2.3数学归纳法
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数学归纳法
[费马（Fermat）猜想]:
1640年，法国数学家费马发现：
设函数 f (n) 22n 1(n N)，则
f (n)与 n 的对应值如下表：
费马(1601--1665) 法国伟大的业余数学 家。
于是，他猜想：形如 f (n) 22n 1(n N)的数都是质数.
已知数列an , a1 1,
=1或2等）时结论正确，是推理的起点、源泉；
（2）假设 n k(k N*,k n0)时，结论成立，当 n k 1 时，
利用假设证明结论也成立，是递推的关键、核心. （3）由（1）和（2）得出结论，缺一不可，注意完整性.
3.数学归纳法作为一种完全归纳的证明方法，其基本思想是 递推思想，所涉及到的主要数学思想方法有：类比、归纳、有 限到无限的转化、辩证唯物主义等思想.
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k2 1 那么 1 3 5 (2k 1) (2k 1)
k 2 1 (2k 1) (k 1)2 1 即n=k+1时等式成立.
所以等式对一切自然数 n 均N成 立.
结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失 去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证， 可有可无.
(3)提出问题：骨牌全倒下应满足什么条件？
探讨结论：骨牌全部倒下满足的条件： 第一张牌要倒下； 要保证任意前一块倒下，后一块也倒下。
我们就得到一个证明一个与正整数有关的命题的方法:
（1）已知第一张牌要倒下（第一个条件） 要证明当n 1 时猜想成立，由条件知，当 n 1 时猜想成立.
（2）要保证任意前一张倒下，后一张也倒下（第二个条件） 即要证明若当n k时命题成立，则当 n k 1时命题也成立.
1 3 5 2k 1 k 2
那么 n=k+1时
1 3 5 2k 1 2k 1 k 2 2k 1 (k 1)2
即n=k+1时等式成立.
所以等式对一切自然数 n N均成立.
上述证法是正确的吗？为什么？
某同学猜想 1 3 5 2n 1 n2 1
用数学归纳法证明步骤如下： 证明：假设n=k时等式成立，即
an1
பைடு நூலகம்
an 1 an
(n
N ),
求通项 an.
通过对
n 1,2,3,4
前4项归纳，得出
a1 1,
1 a2 2 ,
1
1
a3 3 , a4 4 ,
猜想出:
an
1 n
费马（Fermat）猜想]: 形如 Fn 22n 1(n N)的数都是质数.
92年以后的1732年，欧拉发现了
费马(1601--1665)
这种证明方法叫做 数学归纳法.
这是一种简单、有效、科学的证明方法，实现了完全归纳的目的.
已知数列an , a1 1,
an1
an 1 an
(n
N
),
求通项 an.
猜想出:
1 an n
证明:
(1)当
n = 1时,
1
a1
=
1
=
, 1
猜想成立.
(2)假设当n k(k 1, k N *)时, 猜想成立,
多米诺骨牌游戏 (1)动画演示：多米诺骨牌动画演示 (2)现象分析：
第一排骨牌发生了什么情况？从第1块倒下，碰倒第2块，再碰 倒第3块，以此类推，骨牌相继全部倒下；
第二排骨牌发生了什么情况？从第2块倒下，碰倒第3块，再碰 倒第4块，以此类推，除第一块骨牌外，其余骨牌相继全部倒下.
第三排骨牌发生了什么情况？从第1块倒下，碰倒第2块，再碰 倒第3块，但中间抽走部分骨牌，以致不能连续碰倒，造成后面 骨牌不再倒下.
4.“观察、归纳、猜想、证明”是解决与自然数有关的命题的 有效途径和重要的思维方式.
作业布置
多米诺骨牌动画演示
返 回
结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步 骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.
小结
1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要 方法.
2.数学归纳法的证明过程主要有两个步骤一个结论:
（1）证明当 n 取第一个值 n0（即命题允许的最小正整数如 n0
问题2：乙同学用数学归纳法证明
1 3 5 2n 1 n2
采用下面证法，对吗？为什么？
证明：（1）当n 1时,左边 1 右边.
（2）假设当n k时，等式成立，即1 3L 2k 1 k2.
则n k 1时，
1 3 L 2k 1 k 1 1 2k 1 k 12
2
即n k 1时等式也成立. 根据(1)和（2），可知等式对任何n N 都成立.
f (5) 4294967297 6700417641
法国伟大的业余数学 家。
不是质数，是一个合数.
不完全归纳法有发现问题的长处，但
得出的结论未必可靠，需另寻方法.
欧拉(1707～1783)， 瑞士数学家及自然科学 家。
问题提出：
假设水平地面上竖放一排砖，若只推倒一 块，能保证 全部倒下吗？若要全部倒下，应怎样摆放？应推倒哪一 块？若不推倒任何一块，能全部倒下吗？若从中拿走几 块，破坏了上述摆放规则，再推倒第一块还能保证全部 倒下吗？如果让你摆砖，无尽地摆下去，是否还需要一 块一块的去推倒？
即ak
1. k
那么,当 n = k +1时,
ak+1 =
ak 1+ ak
=
1
k 1
=
1+ k
1 k +1
即当n k 1时,猜想也成立.
根据(1)和(2)，猜想对于任何 n∈N * 都成立.
问题1：甲同学证明 1 3 5 2n 1 n2
用数学归纳法证明步骤如下：
证明：假设n=k时等式成立，即
一般地证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： 1.（归纳奠基)证明当 n取第一个值 n0 时命题成立；
2.（归纳递推）假设当 n k(k N*,k n0)时命题成立， 证明当 n k 1 时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.
