7-2乘法原理.题库版

知识框架图
7计数综合7-2乘法原理
7-2-1简单乘法原理的应用
7-2-2较复杂的乘法原理应用
1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；
2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．
3.培养学生准确分解步骤的解题能力；
乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．
一、乘法原理概念引入
老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？
我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．
二、乘法原理的定义
教学目标
知识要点
乘法原理
完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法．
结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．
三、乘法原理解题三部曲
1、完成一件事分N 个必要步骤；
2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；
3、步步相乘 四、乘法原理的考题类型
1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；
2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色的方法；
3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；
4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；
5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．
模块一、简单乘法原理的应用
【例 1】 邮递员投递邮件由A 村去B 村的道路有3条，由B 村去C 村的道路有2条，那么邮递员从A 村经
B 村去
C 村，共有多少种不同的走法？（2级）
2号路1号路南中
C B A
【解析】 把可能出现的情况全部考虑进去．
例题精讲
第一步 第二步
A 村村 C 村中
A 村村 C 村北南 C 村村A 村
由分析知邮递员由A 村去B 村是第一步，再由B 村去C 村为第二步，完成第一步有3种方法，而每
种方法的第二步又有2种方法．根据乘法原理，从A 村经B 村去C 村，共有3×2=6种方法．
【巩固】 如下图所示，从A 地去B 地有5种走法，从B 地去C 地有3种走法，那么李明从A 地经B 地去C
地有多少种不同的走法？（2级）
【解析】 从A 地经B 地去C 地分为两步，由A 地去B 地是第一步，再由B 地去C 地为第二步，完成第一步
有5种方法，而每种方法的第二步又有3种方法．根据乘法原理，从A 地经B 地去C 地，共有5×3=15
种方法．
【例 2】 如下图中，小虎要从家沿着线段走到学校，要求任何地点不得重复经过．问：他最多有几种不同
走法？（2级）
【解析】 从家到中间结点一共有2种走法，从中间结点到学校一共有3种走法，根据乘法原理，一共有3×2=6
种走法．
【巩固】 在下图中，一只甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有
几种不同走法？（2级）
C
B A
【解析】 甲虫要从A 点沿着线段爬到B 点，需要经过两步，第一步是从A 点到C 点，一共有3种走法；第二
步是从C点到B点，一共也有3种走法，根据乘法原理一共有3×3=9种走法．
【例 3】在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？（4级）
D C B
A
【解析】从A点沿着线段爬到B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有3种走法；第二步，从C点到D点，有1种走法；第三步，从D点到B点，一共也有3种走法．根据乘法原理，一共
有3×1×3=9种走法．
【巩固】在右图中，一只蚂蚁要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只蚂蚁最多有几种不同走法？（4级）
B
D
C
A
【解析】解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，第一步，A点到C点的走法是3种；第二步，从C点到D点，有1种走法；但第三步，从D点到B点的走法并不是3种，由D出去有2条路选择，到下一岔路口又有2条路选择，所总共有2×2=4（种）走法，根据乘法原理，这只蚂蚁最多有31412
⨯⨯=（种）不同走法．
【巩固】在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法？（4级）
D C B
A
【解析】从A点沿着线段爬到B点需要分成三步进行，第一步，从A点到C点，一共有3种走法；第二步，从C点到D点，一共也有3种走法；第三步，从D点到B点，一共也有3种走法．根据乘法原理，一共有33327
