二倍角的三角函数-高一下学期数学湘教版(2019)必修第二册
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3
2
2
C不符合,sin 15°+cos 15°=1;D符合,
=
1−tan2 15° 2
3
2
解析:A不符合,2sin 15°cos 15°=sin 30°= ;B符合,1-2sin215°=cos30°= ;
×
2tan15°
3
3
= ·tan30°= .
1−tan2 15° 2
2
1
(2)sin10°cos 20°cos 40°=________.
2.函数y=sin22x的最小正周期是(
π
A.
B.π
2
C.2π
D.4π
答案:A
1
2
解析:∵f(x)=sin 2x=
2π
ω
2π
4
π
2
∴T= = = .
2
−
1
cos4x,即ω=4,
2
)
3.若α∈
π
− ,0
2
A.sin α+cos α
C.sin α-cos α
,则 1 − sin2α=(
)
B.-sin α-cos α
= ·
4
sin 20°
1 2 sin 80° cos 80° 1 sin 160° 1
= ·
= ·
= .
8
sin 20°
8 sin 20°
8
题型3 利用二倍角公式证明恒等式
3-4cos 2A+cos 4A
例3 求证:
=tan4A.
3+4cos 2A+cos 4A
2
3−4 cos 2A+2 cos2 2A−1
(2)配方变换:
(sinα±cos α)2
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sinαcos α=___________.
(3)升幂缩角变换:
2cos2α
2sin2α
1+cos 2α=________,1-cos
2α=________.
(4)降幂扩角变换:
1
1
(1-cos2α)
2
2
cos α= (1+cos2α),sin α=____________.
的值是(
sin 2
4
29
3
32
A.- B.-
C.- D.
3
15
4
15
答案:A
解析:因为角α的终边经过点P(-3,4),
4
所以tanα=- ,
3
1−cos 2α
2 sin2 α
sin α
则
=
=
=tan
sin 2α
2sinα cos α cos α
4
α=- .
3
)
1
7
3
-
9
4.若sin = ,则cos α=________,cos
3
3
3
π
2 2
1
2 2
4 2
因为 ≤α≤π,所以cos α=- ,所以sin 2α=2sin αcos α=2× × −
=- .
2
3
3
3
9
(2)已知α为第三象限角,且cos α=-
4
A.-
3
4
B.
3
3
C.-
4
5
,则tan
5
D.-2
答案:A
解析:由题意可得tan α=2,所以tan 2α=
2 tan α
=cos 2 α −
π
6
π
3
7
8
-
=________.
=2cos2
α
π
−
6
1
7
-1= -1=- .
8
8
题型1 利用倍角公式求值
角度1 给角求值
例1
3 tan 12°−3
求值:
sin 12° 4 cos2 12°−2
.
3sin12°−3 cos 12°
cos 12°
2 sin 12° 2 cos2 12°−1
高中数学湘教版必修第二册
第二章
三角恒等变换
2.2 二倍角的三角函数
第1课时 二倍角的三角函数(1)
教材要点
要点
二倍角公式
三角函数
正弦
余弦
正切
公式
sin 2α=____________
2sin αcos α
cos 2α=____________
cos2α-sin2α
=__________=__________
左边
②比较法,左边-右边=0,
=1;
右边
③分析法,从要证明的等式出发,一步步寻找等式成立的条件.
跟踪训练3
sin2
cos
求证:
·
=tan
1+cos 2 1+cos
2
α
2sinα cos α cosα
sin α
·
=
=
α
2 cos2 α 1+cos α 1+cos α
2 cos2 2
sin 2α
8
解析:sin 10°cos 20°cos 40°=
sin 40° cos 40°
sin 80°
1
=
= .
4 cos 10°
8 cos 10° 8
2 cos 10° sin 10° cos 20° cos 40°
sin 20° cos 20° cos 40°
=
=
2 cos 10°
2 cos 10°
方法归纳
π
5
1
8
7
8
=1- = .
方法归纳
利用同角三角函数的基本关系及诱导公式求得sin α、cos α、tan α的
值,再利用二倍角公式求解.
跟踪训练1
1
π
(1)若sin (π-α)= ,且 ≤α≤π,则sin 2α的值为(
7
A.-
9
4 2
B.
