2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷理(五)

2018年普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷
（五）
本试题卷共14页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无
效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1.[2018 •荷泽期末]已知集合A=
「x|x2>5x -1,3,7，则A" B=（）A. B.「7? C ；、-1,3? D. [-1,7?
【答案】D
【解析】：A，x|x2>5x1，x|x v0 或x>5?, B=「-1,3,7?, A D B—-1力.
故选D.
2.[2018 •宁波期末]已知a> b，则条件“ c》0”是条件“ ac> be”的（）条件.
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
【答案】B
Q=2>b=1 ac> be
【解析】当2 时，ac>bc不成立，所以充分性不成立，当彳时c>0成立,
I e =0 [ a> b
c 》0也成立，所以必要性成立，所以“ 00”是条件“ ac >bc ”的必要不充分条件，选 B .
3. ［2018 •赣州期末］元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携 着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”
【答案】C 【解析】i T, (1) x=2x-1,i=2 ,
(2) x=22x-1 -1=4x-3,i=3, (3) x=24x-3 -1=8x-7,i=4, (4)
x =2 8x-7 -1=16x-15,i=5,
所以输出
16x-15=0，得 x 二15 ,
故选C.
16
2
2
if
4. [2018
x -四川联考］已知椭圆一2 -1(a >b >0)的左焦点
F 1 ,过点 F 1作倾斜角为30的
a
b
直线与
圆
2 2 2
x y ^b 相交的弦长为
'■■3b ，则椭圆的离心率为（
)
1
2
3
A.-
B.
-
C.—
D.
2 2
4
2
【答案】B
用程序框图表达如图所示，即最终输出的
X = 0，则一开始输入的x 的值为（
A.
B . 31 32
(0,0 )到直线的距离：d = j C 3 =号，由弦长公式可得：
2旳—冷=J3b ，整理可得：
b 2 =
c 2，a 2 -c 2 =c 2，a 2 =2c 2，则：e=-,e 2 .本题选择 B 选项.
2 2
5. [2018 •吕梁一模]已知函数f (x ) = Asi n (灼x )(A>0® >0严Vn )的部分图像如图
所示，则函数g x 二Acos 「x •::
图像的一个对称中心可能为(
)
【答案】C
把点2—3代入方程可得―寻，所以g x 也忘8x
J ，可得函数
g x
的
一个对称中心为10,0，故选C.
(1、6
6. [2018 •南宁二中]2x ・「i 1-一 的展开式中的常数项是(
)
I x 丿 A. -5 B . 7
C. -11
D. 13
【答案】C
【解析】：'U —1 i 的展开式的通项公式是 C61
-一 ,其中含-的项是C 6 '-丄1常数项为
l x 丿 l x 丿 x l x 丿
C 6 i 1
=1
, 故 2x TM -- 的展开式中的常数项是
x
x
【解析】过点F i 倾斜角为30的直线方程为:
y = ^^^(x*c )，即卩 x_j \/3y + c=0,
则圆心
A. -2,0
B . 1,0
C. 10,0
D. 14,0
【解析】由题意得 =2 6 • 2
： 一，即
8
f (x )=2T 3s in x +® ,
18 丿
x
后, 得到函数 g x 的图像关于直线
xp 对称，若g ； J T
3
-，则
5
sinG +-
I 6丿
A.
_ 7
B. — 3
C. J
D. 3
25
4
25
4
【答案】 C
【
解
析
】
根
据
-(
兀乙
g()=
s x !
一 4 ®
- 一2
]I
6 丿
■
3丄
Jt
Jl m
JI
2兀
\2K
—
+ W k 兀+ —，" Z ,
="+—,k
Z ,
12 3
2
3
题
s
1
) —
~ 1( 1^1
士” c
2x 汽 C6 —— I i 十 1汇1 = —12+1 =—11 •故选 C
-I x 丿」
7 . [2018 •铜仁四中]四面体 A - BCD 中，AB = CD=10 , AC 二 BD =2.. 34 ,
AD =BC =2.. 41，则四面体A —BCD 外接球的表面积为（
）
A. 50二
B. 100二
C. ]I ：I ：二
D. 300 ：
【答案】C
【解析】将四面体 A-BCD 置于一个长方体中，所以四面体
A - BCD 的外接球即为长方体 a 2+b 2 =136 的外接球，设长方体的长、宽、高分别为
a ，
b ，
c ,则根据图形可有＜
b 2+
c 2=164，则外 a 2 c 2 = 100
接球的直径2R = a 2 b 2 c 2 =、200 =10、2，所以
则球的表面积为
S = 4 二R 2 = 200 二，故选择 C.