⨯⨯=种走法．
【巩固】在右图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同走法? （6级）
C
B
A
【解析】解这道题时千万不要受铺垫题目的影响，A点到C点的走法不是3种，而是4种，C点到B点的走法也是4种，根据乘法原理，这只甲虫最多有4416
⨯=种走法．
【例 4】按下表给出的词造句，每句必须包括一个人、一个交通工具，以及一个目的地，请问可以造出多少个不同的句子？（4级）
【解析】1、造一个句子必须包含三个部分，即人、交通工具、目的地．
2、那么这个句子可以分成三个部分；第一个步——选择人物，有三种选择；第二步——选择交通
工具，有三种选择；第三个步——选择目的地，有三种选择．
3、根据乘法原理：3×3×3=27．
【例 5】题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，每次考试要从三种类型的题目中各取一道组成一张试卷．问：由该题库共可组成多少种不同的试卷？（4级）
【解析】从该题库每一类试卷中分三步各选一道题，每一步分别有30、40、45种选法．根据乘法原理，一共有30×40×45=54000种不同的选法，所以一共可以组成54000种不同试卷．
【巩固】文艺活动小组有3名男生，4名女生，从男、女生中各选1人做领唱，有多少种选法？（4级）【解析】完成这件事需要两步：一步是从女生中选1人，有4种选法；另一步是从男生中选1人，有3种选法．因此，由乘法原理，选出1男1女的方法有3412
⨯=种．
还可以用乘法的意义来理解这道题：男生有3种选法，每选定1个男生，再选1个女生，对应着4种选法，即3个男生，每个男生对应4种选女生的方法，因此选出1男1女共有3412
⨯=种方法．
【巩固】小丸子有许多套服装，帽子的数量为5顶、上衣有10件，裤子有8条，还有皮鞋6双，每次出行要从几种服装中各取一个搭配．问：共可组成多少种不同的搭配(帽子可以选择戴与不戴)？（4级）【解析】小丸子搭配服装分四步．第一步选帽子，由于不戴帽子可以看作戴了顶空帽子，所以有516
+=种选
法；第二步选上衣，有10种选法；第三步选裤子，有8种选法；第四步选皮鞋，有6种选法．根据乘法原理，四种服装中各取一个搭配．一共有5110862880
（）种选法，所以一共可以组成2880
+⨯⨯⨯=
种不同搭配．
【例 6】要从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，有多少种不同的评选结果？（4级）【解析】第一步选出学习先进集体一共有6种方法，第二步选出体育先进集体一共有6种方法，第三步选出卫生先进集体一共有6种评选方法，根据乘法原理，一共有666216
⨯⨯=种评选方法．
【巩固】从四年级六个班中评选出学习、体育、卫生先进集体，如果要求同一个班级只能得到一个先进集体，那么一共有多少种评选方法？（4级）
【解析】第一步选出学习先进集体共有6种方法，第二步从剩下班级中选出体育先进集体共有5种方法，第三步选出卫生先进集体只剩有4种评选方法，根据乘法原理，共有6×5×4=120种评选方法．
【例 7】从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？（4级）
【解析】分三步，分别挑选第一人，第二人，第三人，分别有20，19，18种挑选法，一共有2019186840
⨯⨯=种排法．
【例 8】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目．如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？（6级）
【解析】五位同学的排列方式共有5×4×3×2×1=120（种）．
如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（种）；
因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48(种)；
贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）．
【巩固】10个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？（6级）
【解析】两人相邻的情况有10种，第三个人不能与他们相邻，所以对于每一种来说，只剩6个人可选，10×6=60（种）共有60种不同的选法．
【例 9】“数学”这个词的英文单词是“MATH”．用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？（4级）
【解析】为了完成对单词“MATH”的染色，我们可以按字母次序，把这个染色过程分四步依次完成：
第1步——对字母“M ”染色，此时有5种颜色可以选择；
第2步——对字母“A ”染色，由于字母“M ”已经用过一种颜色，所以对字母“A ”染色只有4种
颜色可以选择；
第3步——对字母“T ”染色，由于字母“M ”和“A ”已经用去了2种颜色，所以对字母“T ”染色