9
3
2
7
C.
9
)
4 2
D.-
9
答案:D
1
1
2 2
2
2
解析:因为sin(π-α)= ,所以sin α= ,又sin α+cos α=1,所以cosα=± ,
解析:∵α是第三象限角,且cosα=- ,∴sin
13
12
5
120
∴sin 2α=2sin αcos α=2× −
× − = .
13
13
169
12
α=- ,
13
)
4
(2)已知α为第二象限角,sin α= ,则tan
5
24
24
24
4
A.-
B.
C.
D.
7
7
25
3
2α=(
)
答案:B
4
3
解析:∵sin α= ,且α为第二象限角,cos α=- ,
2tan
(3)对于任意的角α,tan 2α=
( × )
1-tan 2
(4)对于任意的角α,sin 4α=2sin 2αcos 2α.( √ )
1
2. sin
2
1
A.
4
15°cos 15°的值等于(
B.
1
8
1
C.
16
)
1
D.
2
答案:B
1
解析:原式= ×2sin15°cos
4
1
15°= ×sin
8
解析:原式=cos 20°cos 40°cos 80°
1 2 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80°
= ·
2
sin 20°
1 sin 40° cos 40° cos 80°
= ·
2
sin 20°
1 2 sin 40° cos 40° cos 80°
= ·
4
sin 20°
1 sin 80° cos 80°
D.cos α-sin α
答案:D
π
2
解析:由α∈ − ,0 ,可得cos α>0,sin α<0,
又由 1 − sin 2α= 1 − 2 sin α cos α=
cos α − sin α 2 =cos α-sin α.
4.已知cos
π
6
−α
1
= ,则cos
4
解析:依题意cos 2α −
π
3
2α −
4
=-
.
1−tan2 α
3
2α的值为(
)
120
π
5
π
(3)已知sin − = ,0<x< ,则cos 2x=________.
169
4
13
4
π
π
π
,所以 -x∈ 0, ,
4
4
4
π
5
π
12
又因为sin − x = ,所以cos − x = ,
4
13
4
13
π
π
π
所以cos 2x=sin − 2x =2sin − x cos − x
2
4
4
5
12 120
=2× × = .
13
13 169
解析:因为x∈ 0,
题型2 二倍角公式的逆用
3
的是(
2
例2 (1)(多选)下列各式中,值为
A.2sin 15°cos 15°
B.1-2sin215°
3tan15°
2
2
C.sin 15°+cos 15° D.
1-tan2 15°
)
答案:BD
1
2
3tan15°
3
2
)
2.已知sin α=3cos α,那么tan 2α的值为(
3
3
A.2 B.-2 C. D.-
4
)
4
答案:D
2 tan α
2×3
3
=
=-
.
1−tan2 α 1−32
4
解析:因为sin α=3cos α,所以tan α=3,所以tan 2α=
1-cos 2
3.若角α的终边经过点P(-3,4),则
2cos2α-1
1-2sin2α
2tan
tan 2α=
2
1−tan
简记
S2α
C2α
T2α
状元随笔
细解“倍角公式”
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义.
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情
3
况都成立,如6α是3α的2倍,3α是 的2倍……这里蕴含着换元思
1−cos2A 2
2 sin2 A
证明:∵左边=
=
=
=(tan2A)2
2
2
3+4cos2A+2 cos 2A−1
1+cos 2A
2 cos A
=tan4A=右边,
3−4cos2A+cos 4A
∴
=tan4A.
3+4 cos 2A+cos 4A
方法归纳
证明三角恒等式的方法:
①从复杂的一边入手,证明一边等于另一边;
4
1
30°= .
8
3.计算1-2sin222.5°的结果等于(
1
A.
2
B.
2
2
C.
3
3
D.
答案:B
解析:1-2sin222.5°=cos
45°=
2
.
2
3
2
)
4.已知α为第三象限角,cos
解析:因为α为第三象限角,cos
4
5
4
2×3
3
α=- ,则tan
5
3
α=- ,
5
所以sin α=- 1 − cos 2 α=- ,
5
5
4
2 tan α
24
∴tan α=- ,∴tan 2α=
= ,选项ACD错误,选项B正确.