[费马（Fermat）猜想]:
1640年，法国数学家费马发现：
设函数 f (n) 22n 1(n N)，则
f (n)与 n 的对应值如下表：
费马(1601--1665) 法国伟大的业余数学 家。
于是，他猜想：形如 f (n) 22n 1(n N)的数都是质数.
已知数列an , a1 1,
=1或2等）时结论正确，是推理的起点、源泉；
（2）假设 n k(k N*,k n0)时，结论成立，当 n k 1 时，
利用假设证明结论也成立，是递推的关键、核心. （3）由（1）和（2）得出结论，缺一不可，注意完整性.
3.数学归纳法作为一种完全归纳的证明方法，其基本思想是 递推思想，所涉及到的主要数学思想方法有：类比、归纳、有 限到无限的转化、辩证唯物主义等思想.
1 3 5 (2k 3) (2k 1) k2 1 那么 1 3 5 (2k 1) (2k 1)
k 2 1 (2k 1) (k 1)2 1 即n=k+1时等式成立.
所以等式对一切自然数 n 均N成 立.
结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失 去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证， 可有可无.
(3)提出问题：骨牌全倒下应满足什么条件？
探讨结论：骨牌全部倒下满足的条件： 第一张牌要倒下； 要保证任意前一块倒下，后一块也倒下。
我们就得到一个证明一个与正整数有关的命题的方法:
（1）已知第一张牌要倒下（第一个条件） 要证明当n 1 时猜想成立，由条件知，当 n 1 时猜想成立.
（2）要保证任意前一张倒下，后一张也倒下（第二个条件） 即要证明若当n k时命题成立，则当 n k 1时命题也成立.
1 3 5 2k 1 k 2
那么 n=k+1时
1 3 5 2k 1 2k 1 k 2 2k 1 (k 1)2
即n=k+1时等式成立.
所以等式对一切自然数 n N均成立.
上述证法是正确的吗？为什么？
某同学猜想 1 3 5 2n 1 n2 1
用数学归纳法证明步骤如下： 证明：假设n=k时等式成立，即
an1
பைடு நூலகம்
an 1 an
(n
N ),
求通项 an.
通过对
n 1,2,3,4
前4项归纳，得出
a1 1,
1 a2 2 ,
1
1
a3 3 , a4 4 ,
猜想出:
an
1 n
费马（Fermat）猜想]: 形如 Fn 22n 1(n N)的数都是质数.
92年以后的1732年，欧拉发现了
费马(1601--1665)
这种证明方法叫做 数学归纳法.
这是一种简单、有效、科学的证明方法，实现了完全归纳的目的.
已知数列an , a1 1,
an1
an 1 an
(n
N
),
求通项 an.
猜想出:
1 an n
证明:
(1)当
n = 1时,
1
a1
=
1
=
, 1
猜想成立.
(2)假设当n k(k 1, k N *)时, 猜想成立,
多米诺骨牌游戏 (1)动画演示：多米诺骨牌动画演示 (2)现象分析：
第一排骨牌发生了什么情况？从第1块倒下，碰倒第2块，再碰 倒第3块，以此类推，骨牌相继全部倒下；
第二排骨牌发生了什么情况？从第2块倒下，碰倒第3块，再碰 倒第4块，以此类推，除第一块骨牌外，其余骨牌相继全部倒下.
第三排骨牌发生了什么情况？从第1块倒下，碰倒第2块，再碰 倒第3块，但中间抽走部分骨牌，以致不能连续碰倒，造成后面 骨牌不再倒下.
4.“观察、归纳、猜想、证明”是解决与自然数有关的命题的 有效途径和重要的思维方式.
作业布置
多米诺骨牌动画演示
返 回
结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步 骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.
小结
1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要 方法.
2.数学归纳法的证明过程主要有两个步骤一个结论:
（1）证明当 n 取第一个值 n0（即命题允许的最小正整数如 n0
问题2：乙同学用数学归纳法证明
1 3 5 2n 1 n2
采用下面证法，对吗？为什么？
证明：（1）当n 1时,左边 1 右边.
（2）假设当n k时，等式成立，即1 3L 2k 1 k2.
则n k 1时，
1 3 L 2k 1 k 1 1 2k 1 k 12
2
即n k 1时等式也成立. 根据(1)和（2），可知等式对任何n N 都成立.
f (5) 4294967297 6700417641
法国伟大的业余数学 家。
不是质数，是一个合数.
不完全归纳法有发现问题的长处，但
得出的结论未必可靠，需另寻方法.
欧拉(1707～1783)， 瑞士数学家及自然科学 家。
问题提出：
假设水平地面上竖放一排砖，若只推倒一 块，能保证 全部倒下吗？若要全部倒下，应怎样摆放？应推倒哪一 块？若不推倒任何一块，能全部倒下吗？若从中拿走几 块，破坏了上述摆放规则，再推倒第一块还能保证全部 倒下吗？如果让你摆砖，无尽地摆下去，是否还需要一 块一块的去推倒？
即ak
1. k
那么,当 n = k +1时,
ak+1 =
ak 1+ ak
=
1
k 1
=
1+ k
1 k +1
即当n k 1时,猜想也成立.
根据(1)和(2)，猜想对于任何 n∈N * 都成立.
问题1：甲同学证明 1 3 5 2n 1 n2
用数学归纳法证明步骤如下：
证明：假设n=k时等式成立，即
一般地证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： 1.（归纳奠基)证明当 n取第一个值 n0 时命题成立；
2.（归纳递推）假设当 n k(k N*,k n0)时命题成立， 证明当 n k 1 时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.