2019-2020年苏教版数学必修二课时分层作业2 圆柱、圆锥、圆台和球+Word版含解析

课时分层作业(二)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列说法正确的是()
A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形
D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形
C[由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．]
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()
A．圆锥B．圆台
C．圆柱D．两个圆锥组合体
D[连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕其一条对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．]
3．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面不可能的图形是()
A B C D
D[当截面平行于正方体的一个侧面时得C，当截面过正方体的体对角线时得B，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A，但无论如何都不能截出D.] 4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是()
A．圆台B．圆锥
C．圆锥侧面D．圆台侧面
C[由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周，得到的是圆锥侧面，不含底面．] 5．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，
且距离为1，那么这个球的半径为()
A．9 B．3
C. 5 D．2 2
B[如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截
面圆的半径分别为r1＝5，r2＝2 2.∵球心到两个截面的距离d1＝
R2－r21，d2＝R2－r22，∴d1－d2＝R2－5－R2－8＝1，∴R2＝9，
∴R＝3.]
二、填空题
6．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．
一个六棱柱中挖去一个圆柱[一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．]
7．如图所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的．
圆锥、圆柱[旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．]
8．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．
πS[因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足4S＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝S，故底面面积为πS.]
三、解答题
9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16
cm2，求其底面周长和高．
[解]
如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.
其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16 cm2，解得r＝2 cm.
所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4 cm.
10.从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l 并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．
[解]轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆
柱的截面圆的半径O1C＝R，设圆锥的截面圆的半径O1D为
x.因为OA＝AB＝R，所以△OAB是等腰直角三角形．又
CD∥OA，则CD＝BC，所以x＝l，故截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)．
[等级过关练]
1．下列命题中正确的是()
A．圆柱上底面圆上任一点与下底面上任一点的连线都是圆柱的母线
B．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台C．圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形
D．在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球
C[A错，由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴；B错．直角梯形
绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的几何体；C 正确；D 错，点的集合应为球面．]
2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A ．圆锥
B ．两个圆锥组合体
C ．圆台
D ．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥
D [如图，以AB 为轴旋转所得的几何体是一个大圆锥挖去一
个同底的小圆锥．]
3．边长为5 cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面，则从E 点沿圆柱的侧面到点G 的最短距离是________cm. 52π2＋4 [如图所示，E ′F ＝12×2π×52＝52π(cm)，
∴最短距离E ′G ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52π2＝52π2＋4(cm)．]
4．在半径为13的球面上有A ，B ，C 三点，其中AC ＝6，BC ＝8，AB ＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．
12 [由线段的长度知△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的
半径r ＝AB 2＝5，所以d ＝R 2－r 2＝12.]
5．如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
(3)f(x)的最大值．
[解]
将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，
∴L＝2πr＝2π.
∴∠ASM＝L
2πl×360°＝
2π
2π×4×360°＝90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝x2＋16 (0≤x≤4)．
f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，
∵S△SAM＝1
2SA·SM＝1
2AM·SR，
∴SR＝SA·SM
AM ＝4x
x2＋16
(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x
x2＋16
(0≤x≤4)．(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)＝32.。