关于绝对值的几种题型及解题技巧精编版

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对于绝对值的几种题型及解题技巧
所谓绝对值就是只有纯真的数值而没有负号。

即a0 。

可是，绝对值里面的数
值能够是正数也能够是负数。

怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在
家里面的时候能够穿衣服也能够不穿衣服，可是，出门的时候必定要穿上衣服。

所以， a 0 ，而 a 则有两种可能： a o 和 a 0 。

如： a 5 ，则 a 5 和 a 5 。

归并写成： a 5 。

于是我们获得这样一个性质：
a a 0
a
a 0
a a 0
时，开出来的时候必定要增添一个“负号” 呢？好多同学没法理解，为何 a 0
a 。

由于此时a 0 ，也就是说 a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。

如( 2) 2 。

所以，当判隔离对值里面的数是一个负数的时候，必定要在这个式
子的前方增添一个负号。

比如： a b 0 ，则 a b(a b) 。

绝对值的题解一直环绕绝对值的性质来睁开的。

我就绝对值的几种题型进行详尽
解说，希望能对你们有所帮助。

绝对值的性质：
（1）绝对值的非负性，能够用下式表示： |a|≥0，这是绝对值特别重要的性质；
a（ a＞0）
（ 2） |a|=0（a=0）（代数意义）
-a(a＜0)
（3）若 |a|=a，则 a≥0；若 |a|=-a，则 a≤0；
（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，
即 |a|≥ a，且 |a|≥-a；
（5）若 |a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；（几何意义）
a| a |
（6） |ab|=|a|·|b|；| b |= | b |
（b≠0）；
（7） |a|2 =|a2 |=a2；
（ 8） |a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥ |a-b|
一：比较大小
典型题型：
【 1】已知 a、b 为有理数，且 a 0， b 0 ， a b ，则（）
A： a b b a ；B： b a b a ；
C： a b b a ；D： b b a a
这种题型的重点是画出数轴，而后将点依据题目的条件进行标志。

由于是 a 0 ， b 0 ， a b ，所以我们就在原点的左侧标志。

a b 0
a 4 ，
b 3。

4 3 ，又因
假如你不知道谁在前方，你就自己找一个数字。

如：
为它们都是负数，所以a
4 。

b 3
当我们把条件都标志好了，并假定了一个数值带入此中，我们就能正确地判
断它们的大小了。

二：判断点的地点或许原点的地点
经典题型
【 1 】不相等的有理数 a 、 b、 c 在数轴上的对应点分别为A、 B、 C，假如a b b c a c ，那么，点 B 在（）
A：在 A、C 点的右侧；B：在 A、 C 点的左侧；
C：在 AC点之间；D：上述三种均可能·
这个题目要求从已知条件下手，判断各自的大小关系。

第一将题目进行变形：
a b b c a c a b b c a c0
察看一下，三个式子最后的结果是“ 0”，而三个式子中恰好是 2 个 a，2 个 b，2
个 c。

只有它们相互抵消了才可能为 0.由此获得a b 0。

b c 0
，
a c 0
a b b c a c a b b c a c0
所以有：a
b 。

b c，a
c 。

画出数轴：
c b a
由此能够得出 B 点在 AC 之间。

可是原点呢？
a b c 。

A能够是正数也能够是负数。

所以原点能够在 a 的左侧也能够在右侧。

这样原点能够在AB 之间，也能够在CB 之间，还能够在 C 的左侧。

三：已知点在数轴上的地点，简化或许计算。

典型题型
【 1】实数 a、b 在数轴上的地点如下图，那么，化简 a b a 的结果是：
b 0 a
A：2a-b ; B：b ； C：-b ； D： -2a+b
从图中我们能够很正确地知道： a 0 ， b 0 ，并且点 b 到原点的距离比点 a 到原点的距离还长，所以我们能够判断出 a b 0 。

假如你不知道自己能否判断对了，就采纳数
值法。

设 a 2 。

b 4 。

a b 2 ( 4) 2 4 6 0
a b 0直接开出来。

于是，原
式 a b a =a b a b
【 2】已知 a c 0 b ，且 b c ；化简 b c b c a c a c a b
固然条件中没有给出各点所在的地点，可是我们能够经过画数轴来确立各自的地点关系。

a c
0 b
b 2 。

c 4 ， a 5
甚至你能够标志详细的数值帮助我们剖析。

如
从数轴上能够看出， b c 0 。

b c 0 。

a c 0 ， a c 0 。

a b 0 。

由绝对值的性质能够获得 b c b c a c a c a b
(b c)(b c) (a c)(a c)(a b)
b c b c a c a c a b
3b3a
【 3】若 1 a 3 ，则 3 a 1 a
这个题目给了 a 的取值范围，所以我们要对绝对值中的式子进行判断。

1a 3 ，所以 3a0 ，而1 a 0。

假如你怕自己判断错误，不如设一个数
a 2 。

记着必定是在
确了。

3 a 1 a (3 a) (1 a) 3 a 1 a 2
假如没有给定区间，我们应当怎样解答呢？
【 4】化简 3x 1 2x 1
这个题型，第一要在数轴上找出它们的零值点， 也就是绝对值里面的式子一定等
于“ 0”，由此获得：
3x
1 0 ，解得 x
1
2x 1 0 ，解得 x 1 3 。