& [2018 •晋城一模]已知函数f X 二-sin 2x
（0v 的图像向右平移
二个单位
6
(
)
故甲=迄，g(x ) = —sin i 2x +
3
I '
I N =NA S NC 1 ND =：j 6
2
：2 .3 = I B 2
1
=
I A .同理，当N 为线段AC 或CB i 的中点
时，计算得I N = NA + NCi + ND = J6
£2 + J 3 = 1吕，符合C 项的图象特征.故选 C.
2
—n 迢
12 4 丿 ]12 4丿 3
JI + — J 八 ( 兀
2
匚
JI '
9
7
，
■” sin 26 + = sin 20 + —
--1 = cos 2——
=1—2si n 1—=1 _2汉上=
二
I 6丿 I 2 3丿 1 3
丿
6丿 25 25
故选C. 9. [2018 •衡水金卷]如图为正方体 ABCD - AB tG D t , 动点M 从B^j 点出发，在正方体表面
上沿逆时针方向运动一周后，再回到 B i 的运动过程中，点 M 与平面ADC i 的距离保持不变,
运动的路程 x 与丨=MA i • MC i • MD 之间满足函数关系 丨=f X ，则此函数图象大致是
A. C. 【答案】C 6
B .
D.
【解析】 取线段
B i A 中
点为 N , 计算得
3
10. [2018 •闽侯四中]在厶ABC 中，点D 满足BD BC ，当E 点在线段 AD 上移动时,
4
2
2
则t
1 …I 的最小值是（
AD=AB BD=AB 3歐 AB 3ACJB .1AB .37C ，
4 4
4
4
-._ m
13 m 3m
4
所以 AE = m — AB ■ — AC AB ■ — AC ，…
(4 4 丿 4 4
鼻 _3m
J" 4
原式 t =(扎 一1 f + P 2 =『巴 _1 f +
] = 5m 2_m +1 = 5【m —2] +—,
4
4 8 2 8
5 10
2
9
当m = 2时，函数取得最小值 -，故选C
5 10
Y + _ x > 0
11. [2018 •台州期末]已知函数f x ；=2 x
，
0，
若函数g X [=f X - k X 1在
[-x 2 +3,x W 0,
-::,11恰有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是（
）
A. 1,3 B . 1,31
C. 1.2,3
D. 3,：：
【答案】A
【解析】函数g x l=f x - k x 1在I —?,11恰有两个不同的零点，等价于
y = f x 与
10
.82
4
10
41 7
【答案】C 【解析】 女口图
存在实数
得
y =k x 1的图象是过定点
-1,0斜率为k 的直线，当直线y =k x 1经过点1,2时,
化，所以实数k 的取值范围是11,3 .
【答案】
圆心2 2,0 ，半径为一 2 ；
y = k x 1的图象恰有两个不同的交点，画出函数
x + ],x >0,
x f
x 二
-x 2 +3,x <0,
的图象，如图,
直线与y = f x 的图象恰有两个交点， 此时,
k = 1，当直线经过点 0,3时直线与y 二f x
的图象恰有三个交点， 直线在旋转过程中与 y
=f x 的图象恰有两个交点,
斜率在11,3内变
12. [2018 •湖北联考]如图，已知抛物线
y
二8、
2x
I 过点F 且依次交
抛物线及圆 (x —2J 2) +y 2=2于 A , B , C , D 四点，贝U AB+4 CD
的最小值为(
A. 3.2
B . 5.2 C. 13 .2
D. 18「2 【解
析】 y 2 =8 2x 焦占 •) 八
F(2 2,0) ,准线 I o : x =-2 2 ,
由圆：x-2、2
y 2
AF =X A+2>/2 ,由抛物线的定义
得:
又••• |AF| =|AB| 十 J 2 ,••• |AB| = X A +J 2 同理：|CD|=X D +近, 当 AB 丄 x 轴时，则 X D = X A =2晅,• |AB|+4|CD|=15J2 .
当AB 的斜率存在且不为 0,设AB : y 二k(x-2 .. 2)时，代入抛物线方程，得:
k 2x 2 - 4 .. 2k 2 8、2 X 8k 2 = 0，• X A X D 二 8，
二 |AB | + 4 CD =(X A +V 2) +4(X D +V 2) =5血 +X A +4X D > 5运 + 勾4X A X D = 1^2 .
1
当且仅当X A = 4X D ，即X A =2, X D
时取等号,
2
综上所述 AB +4 CD 的最小值为13/2，故答案为：C.