3
1−tan2 α
7
7
π
1
2π
(3)已知sin − = ,则cos
− 2 =________.
8
5
4
5
解析:因为sin α −
所以cos
2π
5
π
5
1
4
= ,
− 2α =cos 2α −
2π
5
=1-2sin2 α −
cos α
α
所以
·
=tan .
1+cos 2α 1+cos α
2
证明:左边=
α
2 sin 2 cos 2
α
2
=tan =右边
课堂十分钟
π
1. cos − sin
12
3
A.-
2
π
12
1
B.-
2
π
cos
12
+
π
sin
12
1
C.
2
D.
答案:D
π
12
π
12
=(
π
6
3
2
解析:原式=cos2 -sin2 =cos = .
活正用或逆用二倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公
式的形式.
角度2 给值求值
例2 已知sin θ −
π
12
7
B.-
9
2
A.-
9
1
=- ,则sin 2θ
3
2
7
C.
D.
9
9
−
2π
3
=(
)
方法二 右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ
=cos2θ 1 −
sin2 θ
cos2 θ
=cos2θ(1-tan2θ)=左边.故原式得证.
高中数学湘教版必修第二册
第二章
三角恒等变换
2.2 二倍角的三角函数
第2课时 二倍角的三角函数(2)
教材要点
要点 倍角公式的变换
(1)因式分解变换:
cos 2α=cos2α-sin2α=(cosα+sin α)(cos α-sin α).
2
2
状元随笔
(1)以上变形可作为公式用,三角函数的化简、求值、证明中均离不
开这些公式.
(2)注意角的倍数和三角函数的幂次可以相互转化,这在三角恒等变
换中是非常重要的思想.
基础自测
1.2sin215°-1的值是(
1
1
A.
B.-
2
C.
3
2
)
2
D.-
3
2
答案:D
3
2
解析:2sin215°-1=-(1-2sin215°)=-cos30°=- .
逆用公式sin 2α=2sin αcos α和tan
数.
2tan
2α=
时,注意右ห้องสมุดไป่ตู้的系
1-tan2
跟踪训练2
π
π
4
4
(1)cos -sin 的值为(
2
2
C不符合,sin 15°+cos 15°=1;D符合,
=
1−tan2 15° 2
3
2
解析:A不符合,2sin 15°cos 15°=sin 30°= ;B符合,1-2sin215°=cos30°= ;
×
2tan15°
3
3
= ·tan30°= .
1−tan2 15° 2
2
1
(2)sin10°cos 20°cos 40°=________.
2.函数y=sin22x的最小正周期是(
π
A.
B.π
2
C.2π
D.4π
答案:A
1
2
解析:∵f(x)=sin 2x=
2π
ω
2π
4
π
2
∴T= = = .
2
−
1
cos4x,即ω=4,
2
)
3.若α∈
π
− ,0
2
A.sin α+cos α
C.sin α-cos α
,则 1 − sin2α=(
)
B.-sin α-cos α
= ·
4
sin 20°
1 2 sin 80° cos 80° 1 sin 160° 1
= ·
= ·
= .
8
sin 20°
8 sin 20°
8
题型3 利用二倍角公式证明恒等式
3-4cos 2A+cos 4A
例3 求证:
=tan4A.
3+4cos 2A+cos 4A
2
3−4 cos 2A+2 cos2 2A−1
(2)配方变换:
(sinα±cos α)2
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sinαcos α=___________.
(3)升幂缩角变换:
2cos2α
2sin2α
1+cos 2α=________,1-cos
2α=________.
(4)降幂扩角变换:
1
1
(1-cos2α)
2
2
cos α= (1+cos2α),sin α=____________.
的值是(
sin 2
4
29
3
32
A.- B.-
C.- D.
3
15
4
15
答案:A
解析:因为角α的终边经过点P(-3,4),
4
所以tanα=- ,
3
1−cos 2α
2 sin2 α
sin α
则
=
=
=tan
sin 2α
2sinα cos α cos α
4
α=- .
3
)
1
7
3
-
9
4.若sin = ,则cos α=________,cos
3
3
3
π
2 2
1
2 2
4 2
因为 ≤α≤π,所以cos α=- ,所以sin 2α=2sin αcos α=2× × −
=- .