2。

3x 1
正
负 2x 1
正
负1
3
1
画数轴，而后将零值点标出，并延伸其线段，再将属于零值点的式子标志上去。

以零2
值点为分界限，数轴右侧为正，左侧为负。

这样数轴就被切割成了三个部分。

第一部分： x 1
3
3x 1 0
2x 1 0
由图上箭头方向可知：。

3x
1 2x 1
(3x 1) (2x 1)
5x
1
1
第二部分：
x
2
3
由图上箭头方向可知：
3x 1 0。

2x
1 0
3x
1 2x 1 (3x 1) ( 2x 1) x 2
第三部分： x
1
2
3x 1 0 。

2x 1 0
由图上箭头方向可知：
3x
1 2x 1 (3x 1) (2x 1)
5x
千万记着：取零值点！！！
四：最小值或许最大值
经典题型
设 a ，b 是有理数，则 |a+b|+9有最小值仍是最大值？其值是多少？ 【 1】
我们知道：绝对值是大于零的数， 正数加正数会愈来愈大， 所以，它会有最小值，
而这个最小值是 9+0=9. 所以 a b 0 。

即 |a+b|+9有最小值为 9；
假如是 9-|a+b|呢？由于绝对值出来的数都是非负数， 9 减去一个非负数只好愈来愈小，所以，它就会有最大值 9-0=9 。

【2】设 a，b 是有理数，则 -8- |a-b|是有最大值仍是最小值？其值是多少？
这个题目是一个负数减去一个正数相等于加上一个数，这样所得出来的数值
会愈来愈小。

所以它会有一个最大值-8。

小结：这种题目重点是加法仍是减法。

正数+绝对值时有最小值；正数-绝对值时有最大值；负数 -正数时有最大值。

【3】求 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
这里我们能够把小学奥数中的有关知识联系到一同解说：
如图，在接到上有 A 、 B、C、D、E 五栋居民楼，此刻建立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于哪处？
A BC D E
剖析：我们来剖析以下 A 、E 两个点，无论这个邮筒放在AE 之间的哪一点， A 到邮筒的距离加上 E 到邮筒的距离就是AE 的长度。

也就是说邮筒放在
哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。

那么我们就使其余的 3 个点到
邮筒的距离之和最短，再看为了使B、 D 两个到邮筒的距离之和也是不
变的，等于 BD。

最后，只需要考虑 C 点到邮筒的距离近来就行了。

那
么自然也就是把邮筒放在 C 点了。

这里就表现了一个“向中心聚拢的思
想”
找出零值点， 3,5,2， -1，-7
|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|
这个式子有 5 项，以此排序 -7，-1， 2， 3， 5，故取中间项： x=2
|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|= 2 3 2 5 2 2 2 1 2 7 16
题后小结论：
求|x-a1 |+|x-a 2 |+ +|x-a n |的最小值：
当 n 为奇数时，把 a1、a 2、 a n从小到大摆列， x 等于最中间的数值时，该式子的值最小。

当 n 为偶数时，把 a1、a 2、 a n从小到大摆列， x 取最中间两个数值之间的数（包含最中间的数）时，该式子的值最小。

五：求值
经典题型
【 1】已知 x 3 ； y 4 ，且 x y ，则 x y
解：x 3 所以：x 3。

y
4 ，所以y
4
x y ，所以y 4
y 4
解得：x 3
y 4
x 3
这种题目注意条件。

x y。

只需 y 比 x 大就能够，这里 y 只好取 4.而 x 能够
取 3 和 -3.所以就会有两个答案。

【2】已知abc
0 ，若m
2a
?
3b
?
4c
m 1
a b c
则
解：由于abc 0
，故此存在四种可能：同为正，同为负，二正一负，二负
一正。

（1）同为正，则m1
24+1=25
（2）同为负，则m1
-24+1=-23 m 1
（3）二正一负，则-24+1=-23
m 1
（4）二负一正，则24+1=25
综合：m1
25 或许
m1
-23
【3】已知abc
0 ，若m
2a 3b 4c
a b c 则
m 1
（1）同为正数。

2a 3b 4c
m a b c =2+3+4=9所.以，m 1 10
（2）同为负数。

m
2a 3b 4c
a b c =-2-3-4=-9 所以，m 1
8
（3）a 为正， b、c 为负数
m 2a 3b 4c
2 3 4
5。

所以，
m 1
4 a b c
（4）a 为正， b 为正、 c 为负数
m 2a 3b 4c
2 3 4
1
，所以，
m
1 2
a b c
（5）a 为正， b 为负、 c 为正数
m 2a 3b 4c
2 3 4
3
，所以，
m
1 4
a b c
（ 6） a 为负， b 为正、 c 为负数
m 2a 3b 4c
2 3 4
3
所以，
m
1 2
a b c
（ 7） a 为负， b 为正、 c 为正数
m 2a 3b 4c
2 3 4
5
所以，
m
1 6
a b c
（ 8） a 为负， b 为负、 c 为正数
m 2a 3b 4c
2 3 4
1
所以，
m
1 0
a b c
这种题目必定要分别议论。