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21) 题为必考题， 每个试题考生都必须
作答。

第(22)~(23)
题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共
4小题，每小题 5分。

13. [2018 •天津期末]已知R , i 为虚数单位，若 皂1!为纯虚数，则a 的值为 __________________
1 +i
【答案】1
【解析】由题意得―十」—a+1 i ,..• —i 为纯虚数，
1 +i (1 +i )(1 —i )
2 1 +i
14. [2018 •巴蜀中学]我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关, 前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税， 适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第
1关收税金丄，第2关收税金
2
为剩余金的1，第3关收税金为剩余金的 1，第4关收税金为剩余金的 1，第5关收税金
3 4 5
为剩余金的1,5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？ ”若将题中“5 关所收税 6 金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？ ”改成“假设这个人原本持金为 X ,按此规律通过第
8关”，则第8关需收税金为 ____________ X .
1
答案】一3,1 2
X
丄、, 4/2k 2+&/2
X A X D ■
2 k
a -1=0
a+1 =0 ，解得a =1 .答案：1.
【答案】丄
72
【解析】第i 关收税金：Lx ；
2
第2
关收税金： 1(
1 ) x x
1 - X == ；
31 2丿 6 2汉3 第3关收税金： 1 匚 1 1 ) x x
1 — — lx — — ；
41 2 6丿 12 3汉4
第8关收税金:
8 9
72
」表示可行域内的点 M x,y 与点P -1,0连线的斜率.
x 1
X y 「4 =0 x = 2
由 ' ，解得
，故得B 2,2 ；
[y=2 （y = 2 xy2=0
x=0 由
，解得
，故得A 0,2 .
y =2
ly = 2
因此可得k p A =2, k pB 二
,
3
结合图形可得 —的取值范围为
2,2 .答案： 2 o 」一,2
x 1 _3
_3'
16. [2018 •陕西一模]已知 △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别 是a , b , c ,且
【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）
- y 2》0
15 . [2018 •晋城一模]若X , y 满足约束条件
U 丄的取值范围为
x + 1
2 _
-c acosB - bcosA = abc ,若 a • b = 2，则 c 的取值范围为
△ ABC 中, a 2 b 2「c 2 acosB bcosA 二 abc , 由余弦定理可得： 2abcosC acosB bcosA =abc , ••• 2cosC sin AcosB si n BcosA =sinC ，二 2cosCsin A B =sinC ,
1 2cosCsinC =sinC ,： sinC =0,二 cosC
2
又••• C (0,
三、解答题：解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。

a^ = 3， a i ， a^ - a i ， a 8 a i 成等
比数列.
（i ）求数列a/的通项公式;
3
（2）若0
，数列匕匚的前n 项和S n ，求满足
a n a
n 啪
【答案】(1) a n =2n -1 ； (2) 13.
【答案】
1,2
【解析】 JI
•「3
•由正弦定理
sinA
加3—3
J T
T2
sinA sin ! — A
13
JI
sin I A
l 6.丿
「A 陀），A 6$，
可得：sin (A ) i | 丄，1 ，
6 12」 1 sin A+— I 6丿
1,2 , 故答案为：1,2 .
17. [2018 •滁州期末]已知数列：久？是递增的等差数列, 5
-的最小的n 的值.
a 1 d =3
【解析】("设 玄■的公差为d(d >0)，由条件得 a 1 2a 1 7d =(2d)2 ，
d ■ 0
d = 1 d =2
••• =1 2 n -1 =2n -1.
3
_
3 _ 3
1
a n a
n 1
2n - 1 2n 1
2 2n _1
由』
36
得n 12 ...... ............................. 11分
2n 1 25
36
•满足S h .一的最小值的n 的值为13 ..................................... 1分
25
18. [2018 •房山期末]某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定： 初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有 800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区 间
(2)
2：1
•
S
n
亠丄1
21 3 3 5 2n-1 2n+1 丿
3n
2n 1
30,150内，其频率分布直方图如图.
ft*
A mm
0.0125 .......................... ...... 00100* .................... 0.0075 ......... q __
0.0050 ......... ........... ........... ..... 0.0025”…i —
'■/■I ————————————— 6 30 50 70 90 110 130 150 分数
(1) 求获得复赛资格的人数； (2)
从初赛得分在区间 110,150的参赛者中，利用分层抽样
的方法随机抽取
座谈交流，那么从得分在区间
110,130与130,150各抽取多少人？
(3) 从(2)抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流， 设X 表示得分在区间
参加全市座谈交流的人数，求
X 的分布列及数学期望 E(X ).
