2018-2019学年江苏省常州市“教学研究合作联盟”高二下学期期中考试数学(文)试题

江苏省常州市“教学研究合作联盟”2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文科）试题
（考试时间：120分钟
试卷满分：160分）
注意事项：
1．本试卷均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答
题卡的规定位置。

3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位
置作答一律无效。

4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.设命题p ：x ∀∈R ，21x x >-，则p ⌝为
▲
．
2.若集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =,则图中阴影部分所表示的集合为▲
．
3.若实数,a b 满足
2i
a bi i
-=+(i 表示虚数单位)，则ab 的值为▲．4.函数(
)f x x
=的定义域为▲．
5.用反证法证明命题“若直线,AB CD 是异面直线，则直线,AC BD 也是异面直线”的过程可归纳为以下三个步骤：
①则,,,A B C D 四点共面，所以,AB CD 共面，这与,AB CD 是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线,AC BD 也是异面直线；③假设直线,AC BD 是共面直线．
则正确的推理步骤的序号依次为▲．
6.在复平面内,若向量(2,1)OZ =-
对应的复数为z ,则1z +=
▲．
7.若一次函数()f x 满足()()4f f x x =+，则(1)f -=
▲
．
8.如图所示，正方形ABCD 和BEFC 的边长均为1，点P 是公共边BC 上的一个动点，设CP x =，则()f x AP PF =+.请你参考这些信息，推知函数()f x 的值域是
▲
．
9.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额
上纹起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
第2题图
A B
A
B C D
E
F
P
第8题图
=
,=
,=
,=
,……，则按照以上规律，若=n=▲．
10.已知:p指数函数()(1)x
f x t=-在()
,
-∞+∞上为减函数；:q x∃∈R，221
x t x
+≤+.则使“p且q”为真命题的实数t的取值范围为▲．
11.已知函数y R，值域为[)
0,+∞，则实数a的取值集合为▲．12.已知定义在R上的偶函数满足3
()5(0)
x
f x x x
=+≥，若(12)()
f m f m
-≥，则实数m 的取值范围是▲．
13.已知函数
2
3
()
1
ax a
f x
x
--
=
+
，若存在实数[]
2,3
m∈，使得()1
f m=，则实数a的取值范围
是▲．
14.已知函数
2,1,
()1
,1,
x x
f x
x x
x
⎧+<
⎪
=⎨
+≥
⎪⎩
若关于x的不等式()2
x
f x a
≥+在R上恒成立，则实数a的
取值范围是▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)
已知复数2
z a i
=-(a∈R,i表示虚数单位)．
(1)若(2)i z
-为纯虚数,求复数z；
(2)在复平面内,若满足(2)i w z
-=的复数w对应的点在直线0
x y-=上,求复数z.
16.(本小题满分14分)
已知集合{}
|22
A x a x a
=-≤≤+(0
a>),{}
2
|340
B x x x
=+-≤.
(1)若3
a=，求A B
；
(2)若“x A
∈”是“x B
∈”的必要条件，求实数a的取值范围．
17.(本小题满分14分)
已知函数1()1x
x
a f x a
-=+(0a >且1a ≠)的图象经过点11,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求实数a 的值；
(2)若()3f t =-，求实数t 的值；(3)判断并证明函数()y f x =的单调性.
18.(本小题满分16分)
习总书记指出：“绿水青山就是金山银山”．常州市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W (单位：千克)
与肥料费用10x (单位：元)满足如下关系：()
252,02,()48,25,1
x x W x x x x ⎧+≤≤⎪
=⎨<≤⎪
+⎩其它成本投入(如
培育管理等人工费)为20x (单位：元)．已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为()f x (单位：元)．
（1）求
()f x 的函数关系式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?
19.(本小题满分16分)
已知()x x a
f x e e
=+
是奇函数．（1）求实数a 的值；
（2）求函数222()x x y e e f x λ-=+-在),0[∞+∈x 上的值域；
（3）令()()g x f x x =-，求不等式322()(2)0g x x g x x -+--<的解集．
20.(本小题满分16分)
已知函数2
()4f x x x x a a =---,0a >.（1）若2a =，求()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在[0,3]x ∈上的最值；
（3）当(0,4)a ∈时，若函数()f x 恰有两个不同的零点12,x x ，求
12
11
x x -
的取值范围.常州市“教学研究合作联盟”2018学年度第二学期期中质量调研
高二
数学（文科）试题试题参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比
照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．1.x ∃∈R ，21x x ≤- 2.{}
0,1 3.2 4.