只剩3种颜色可以选择；
第4步——对字母“H ”，染色，由于字母“M ”、“A ”和“T ”已经用去了3种颜色，所以对字母“H ”
染色只有2种颜色可以选择．
由乘法原理，共可以得到5432120⨯⨯⨯=种不同的染色方式．
【小结】下面的这棵枚举树清晰地揭示了利用乘法原理分步计数的过程：
紫紫绿蓝绿紫H T
A
M
思考一下，如果不要求“每个字母染的颜色都不一样”，会有多少种不同的染色方式？
每个字母都有５种颜色可选，那么染色方式一共有5×5×5×5=625种染色方式．
【巩固】 “IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的
笔，问共有多少种不同的写法？（4级）
【解析】 第一步写“I ”有5种方法，第二步写“M ”有4种方法，第三步写“O ”有3种方法，共有54360
⨯⨯=种方法．
【例 10】 “学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不
同的写法？（4级）
【解析】 第一步写“学”有6种方法，第二步写“习”有5种方法，第三步写“改”有4种方法，第四步写
“变”有3种方法，第五步写“命”有2种方法，第六步写“运”有1种方法，根据乘法原理，一共有654321720⨯⨯⨯⨯⨯=种方法．
【巩固】有6种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？（4级）
【解析】写第一个字有6种选择，以后每写一个字，只要保证不与前一个字相同就行了，都有5种选择，所以，有65555518750
⨯⨯⨯⨯⨯=种写法．
【巩固】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？（4级）
【解析】第一个字有5种写法，第二个字有4种写法，第三个字也是4种写法，同理后面的字也是4种写法，共有5×4×4×4=320种．
模块二、较复杂的乘法原理应用
【例 11】北京到上海之间一共有6个站，车站应该准备多少种不同的车票？(往返车票算不同的两种) （6级）
【解析】京沪线上中间六个站连北京上海两站一共有8个站，不同的车票上起点站可以有8种，相同的起点站又可以配7种不同的终点站，所以一共要准备8×7=56种不同的车票．
【巩固】（难度等级※※※）一条线段上除了两个端点还有6个点，那么这段线段上可以有多少条线段？
（6级）
【解析】将这条线段看作是京沪线，点是车站，那么，每一条线段都对应两张来回车票，所以线段的总数是56÷2=28条线段．
【巩固】某次大连与庄河路线的火车，一共有6个停车点，铁路局要为这条路线准备多少种不同的车票？（6级）
【解析】不同的车票上起点站可以有6种，相同的起点站又可以配5种不同的终点站，所以一共要准备⨯=种不同的车票．
6530
【巩固】北京到广州之间有10个站，其中只有两个站是大站(不包括北京、广州)，从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？（6级）
【解析】京广线上一共有12个站，其中有四个大站，卧铺车的起点可以有四种，不同的起点站都可以配11个不同的终点站，所以铁路局要准备4×11=44种不同的车票．
【例 12】⑴由数字1、2可以组成多少个两位数？
⑵由数字1、2可以组成多少个没有重复数字的两位数？（6级）
【解析】⑴组成两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有2种方法；第二步确定个位上的数字，有2种方法．根据乘法原理，由数字1、2可以组成2×2=4个两位数，即11，12，21，22．
⑵组成没有重复数字的两位数要分两步来完成：第一步，确定十位上的数字，有2种方法；第二步
确定个位上的数字，因为要组成没有重复数字的两位数，因此十位上用的数字个位上不能再用，因此第二步只有1种方法，由乘法原理，能组成2×1=2个两位数，即12，21．
【巩固】用数字0，1，2，3，4可以组成多少个：
⑴三位数？
⑵没有重复数字的三位数？（6级）
【解析】⑴组成三位数可分三步完成．第一步，确定百位上的数字，因为百位不能为0，所以只有4种选．
⑵也分三步完成．第一步，百位上有4种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，
其他四个数字都可以，所以有4种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3种选择．根据乘法原理，可以组成44348
⨯⨯=个没有重复数字的三位数．
【巩固】⑴由3、6、9这3个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？
⑵由3、6、9这3个数字可以组成多少个三位数？（6级）
【解析】⑴分三步完成：第一步排百位上的数，有3种方法；第二步排十位上的数，有2种方法；第三步，排个位上的数，有1种方法，由乘法原理，3、6、9这3个数字可以组成3216
⨯⨯=个没有重复数字的三位数．
⑵分三步完成，即分别排百位、十位、个位上的数字，每步有3种方法，由乘法原理，由3、6、9
这3个数字一共可以组成33327
⨯⨯=个三位数．