最好的方法就是逐个清除。

【 4】已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，x 的绝对值等于 1，求x2(a b)x cd
解： a、b 互为相反数，所以： a+b=0.
c、 d 互为倒数 ,所以： cd=1
x 的绝对值等于 1,所以x2 1
x2( a b) x cd 1 0 10
六： 0+0 型
0+0 型有集中很典型的题型
若|x-a|+|x-b|=0，则 x-a=0 且 x-b=0；
第一类：绝对值 +绝对值：
由于绝对值出来的数都是非负数，而两个非负数相加要等于 0.惟有绝对值里面的数等于 0.
【 1】已知 x 4
y 2
0，求
x
y =
x y
解： x 4
y 2
，所以有： x-4=0.解得： x=4；y+2=0 解得： y=-2
x y
2
4 3
则： x y 2
4
【 2】若 x
y 3 与 x y 1999 互为相反数，求
x
y =
x y
解：互为相反数的两个数之和等于 0.
所以有：
x
y 3 + x y 1999 =0 解得： x-y=-3 ;x+y=1999
x y 1999
666
1
x y 3
3
若|x-a|+(x-b) 2
则 x -a=0 且
；
=0,
x-b=0 第二类：绝对值 +平方
由于绝对值出来的数都是非负数， 而平方数也是一个非负数， 两个非负数相加等
于 0，则各自为 0.
( 4 ) n
2
=0，求
y
x 的值 【 2】若 |x+3|+(y-1) 解： x+3=0,所以： x=-3； y-1=0。

所以： y=1
( 4 )n ( 4 )n ( 1)
n
y
x
1 3
议论：
( 4 ) n ( 4 ) n ( 1) n 1
y x 1 3
( 4 ) n
(
4 )n ( 1) n 1
当 n 为奇数时，
y
x
1 3
第三类：平方 +平方
2
2
若 (x-a) +(x-b) =0,则 x-a=0 且 x-b=0； 【 3】已知
( x
2) 2
( y 4)2 0 ，求 xy
(x y)
解： x-2=0。

所以 x=2 ；y+4=0，所以： y=-4
xy (x y) 2 ( 4) (2 4) 8 2 6
七：分数乞降
【 1】 已知 ab 2 与 b 1 互为相反数，求代数式
1 1 1
1
ab
(a 1)(b 1)
(a 2)(b 2)
（ a 1999）(b 1999)
解：
ab
2 + b
1
=0 解得： ab=2,b=1.a=2
1
1
1
1
ab (a 1)(b
1) (a 2)(b 2)
（ a 1999）(b 1999)
1
1
1
1
=
2 2
3 3 4
2000 2001 1 1 1
1 1 1 1
=
2
2 3 3 4 2000
2001
1
1
2000
=
2001 = 2001
【 2】化简
1 1 1 1 1 1
2004 2003
2003 2002 1003 1002
1
1
1
1
1
1
2004 2003 2003 2002 1003 1002
1 1 1 1 1 1
2003 2004 2002 2003 1002 1003
1 1 1 1 1 1 1 1
2003 2004 2002 2003 2001 2002 1002 1003
1 1 3007
= 2004 1003 2004 1003
分式乞降常用解法就是裂项。

裂项、裂项，就是将一个因式分裂成两个部分，它的原理是依据异分母相加
1 1
减，一定通分来分裂的。

如：23
由于分母不一样，所以要通分。

分子分母同时
扩大同样的倍数，其值是不变的。

一般来说，最简单的通分方法就是分母相互扩大倍数。

“2”要扩大“ 3”倍，而“ 3”要扩大“ 2”倍。

这样一来该题就能够变为：
1 1 3
2
3 2 1
2 3 = 2 3 23=23 23。

例题剖析
1 1 1 1
【1】2
3 3
4 4
5 99 100
（1
-
1
）（
1
-
1
）（
1
-
1
） 1 - 1
= 2 3 3 4 4 5 99 100
1 1
=2 100。

由此，我们获得一个结论：假如因式分母之间的差为“ 1”的时候，裂项成两个分式之间相减，其分子也是“ 1”.最后获得第一项减去最后一项。

通项公式：
1 1 1 1 1
n (n 1) n n 1 其和为：n
1
n
n 。

也就是“首项—末项” 。

1 1 1 1 1
【2】2 5 5 8 8 11 11 14 299 302
1 1 1 1 1 1
解：原式 =（2
5 5 8 8 11 11 14 299 302 ）×3×3
( 3
5 3
8
3
11
3
299
3 ) 1
= 2
5 8 11 14 302 3
关于绝对值的几种题型及解题技巧精编版 11 / 11 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新 料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
( 1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 5 5 8 8 11
299 ) 3 = 302 ( 1 1 ) 1
= 2 302 3
m 1
1 进而我们得出一个通项公式： n (n
m) n n m 。

11。