[)(]
2,00,1- 5.③①②
6.
7.1
8.1⎤+⎦
9.9999.
10.()
1,211.
{}
2,2-12.[)1,1,3
⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝
⎦
13.13,82⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
14.⎡-⎣二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．(本小题满分14分)
(1)(2)i z -(2)(2)i a i =--2(1)(4)a a i =--+………………………3分
∵(2)i z -为纯虚数,
∴2(1)0,40,
a a -=⎧⎨
+≠⎩……………6分(少一个条件扣1分)
∴1a =,∴12z i =-.…………………………………………………7分
(2)2z w i =-22a i i -=-()()()()2222a i i i i -+=-+()()2145
a a i
++-=
…………………10分∵复数w 对应的点在直线0x y -=上,∴
()214
55
a a +-=
,…………………13分∴6a =-.∴62z i =--.…………………………………………………………14分
16.(本小题满分14分)(1)当3a =时,
{}|22A x a x a =-≤≤+[]1,5=-,……………………………2分
{}2|340B x x x =+-≤[]4,1=-,………………………………4分
所以,A B []4,5=-.…………………………………………………7分
(2)
{}|22A x a x a =-≤≤+(0a >)
{}2|340B x x x =+-≤[]4,1=-,
因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，
所以2421a a -≤-⎧⎨+≥⎩，……………………………………………………10分
所以,6,
1,a a ≥⎧⎨≥-⎩
所以6a ≥.………………………………………………13分
所以,当6a ≥时，“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件.
……………14分
17.(本小题满分14分)
(1)将点11,3P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的坐标代入函数式得,
11
13
a a -=-+,解得,2a =.………………2分(2)由(1)得12()12
x
x
f x -=+2112x =-+
,由题意可得21312t -=-+
，1212t =-+,
所以,12t
+=
,22122t ++=,222t =,1222
t -=,…………………4分所以,1
2
t =-
.…………………………………………………………………6分(3)函数()y f x =是(,)-∞+∞上的减函数.…………………………7分
法一：由(1)得12()12x x f x -=+2112
x
=-+.令12x x <,则
()()121222111212x x f x f x ⎛⎫⎛⎫
-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭12221212x x =-++(
)
(
)(
)
21
12
2221212
x x x x -=++…………………………………………………10分
因为指数函数2x y =是(,)-∞+∞上的增函数,而12x x <,
所以,1222x x <,所以,21220x x ->,………………………………12分所以,
()
()()
21
1
2
22201212x x x x ->++,即()()120f x f x ->,…………………13分
所以,()()12f x f x >,所以,函数()y f x =是(,)-∞+∞上的减函数.……………14分法二：因为()
/
2
22ln 2
()012x x f x -⋅==
<+ ，……………………………………13分
所以，函数()y f x =是(,)-∞+∞上的减函数.………………………………14分
18.(本小题满分16分)
解：（1）由已知x x W x x x W x f 30)(101020)(10)(-=--=……………………2分
⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+⨯≤≤-+⨯=52,3014810,20,30)2(5102x x x x
x x x ⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-+≤≤+-=.52,301480,
20,10030502x x x
x x x x …………6分答：()f x 的函数关系式为()f x ⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-+≤≤+-=.52,301480,
20,10030502x x x
x x x x ………………………7分
（2）由（1）)(x f 25030100,02,48030,25,1x x x x
x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩()2
31915002,10216510301,25,
1x x x x x ⎧⎛⎫
-+
≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎤⎪-++<≤⎢⎥⎪+⎣⎦⎩
当20≤≤x 时，)(x f 在103,0[上单调递减，在]2,10
3
[上单调递增，…………………8分且240
)2(100)0(=<=f f ∴240)2()(max ==f x f ；………………………………………………………………10分
当52≤<x 时，)]1(116
[
30510)(x x
x f +++-=，8116
)1(21161=+⋅+≥++
+x