2
3
3
3
9
(2)已知α为第三象限角,且cos α=-
4
A.-
3
4
B.
3
3
C.-
4
5
,则tan
5
D.-2
答案:A
解析:由题意可得tan α=2,所以tan 2α=
2 tan α
=cos 2 α −
π
6
π
3
7
8
-
=________.
=2cos2
α
π
−
6
1
7
-1= -1=- .
8
8
题型1 利用倍角公式求值
角度1 给角求值
例1
3 tan 12°−3
求值:
sin 12° 4 cos2 12°−2
.
3sin12°−3 cos 12°
cos 12°
2 sin 12° 2 cos2 12°−1
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第二章
三角恒等变换
2.2 二倍角的三角函数
第1课时 二倍角的三角函数(1)
教材要点
要点
二倍角公式
三角函数
正弦
余弦
正切
公式
sin 2α=____________
2sin αcos α
cos 2α=____________
cos2α-sin2α
=__________=__________
左边
②比较法,左边-右边=0,
=1;
右边
③分析法,从要证明的等式出发,一步步寻找等式成立的条件.
跟踪训练3
sin2
cos
求证:
·
=tan
1+cos 2 1+cos
2
α
2sinα cos α cosα
sin α
·
=
=
α
2 cos2 α 1+cos α 1+cos α
2 cos2 2
sin 2α
8
解析:sin 10°cos 20°cos 40°=
sin 40° cos 40°
sin 80°
1
=
= .
4 cos 10°
8 cos 10° 8
2 cos 10° sin 10° cos 20° cos 40°
sin 20° cos 20° cos 40°
=
=
2 cos 10°
2 cos 10°
方法归纳
π
5
1
8
7
8
=1- = .
方法归纳
利用同角三角函数的基本关系及诱导公式求得sin α、cos α、tan α的
值,再利用二倍角公式求解.
跟踪训练1
1
π
(1)若sin (π-α)= ,且 ≤α≤π,则sin 2α的值为(
7
A.-
9
4 2
B.
9
3
2
7
C.
9
)
4 2
D.-
9
答案:D
1
1
2 2
2
2
解析:因为sin(π-α)= ,所以sin α= ,又sin α+cos α=1,所以cosα=± ,
解析:∵α是第三象限角,且cosα=- ,∴sin
13
12
5
120
∴sin 2α=2sin αcos α=2× −
× − = .
13
13
169
12
α=- ,
13
)
4
(2)已知α为第二象限角,sin α= ,则tan
5
24
24
24
4
A.-
B.
C.
D.
7
7
25
3
2α=(
)
答案:B
4
3
解析:∵sin α= ,且α为第二象限角,cos α=- ,
2tan
(3)对于任意的角α,tan 2α=
( × )
1-tan 2
(4)对于任意的角α,sin 4α=2sin 2αcos 2α.( √ )
1
2. sin
2
1
A.
4
15°cos 15°的值等于(
B.
1
8
1
C.
16
)
1
D.
2
答案:B
1
解析:原式= ×2sin15°cos
4
1
15°= ×sin
8
解析:原式=cos 20°cos 40°cos 80°
1 2 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80°
= ·
2
sin 20°
1 sin 40° cos 40° cos 80°
= ·
2
sin 20°
1 2 sin 40° cos 40° cos 80°
= ·
4
sin 20°
1 sin 80° cos 80°
D.cos α-sin α
答案:D
π
2
解析:由α∈ − ,0 ,可得cos α>0,sin α<0,
又由 1 − sin 2α= 1 − 2 sin α cos α=
cos α − sin α 2 =cos α-sin α.
4.已知cos
π
6
−α
1
= ,则cos
4
解析:依题意cos 2α −
π
3
2α −
4
=-
.
1−tan2 α
3
2α的值为(
)
120
π
5
π
(3)已知sin − = ,0<x< ,则cos 2x=________.
169
4
13
4
π
π
π
,所以 -x∈ 0, ,
4
4
4
π
5
π
12
又因为sin − x = ,所以cos − x = ,
4
13
4
13
π
π
π
所以cos 2x=sin − 2x =2sin − x cos − x
2
4
4
5
12 120
=2× × = .
