
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第三章 轴向拉压变形
关于泊松比
1821年，纳维首次用分子理论研究各向同性弹性体的 平衡问题，其基本方程中只包含一个弹性常数。
第三章 轴向拉压变形
上一讲回顾
•许用应力 u
n
•强度条件
极限应力 u

（（sb
塑 脆
） ）
n安全因数
max

FN A
max

(变截面)
FN,max (等截面)
A
•由强度条件解决的几类问题
强度校核
截面设计
确定承载能力
等强原则与最轻重量设计
DD 4FD D2d2 E
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第三章 轴向拉压变形
F
F
D
d
d

u
4Fd (D2 d2)E
d
DD 4FD D2d2 E
圆管横截面积变不变？
A (D2 d2)
4
A (D2 d2)(1 )2
4
圆管体积变不变？
F
F
泊松比：对于大多数各向同性材料0<<0.5 铜泡沫： = －0.39
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第三章 轴向拉压变形
例：已知E，μ，D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
思考：当圆管受拉时，外径 减小，内径增大还是减小？
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第三章 轴向拉压变形
例：已知E， μ， D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
解： F 4F
3
§3-1 引言
第三章 轴向拉压变形
1 2 34
5


A
A


F
F
思考：为什么要研究变形？下述问题是否与变形相关？
•各杆内力？ •A点位移? 是否与力F 同方向？
4
第三章 轴向拉压变形
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理
F
F
b
b1
l l1
杆件受轴向载荷时，其轴向与横向尺寸均发生变化。
纵向变形：杆件沿轴向或载荷方向的变形 横向变形：垂直于轴向或载荷方向的变形
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第三章 轴向拉压变形
F
F
b
b1
l l1
拉压杆的轴向变形与胡克定律
l F
FN A
l l
E
线弹性范围适用
l FNl EA
拉压刚度
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第三章 轴向拉压变形
拉压杆的横向变形与泊松比
1879年，马洛克测出了一系列材料的泊松比，指出泊松 比是独立的材料常数，否定了单常数理论。
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第三章 轴向拉压变形
常见材料的性能参数
对于各向同性材料，弹性模量E、泊松比 与剪切模量G
存在如下关系：
G E
2(1 )
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第三章 轴向拉压变形
关于横向变形的两点说明
F
F
b
b1
l l1
横向应变中的横向：横截面上任意一点沿面内任意方向
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第三章 轴向拉压变形
1833年，格林研究电磁波在弹性介质表面上的反射与 折射时，首次用能量法证明，各向同性弹性材料的应 变能函数中应当包括两个弹性常数。
许多人进行试验来验证泊松比为1/4的理论结论
维尔泰姆(1848)：试验结果表明接近1/3； 基尔霍夫(1859)：测出了三种钢材和两种黄铜， 1/4； 科尔纽(1869)：光学干涉法测出玻璃=0.237;
qx
(2) q q x 为变量
解：(a)取长度为x的杆段为分离体；
l
(b)分离体内再取微段d ，微段载荷
d x
x
FN x
dFxqd
(c)轴力 F Nx0 xdF x0 xqd
V (D2 d2)L
4
V (D2 d2)L(1)(1)2
4 14
第三章 轴向拉压变形
V (D2 d 2)L 4
V ( D 2 d 2 ) L (1 )(1 ) 2 4

4
(D
2

d
2)L
1
(1
2 )
o(F1Fra bibliotekF1+F2
F2
A
B
C
求整段杆的变形： ——变形叠加法
方法：分段求变形，再相加。
步骤：1、分段求轴力；(截面法)
2、分段求变形；
3、求代数和。
分段求变形
l
FNi li Ei Ai
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第三章 轴向拉压变形
长度分解计算变形然后叠加
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第三章 轴向拉压变形
例：已知 q, l, E, A ，求l ?
1825年，柯西把纳维的理论推广到各向异性弹性体， 当退化到各向同性弹性体时得到两个弹性常数。但柯 西认为纳维的单常数理论才是正确的。
1829年，泊松用纳维—柯西方法讨论板的平衡问题时 指出，各向同性弹性杆受到单向拉伸，产生纵向应
变，同时会联带产生横向收缩，此横向应变为-x， 并证明=1/4。纳维—柯西—泊松的单常数理论
(1) q 为常量
qx
解：距端点x处截面的轴力为
l
q
x
dx
FN x
FNx qx
dx 微段伸长
dlFNxdxqxdx
EA EA
总伸长为
l
ldl
l
qxdx ql2
0
0 EA 2EA
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第三章 轴向拉压变形
例：已知 q, l, E, A ，求l ?（续）
•连接部分的强度计算（假定计算法）
F A s ,bsF d b bs
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第三章 轴向拉压变形
材料力学分析的基本过程
外力
结构
内力 应力
材料性能 强度准则
变形 应变
2
第三章 轴向拉压变形
第三章 轴向拉压变形
§3-1 引言 §3-2 拉压杆的变形与叠加原理 §3-3 桁架的节点位移
4F
E AE D2d2 E
D2d2 E
先求内周长,设ds 弧长改变量为du, du/ds
u
d
0

ds0d(D42Fd2)Eds

4Fd
(D2 d2)E
duds
d

u
4Fd (D2 d2)E
d