【例 13】有五张卡，分别写有数字1、2、4、5、8．现从中取出3张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？（6级）
【解析】分三步取出卡片．首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有2、4、8三种不同的选择；第二步在其余的4张卡片中任取一张，放在最左边的位置上，也就是百位数的位置上，有4种不同的选法；最后从剩下的3张卡片中选取一张，放在中间十位数的位置上，有3种不同的选择．根据乘法原理，可以组成3×4×3=36个不同的三位偶数．
【例 14】有5张卡，分别写有数字2，3，4，5，6．如果允许6可以作9用，那么从中任意取出3张卡片，并排放在一起．问
⑴可以组成多少个不同的三位数？
⑵可以组成多少个不同的三位偶数？（6级）
【解析】⑴先考虑6只能当6的情况最后总的个数只要在这个基础上乘以2就可以了，分三步取出卡片: 第一步确定百位，有5种选择；第二步确定十位，除了百位上已使用的数字不能用，其他4个数字都可以，所以有4种方法；第三步确定个位，除了百位和十位上已使用过的数字，还有3种选择．根据乘法原理，考虑6可以当作9，可以组成5432120
⨯⨯⨯=（个）不同的三位数．
⑵先考虑6只能当6的情况，分三步取出卡片．首先因为组成的三位数是偶数，个位数字只能是偶
数，所以先选取最右边的也就是个位数位置上的卡片，有2、4、6三种不同的选择；第二步在其余的4张卡片中任取一张，放在十位数的位置上，有4种不同的选法；最后从剩下的3张卡片中选取一张，放在百位数的位置上，有3种不同的选择．根据乘法原理，6只是6时，可以组成34336
⨯⨯=（个）不同的三位偶数．这时候算所求的三位偶数并不是简单乘以2就可以的，因为如果个位是6的话变成9就不再是偶数，多乘的还需要减去，个位是6一共有4312
⨯=（个）不同的三位偶数，所以，可以组成3621260
⨯-=（个）不同的三位偶数．
【例 15】用1、2、3这三个数字可以组成多少个不同的三位数？如果按从小到大的顺序排列，213是第几个数？（6级）
【解析】排百位、十位、个位依次有3种、2种、1种方法,故一共有3×2×1=6(种)方法,即可以组成6个不同三位数.它们依次为123,132,213,231,312,321．故213是第3个数．
【巩固】有一些四位数，它们由4个互不相同且不为零的数字组成，并且这4个数字和等于12.将所有这样的四位数从小到大依次排列，第35个为．（6级）
【解析】4个互不相同且不为0的数字之和等于12，只有两种可能：1+2+3+6或者1+2+4+5．根据乘法原理，每种情况可组成4×3×2×1=24个不同的四位数，一共可组成48个不同的四位数．要求从小到大排列的第35个数，即求从大到小排列的第14个数．我们从千位最大的数开始往下数：千位最大可以取6，而千位是6的数共有3×2=6个；接下来是5，千位为5的数也有6个．所以第13个数应为4521，第14个是4512，答案为4512．
【例 16】将1332，332，32，2这四个数的10个数码一个一个的划掉，要求先划位数最多的数的最小数码，共有多少种不同的划法？（8级）
【解析】从小到大一步一步的分步划，遇到出现岔路的情况分类考虑．从位数最多的1332开始：
⑴划掉1332中的1，剩下332，332，32，2四个数；
⑵划掉位数最多的332中的2，有2种不同的顺序，划掉后剩下33，33，32，2四个数；
⑶划掉32中的2，剩下33，33，3，2；
⑷两个33中，各划掉一个3，有4×2=8种划掉的顺序，之后剩下3，3，3，2四个数；
⑸划掉2后，剩下3，3，3，有3×2=6种划掉的顺序．
根据乘法原理，共有不同的划法：2×8×6=96种．
【巩固】一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一个三位数，例如：532吃掉311，123吃掉123，但726与267相互都不被吃掉．问：能吃掉678的
三位数共有多少个？（6级）
【解析】即求百位数不小于6，十位数不小于7，个位不小于8的自然数．百位数不小于6，有4种；十位数不小于7，有3种；个位不小于8，有2种．由乘法原理，能吃掉678的三位数共有43224
⨯⨯=种．
【例 17】如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的，那么，这样的四位数最多能有多少个？（8级）
【解析】四位数的千位数字是1．由于这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和小于19，所以这个四位数与三位数的相同位数上的数字之和均等于9．这两个数的其他数字均不能为8．
四位数的百位数字a可在0、2、3、4、5、6、7中选择(不能是9)，有7种选择，这时三位数的百位数字是9a-；四位数的十位数字b可在剩下的6个数字中选择，三位数的十位数字是9b-．四位数的个位数字c可在剩下的4个数字中选择，三位数的个位数字是9c-．因此，根据乘法原理，这样的四位数有764=168
⨯⨯个．
【例 18】用1～9可以组成______个不含重复数字的三位数：如果再要求这三个数字中任何两个的差不能是1，那么可以组成______个满足要求的三位数？（8级）