13
13 169
解析:因为x∈ 0,
题型2 二倍角公式的逆用
3
的是(
2
例2 (1)(多选)下列各式中,值为
A.2sin 15°cos 15°
B.1-2sin215°
3tan15°
2
2
C.sin 15°+cos 15° D.
1-tan2 15°
)
答案:BD
1
2
3tan15°
3
2
)
2.已知sin α=3cos α,那么tan 2α的值为(
3
3
A.2 B.-2 C. D.-
4
)
4
答案:D
2 tan α
2×3
3
=
=-
.
1−tan2 α 1−32
4
解析:因为sin α=3cos α,所以tan α=3,所以tan 2α=
1-cos 2
3.若角α的终边经过点P(-3,4),则
2cos2α-1
1-2sin2α
2tan
tan 2α=
2
1−tan
简记
S2α
C2α
T2α
状元随笔
细解“倍角公式”
(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义.
(2)倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情
3
况都成立,如6α是3α的2倍,3α是 的2倍……这里蕴含着换元思
1−cos2A 2
2 sin2 A
证明:∵左边=
=
=
=(tan2A)2
2
2
3+4cos2A+2 cos 2A−1
1+cos 2A
2 cos A
=tan4A=右边,
3−4cos2A+cos 4A
∴
=tan4A.
3+4 cos 2A+cos 4A
方法归纳
证明三角恒等式的方法:
①从复杂的一边入手,证明一边等于另一边;
4
1
30°= .
8
3.计算1-2sin222.5°的结果等于(
1
A.
2
B.
2
2
C.
3
3
D.
答案:B
解析:1-2sin222.5°=cos
45°=
2
.
2
3
2
)
4.已知α为第三象限角,cos
解析:因为α为第三象限角,cos
4
5
4
2×3
3
α=- ,则tan
5
3
α=- ,
5
所以sin α=- 1 − cos 2 α=- ,
5
5
4
2 tan α
24
∴tan α=- ,∴tan 2α=
= ,选项ACD错误,选项B正确.
3
1−tan2 α
7
7
π
1
2π
(3)已知sin − = ,则cos
− 2 =________.
8
5
4
5
解析:因为sin α −
所以cos
2π
5
π
5
1
4
= ,
− 2α =cos 2α −
2π
5
=1-2sin2 α −
cos α
α
所以
·
=tan .
1+cos 2α 1+cos α
2
证明:左边=
α
2 sin 2 cos 2
α
2
=tan =右边
课堂十分钟
π
1. cos − sin
12
3
A.-
2
π
12
1
B.-
2
π
cos
12
+
π
sin
12
1
C.
2
D.
答案:D
π
12
π
12
=(
π
6
3
2
解析:原式=cos2 -sin2 =cos = .
活正用或逆用二倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造二倍角公
式的形式.
角度2 给值求值
例2 已知sin θ −
π
12
7
B.-
9
2
A.-
9
1
=- ,则sin 2θ
3
2
7
C.
D.
9
9
−
2π
3
=(
)
方法二 右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ
=cos2θ 1 −
sin2 θ
cos2 θ
=cos2θ(1-tan2θ)=左边.故原式得证.
高中数学湘教版必修第二册
第二章
三角恒等变换
2.2 二倍角的三角函数
第2课时 二倍角的三角函数(2)
教材要点
要点 倍角公式的变换
(1)因式分解变换:
cos 2α=cos2α-sin2α=(cosα+sin α)(cos α-sin α).
2
2
状元随笔
(1)以上变形可作为公式用,三角函数的化简、求值、证明中均离不
开这些公式.
(2)注意角的倍数和三角函数的幂次可以相互转化,这在三角恒等变
换中是非常重要的思想.
基础自测
1.2sin215°-1的值是(
1
1
A.
B.-
2
C.
3
2
)
2
D.-
3
2
答案:D
3
2
解析:2sin215°-1=-(1-2sin215°)=-cos30°=- .
逆用公式sin 2α=2sin αcos α和tan
数.
2tan
2α=
时,注意右ห้องสมุดไป่ตู้的系
1-tan2
跟踪训练2
π
π
4
4
(1)cos -sin 的值为(