x x x ………………………………………………………12分当且仅当
16
11x x
=++时，即3=x 时等号成立．………………………………………13分270830510)(max =⨯-=∴x f …………………………………………………………14分
因为270240<，所以当3=x 时，270)(max =x f ．…………………………………15分答：当投入的肥料费用为30元时，种植该果树获得的最大利润是270元．…………16分
19.(本小题满分16分)
解：（1）函数的定义域为R ，因为()f x 为奇函数，由()()f x f x -=-可知，(0)0f =，所以10a +=，所以1a =-；………………………………………………………………3分当1a =-时，11()()x x
x x
f x e e f x e e ---=-
=-+=-，此时()f x 为奇函数．……………4分
（2）令1x x e t e -
=（0t ≥），所以22
212x x e t e
+=+所以2()22h t t t λ=-+，对称轴t λ=，……………………………………………………5分①当0λ≤时，[)()(0),h t h ∈+∞，所求值域为[)2,+∞；…………………………………7分
②当0λ>时，[)()(),h t h λ∈+∞，所求值域为)
2
2,λ⎡-+∞⎣；……………………………9分
（3）因为1
()x x
f x e e =-
为奇函数，所以()()()()(),g x f x x f x x g x -=---=-+=-所以()()g x f x x =-为奇函数，
所以322()(2)0g x x g x x -+--<等价于322()(2)g x x g x x -<+-，……………………10分又1
()()112110x x
g x f x e e ''=-=+
--=>≥当且仅当0x =时，等号成立，所以()()g x f x x =-在R 上单调增，
所以3222x x x x -<+-，……………………………………………………………………13分即32220x x x --+<，又3222(2)(1)(1)0x x x x x x --+=--+<，
所以1x <-或12x <<．……………………………………………………………………15分所以不等式的解集是(,1)(1,2)-∞-U ．……………………………………………………16分
20.(本小题满分16分)
（1）22
228,2,
()2828, 2.
x x x f x x x x x x ⎧--≤=---=⎨
->⎩当2x ≤时，函数()f x 的对称轴是12x =
，开口向上，故()f x 在1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减,在1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增.…………………………………………………………………………1分当2x >时，函数()f x 在(2,)+∞上单调递增.……………………………………………2分综上：()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭上单调递减,在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增.………………………3分（2）①当03a <<时，22
24,0,
()44, 3.
x ax a x a f x x x x a a ax a a x ⎧--≤≤=---=⎨
-<≤⎩2()24f x x ax a =--的对称轴是14
a
x =
<，
()f x ∴在0,4a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在,34a ⎛⎤
⎥⎝⎦
上递增
而(0)4(3)f a f a
=-<=-最小值2
448a a f a ⎛⎫
=-
- ⎪⎝⎭
，最大值()3f a =-；………………………………………5分②当36a ≤<时2
()24f x x ax a =--的对称轴是34a
x =
<，
(0)4(3)187f a f a =-<=-，∴()f x 的最小值为2
448a a f a ⎛⎫=-- ⎪
⎝⎭
，最大值()3187f a =-……………………7分③当612a ≤<时，(0)4(3)187f a f a
=-≥=-∴()f x 的最小值为2
448a a f a ⎛⎫=-- ⎪
⎝⎭
，最大值()04f a =-………………………9分④当12a ≥时，2
()24f x x ax a =--的对称轴是34
a
x =
≥∴()f x 的最小值()3187f a =-，最大值()04f a =-…………………………11分
综上：①当03a <<时，()f x 的最小值2
448a a f a ⎛⎫
=-
- ⎪⎝⎭
，最大值()3f a =-；②当36a ≤<时，()f x 的最小值为2
448a a f a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭，最大值()3187f a =-；③当612a ≤<时，()f x 的最小值为2
448a a f a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，最大值()04f a =-④当12a ≥时，()f x 的最小值
()3187f a =-，最大值()04f a
=-（3）22
24,,
()44,.
x ax a x a f x x x x a a ax a x a ⎧--≤=---=⎨
->⎩当04a <<时,令()0f x =,可得
124,4a a a
x x ==
,………………………………………………………………13分34
a a a x =
(因为2
()40,f a a a =-<所以3x a >舍去)
所以
12111132344
88a x x a +-=++=+,…………15分
在04a <<上是减函数,所以
12113,4x x ⎛⎫
-∈+∞ ⎪⎝⎭
.………………………………………16分。