【解析】1) 9×8×7=504个．
2）504-（6+5+5+5+5+5+5+6）×6-7×6=210个；
（减去有2个数字差是1的情况，括号里8个数分别表示这2个数是12，23，34，45，56，67，78，89的情况，×6是对3个数字全排列，7×6是三个数连续的123、234、345、456、567、789这7种情况）．
【例 19】电子表用11:35表示11点35分，用06:05表示6点5分，那么2点到10点之间电子表中出现无重复数字的时刻有________次．（8级）
【解析】 根据题意，在2点到10点之间，表示小时数的二位数字前一位只能为0，后一位可以为2～9；表示
分钟数的二位数字前一位可以为0～5，后一位可以为0～9，再考虑到无重复数字，当时间为2点多、3点多、4点多或5点多时，每一种情况下，表示分钟数的两位数字中前一位有624-=种选择，后一位数字有1037-=种选择，此时有4728⨯=种可能，比如02:ab 时，a 可以为1，3，4，5，b 就剩下1037-=种可以选择．所以这几种情况下共有284112⨯=种．
类似分析可知，当时间为6点多、7点多、8点多、9点多时，每种情况下都有5735⨯=种，共有354140⨯=种．
所以共112140252+=种．
【例 20】 (2008年西城实验考题)在1，2，3，……，7，8的任意排列中，使得相邻两数互质的排列方式共
有______ 种．（8级）
【解析】 这8个数之间如果有公因子，那么无非是2或3．
8个数中的4个偶数一定不能相邻，对于这类多个元素不相邻的排列问题，考虑使用“插入法”，即首先忽略偶数的存在，对奇数进行排列，然后将偶数插入，但在偶数插入时，还要考虑3和6相邻的情况．
奇数的排列一共有4!24=种，对任意一种排列4个数形成5个空位，将6插入，可以有符合条件的3个位置可以插，再在剩下的四个位置中插入2、4、8，一共有43224⨯⨯=种，所以一共有243241728⨯⨯=种．
【例 21】 在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共
有__________种不同的染色方法．（8级）
7
65432
1
【解析】 因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有43224⨯⨯=种染色方
法．如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．
【例 22】 如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，
有多少种不同染色方法? （6级）
D
C
B A
【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：
第一步：给A 染色，有5种颜色可选．
第二步：给B 染色，由于B 不能与A 同色，所以B 有4种颜色可选．
第三步：给C 染色，由于C 不能与A 、B 同色，所以C 有3种颜色可选．
第四步：给D 染色，由于D 不能与B 、C 同色，但可以与A 同色，所以D 有3种颜色可选．
根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有5433180⨯⨯⨯=种不同的染色方法．
【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，
要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？（6级）
E
D C B
A
【解析】 第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；
第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；
第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种选择；
第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择；
第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择．
共有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法．
【例 23】 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相
等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相
等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜
色不同，应该有多少种不同的染色方法？（6级）
【解析】 对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，
我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法。