【答案】(1) 20; ( 2) 5, 2; ( 3)见解析. 【解析】(1)由题意知90,110之间的频率为：
1—20 江(0.00250.005+0.00752+0.0125)=0.3, ............................ 0.3 0.0125 0.0050 20=0.65,
•••获得参赛资格的人数为 800 0.65=520 ............................. 4 分
(2)在区间 110,130 与 130,150 , 0.0125:0.0050=5:2, 在区间110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取
7人
分在区间110,1301与130,150各抽取5人，2人.结果是5, 2••… 分 (3)
X 的可能取值为0, 1 , 2,则:
P X =0 =甘
C 7
C 2^1
P X =1 二皆
7人参加学校
130,150 中
C7
P X亠罟冷； ................................................................................ 1分
X012
P241
777••• E X =0 2 1 4 2 - .. ............................ 1分
7 7 7 7
19. [2018 •德州期末]已知四棱锥P - ABCD中，PA _平面ABCD，底面ABCD为菱形,
ABC =60，E是BC中点，M是PD的中点，F是PC上的点.
BBC
(1)求证：平面AEF—平面PAD ；
(2)当F是PC中点，且AB二AP时，求二面角F - AE - M的余弦值.
3/10
【答案】(1)见解析；(2)
10
【解析】(1)连接AC ,
•••底面ABCD为菱形，• ABC =60：,
• △ABC是正三角形，
•/ E 是BC 中点，• AE _ BC ,
又AD // BC ,• AE _ AD , ............................................................... 1 分
•/ PA_平面ABCD , AE 平面ABCD , • PA_AE, ........................................ 3 分又PA^A D W A,••• AE_平面PAD , ........................ 4 分又AE平面AEF ,
(2)解：由(1得AE , AD , AP 两两垂直，
以AE , AD , AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系;
不妨设 AB 二 AP = 2，贝U AE 二.3， 则 A 0,0,0 , C .3,1,0 , D 0,2,0 , P 0,0,2 , E 3,0,0 ,
1 '
F —,-,1 , M (0,1,1), ...................................... 7 分
■■- AE 严q 3,o,o , AF 「3,1,1 , "AM 二 0,1,1 ,
2 2
•••平面AEF _平面
PAD . 5 分
m —1
AE =V3x =o
则
丿
—i 43
1 ，取 z=1，得 m = (0,-2,1), m AF
x +一 y +z = 0
■- -2 2
同理可求，平面 AME 的个法向量,
n h[0,_1,1
10分
贝U cos<m ,
n >
m n 3^10
同何10
•二面角 F -AE - -M 的平面角的余弦值为 ——
... ...................... 12分 10
20. [2018 •广东联考]已知椭圆
2
F 1与抛物线y - -4x
设m = x,y,z 是平面AEF 的一个法向量,
分
观察可知，二
2
b 2
7
2
（
t 2
1）yiy2
伽-
5t ）（yi y2）
m 2 5 25
m
2 16
（一m 2 - m 「2）t 2 （m 2「2）
2
m t 2 2
16
圆E 于A,B 两点，点P
，
5
,0 '，且PA PB 为定值. 14丿
(1) 求椭圆E 的方程； (2) 求△ OAB 面积的最大值.
【答
案】 X 2 1 迈
（1） y =1 ；（2）
2 2
【解析】
(1)设F 1(c,0) ,•••抛物线y 2
=-4x 的焦点坐标为(-1,0)，且椭圆E 的左焦点F 1与 抛物线y ---4x 的焦点重合，c=i, ................................................. 2 分
又椭圆E 的离心率为 —2，得a = •. 2 , (3)
分
2
2
于是有b 2 C 2 “故椭圆E 的标准方程为：〉y2 " (4)
（2）设 A （X i ,y i ） , B （X 2,yJ ,直线 I 的方程为：x=ty + m , 整理得（t 2 - 2）
y 2 2tmy m —2 二 0
-2tm
% % —，
PA=X £，y i ），PB 讥弓y 2）,
4 4
5
5
PA PB *1
-4）（X2〒 yy
的焦点重合，椭圆
E 的离心率为2，过点M m,0 m 2 * \ 3） >—
4
丿
作斜率不为
0的直线I ，交椭
x =ty m
由 x 2 2y 2=2
5 分
（1）证明：当■ =0时，f x >0；
（2）若当x > 0时，f X >0，求实数•的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）当，=0时，f x = x e^ -1,
要使PA PB 为定值，则
—m 2+5m —2
2
2
2
m -2 ，解得m =1或m = 2 （舍）, 2 3
AB =山+t 2汁厂y 2|=2喷1梯)
10分
1
点O 到直线AB 的距离d 二 '
.1 t 2
11分
△ OAB 面积s 「2匸~2
.1 t 2
•••当t =0 , △ OAB 面积的最大值为
12分
21. [2018 •成都七中]已知函数f
x
4-1 hx + 1 e
令「x =0，解得x = 0
当x < 0 时，「x ::: 0 ,• f x 在
当x 0 时，f x 0 ,• f x 在0,
故f x在x = 0处取得最小值f 0 =0,即f x ».
