山西省实验中学2018届高三上学期学业质量监测数学(文)试题(原卷版)

山西省实验中学2018届高三年级学业质量监测
数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{
}2
1M x x =<,{
}
21x
N x =>，则M N =I （ ） A. ∅
B. {}
01x x <<
C. {}
1x x <
D. {}
1x x <
2.若复数z 满足(2+)3i z i =(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为（ ） A.
2+i
B.
2i -
C. 1+2i
D. 12i -
3.已知命题11:4
p a
＞
，2
:,10q x R ax ax ∀∈++＞，则p 成立是q 成立的_____.（选“充分必要”，“充分不必要”，“既不充分也不必要”填空）.
4.在ABC V 中，3AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，3AB AC u u u r u u u r ==，则CB CA ⋅=u u u r u u u r
( )
A. 3
B. 3-
C.
92
D. 92
-
5.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数）．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为（ ）
A. 3.119
B. 3.124
C. 3.132
D. 3.151
6.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A. 207
B. 92162
π-
C. 21636π-
D. 21618π-
7.函数sin 2cos2y x x =+如何平移可以得到函数sin 2cos 2y x x =-图象（ ）
A. 向左平移
2
π B. 向右平移
2
π C. 向左平移
4
π D. 向右平移
4
π 8.函数()12cos 12x x f x x ⎛⎫
-= ⎪+⎝⎭
的图象大致为()n n
A.
B.
C.
D.
9.如图直三棱柱'''ABC A B C -中，ABC ∆为边长为2的
等边三角形，'4AA =，点E 、F 、G 、H 、M
分别是边'AA 、AB 、'BB 、''A B 、BC 的中点，动点P 在四边形EFGH 内部运动，并且始终有//MP 平面''ACC A ，则动点P 的轨迹长度为（ ）
A . 2
B. 2π
C. 23
D. 4
10.已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（ ） A.
51
2
B. 2
C.
2 D. 2211.已知,,a b R +∈且11
5a b a b
++
+=,则+a b 的取值范围是（ ）
A. [1,4]
B. [)2,+∞
C. (2,4)
D. (4,)+∞
12.已知函数()ln f x x x x =+，若m Z ∈，且(2)(())2m x f x --<对2x >恒成立，则m 的最大值为 A. 4 B. 5 C. 6
D. 8
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点和点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上一点M 坐标为(1,3)，则tan()
4
π
α+
=__________．
14.已知实数,x y 满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+≥⎩
，则z x y =+的最小值为______．
15.如果满足60A ∠=︒，6BC =，AB k =的锐角ABC ∆有且只有一个，那么实数k 的取值范围是__________．
16.对于函数()f x 与()g x ，若存在{}|()0x R f x λ∈∈=，{}|()0x R g x μ∈∈=，使得
1λμ-≤，则称
函数()f x 与()g x 互为“零点密切函数”，现已知函数2
()3x f x e x -=+-与2()4g x x ax x =--+互为
“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.己知数列{}n a 的前n 项和22
n n n
S +=，n *∈N .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2(1)n a
n
n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和.
18.如图，在四棱锥S ABC -中，底面梯形ABCD ，AD BC ∥，平面SAB ⊥平面ABCD ，SAB ∆是等边三角形，已知24AC AB ==，2225BC AD CD ===，M 是SD 上任意一点，SM mMD =u u u v u u u u v
且0m >.
（1）求证：平面SAB ⊥平面MAC ；
（2）试确定m 的值，使三棱锥S ABC -体积为三棱锥S MAC -体积的3倍.
19.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的检测数据，统计结果如下：
记某企业每天由空气污染造成的经济损失S (单位：元)，空气质量指数API
为x ．在区间[0,100]对企业没有造成经济损失；在区间(100,300]对企业造成经济损失成直线模型（当API 为150时造成的经济损失为500元，当API 为200时，造成的经济损失为700元）；当API 大于300时造成的经济损失为2000元． （1）试写出()S x 的表达式；
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元的概率；
（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？
20已知坐标平面上动点(,)M x y 与两个定点(26,1)P ，(2,1)Q ，且5MP MQ =. （1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中轨迹为C ，过点(2,3)N -的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程. 21.已知函数()ln f x x = （1）证明：()1f x x ≤-
（2）若对任意0x >，不等式1
(1)a f x ax x
-≤+
-恒成立，求实数a 的
取值范围．
22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,
sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心为(3,)2
π
，半径为1的圆．
（1）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；
（2）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求||MN 的取值范围． 23.已知0a >，0b >，函数()f x x a x b =++-的最小值为4． （1）求+a b 的值； （2）求22
1149
a b +的最小值．。