(2)由已知x>0 , •-1<0
1 x
° ）当"时，若x一，则，此时f x 0
，不符合题设条件;
-::,0上是减函数;
■上是增函数;
5 分
（ii ）当■> 0 时，若 x > 0 , f x
e- -1》0二 x ，x e —x -1 e» -1>0,
九x + 1
令 g x 二x xe 公—1 e 公一1，则 f x A0：= g x >0,
而 g x =1 - ：e 」「1 一 ‘ xe»「e 」二■ 一1
「1 ?「''； xe 」 (6)
分
1
X
① 当 o w v 「时，由（1）知，f x ]=x - e ->0，即 e 」>1 -x ,
它等价于 e x >1 x , x w e x -1,
••• g x - ■ -1 e 」-1 _ ■ xe 」>，-1 e 」-1 _ e 」e x _1 , -
-1 e» -1 - ■ 1 - e 」i=[2・-1 e 」-1 >0,
此时g x 在0,= 上是增函数，
• g x >g 0 =0，即 f x >0. .................................. 9 分
1
② 当■ •—时，由（1）知，e»>1 —x ,• x >1 —e» ,
2
•- g x - ■ -1 ][e 」一1 一，xe 」二 1 e 」一1
x e 」_1 x
-■ -1 -%x 2」一1 一 ‘ xw ：声「1 -%x ][ e 」-1 ]•丿[1 - e"
=]2' -1 - x e" -1 ,
•- g x
：
g 01=0，即f x ：
0，不符合题设条件.
综上：o w ，w
1
............................
2
请考生在 22、23题中任选一题作答 ，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [2018 •大庆一模]在平面直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取
相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线
C | : x 2 • y 2 = 1，直线l :戸cos^ - si- 4 .
当 0 ：
x 2 -1
时,
g x W 0，此时g x 在
（2人-1
0,一
上是减
函数,
11 分
(1)将曲线G上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、.3倍后得到曲线C2，请
写出直线l ，和曲线C 2的直角坐标方程;
（2）若直线h 经过点P 1,2且\J l , h 与曲线C 2交于点M ,N ，求
x
【答案】(1) x 一 y = 4 ,—
4
23. [2018 •湖师附中]选修4-5 :不等式选讲 已知不等式x+|x —3<x+6的解集为
（m,n ）.
(1)求m , n 的值;
(2)若 x 0 , y 0 , n x y m =0，求证：x y >16xy .
【答案】（1） m--1, n=9 ; （2）证明见解析.
PM| |P 叫的值.
■2
y
1 ; (2) 2. 3
【解析】（1 ）因为I :
所以I 的
直角坐标方程为
设曲线C 2上任一点坐标为 x, y ,则 .
x =2x y = 3y
，所以
x/
2
y ， V3
代入 G 方程得：
=1
C 2
（2）直线I : x - y = 4倾斜角为二，由题意可知,
4
直线I l 的参数方程为
x =1 t
2
y = 2 -2 t
2
（t 为参数），
联立直线|1和曲线C 2的方程得，7t 2 11. 2t ^0 .设方程的两根为t 1,t 2
2
=2，由
直线参数t 的几何意义可知,
PM PN 十
=2
【解析】（1）由x+|x —q ＜：x+6 ,
r x >3
0cxc3
x <0
得l
或彳
或<
, (3)
x x - 3 ： x 6 3 ： x 6 —x 3 - x ： x 6
解得 一1 ：：： x ：：： 9 ,••• m = -1, n = 9 ..........
5 分
(2)由(1)知 x 0 , y 0, 9x y
=1 ,
. i y 9x
9x y =10 ： — : —>10 2 x y
当且仅当--9x 即x=— ,
时取等号,
x y 12 4
1 1
••• — ： — >16，即 x y>16xy ... ..................................... 10 分
x y
“ 1〕
—+ — <x y 丿
=16 ,。