应用举例跳马问题动画演示
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如果我对马可以走到的四个点都编上号（方
向），那么我们很容易得到每一个方向上两 个坐标和原位置的关系。
同时，四个方向都有了编号，那么在选择路
径的时候也就可以不采用任选的方式了，只 需按照编号依次尝试就可以了。
跳马问题
4 3 2 1
若马所处的位置为 (x,y) ， 则其下一步可以到达的四 个位置分别是(x+1, y-2)， (x+2, y-1)，(x+2, y+1)， (x+1, y+2)。
跳马问题
骑士遍历问题的解空间是从左下角到右上角
的所有路径。
解空间的长度是所有路径中最长的路径的长
度。
解空间的组织形式是一棵四叉树，一个可行
的解就是从根节点到叶子节点的一条路径。 控制策略则是马必须在棋盘内。
跳马问题（递归）
procedure search(k: integer); // 递归查找 begin for i := 1 to 4 do // 依次尝试四个方向 if (x + dx[i] <= n) and (y + dy[i] > 0) and (y + dy[i] <= n) then // 在棋盘上 begin route[k] := i; // 记录下当前方向 x := x + dx[i]; y := y + dy[i]; // 修改扩展节点坐标 if (x = n) and (y = m) then // 是否是目标点 begin output(k); halt; // 是目标点，输出结果并终止程序 end else search(k+1); // 不是目标点，继续尝试下一步 // 扩展出的点是死点，回溯 x := x - dx[i]; y := y - dy[i]; // 恢复扩展节点坐标 end; end;
应用举例—跳马问题
在n×m棋盘上有一中国象棋中的马：
1. 马走日字； 2. 马只能往右走。
请你找出一条可行路径，使得马可以从棋盘 的左下角（1，1）走到右上角（n，m）。
跳马问题
输入：9 5
输出： (1,1)->(3,2)->(5,1)->(6,3)->(7,1)->(8,3)->(9,5)
B3
A2 A1 A B1 B2 C2 C1
D3
D2 E1 D1
跳马问题
5. 从C2出发，有四条路径可以选择，选择D4，
从D4出发又有两条路径，选择E1错误，返 回D4选择E2，从E2出发有两条路径，先 选择F1错误，返回E2选择B，而B恰好是 我们要到达的目标点，至此，一条路径查找 成功。
B3 A2 A1 A B1 B2 C2 E2本例中，我们只要求输出一条可行路径，
如果我们需要输出所有的可行路径，怎样改 动此程序呢？ 2. 如果我们把问题改成“在n×m的棋盘上有 一骑士，开始时，骑士在点(x,y)，现在请你 找出一条可行的路径，使得骑士可以不重复 的走遍棋盘上的每一个点。”的话，又要如 何编写此程序呢？
跳马问题
马走日字，当马一开始在黄点时，它下一步
可以到达的点有以下的八个，但由于题目规 定了只能往右走的限制，所以它只能走到四 个绿色点之一。
跳马问题
1. 当马一开始位于左下角的时候，根据规则，
它只有两条线路可以选择（另外两条超出棋 盘的范围），我们无法预知该走哪条，故任 意选择一条，到达A1。
A2 A1 A
跳马问题
2. 当到达A1点后，又有三条线路可以选择，
于是再任意选择一条，到达B1。 3. 从B1再出发，又有两条线路可以选择，先 选一条，到达C1。
B3 A2 A1 B1 A B2 C2 C1
跳马问题
4. 从C1出发，可以有三条路径，选择D1。但到了
D1以后，我们无路可走且D1也不是最终目标点， 因此，选择D1是错误的，我们退回C1重新选择 D2。同样D2也是错误的。再回到C1选择D3。 D3只可以到E1，但E1也是错误的。返回D3后， 没有其他选择，说明D3也是错误的，再回到C1。 此时C1不再有其他选择，故C1也是错误的，退回 B1，选择C2进行尝试。
在使用增量数组后，只要 知道方向t，下一步的位置 就是(x+dx[t], y+dy[t])。
增量数组： dx = (1, 2, 2, 1) dy = (-2, -1, 1, 2)
跳马问题
为了判断棋子是否落在棋盘上，我们还必须
知道当前棋子（扩展节点）的位置信息。而 用一系列的方向来表示就比较麻烦，因此， 我们另外使用两个变量来保存当前棋子的坐 标。但这时千万要注意的是一定要在回溯的 时候，修改当前棋子的坐标。
跳马问题（非递归）
top := 1; // 从第一步开始尝试 while ((x <> n) or (y <> m)) and (top > 0) do begin inc(route[top]); // 取下一个方向为当前方向 if (route[top] > 4) then begin // 是否四个方向全部尝试过 dec(top); // 都尝试过，回溯，并恢复扩展节点坐标 x := x - dx[route[top]]; y := y - dy[route[top]]; end else begin // 还有方向可以尝试 x := x + dx[route[top]]; y := y + dy[route[top]]; // 修改扩展节点坐标 if (x > n) or (y > m) or (y < 1) then begin // 活动点是否在棋盘上 x := x - dx[route[top]]; y := y - dy[route[top]]; // 不在棋盘上，恢复 end else begin // 在棋盘上 inc(top); // 继续尝试一步 route[top] := 0; // 下一步从第一个方向开始尝试 end; end; end;
D4
F1
跳马问题
从上面的分析我们可以得知：
1. 在无法确定走哪条线路的时候，任选一条线路 进行尝试；
2. 当从某点出发，所有可能到达的点都不能到达 终点时，说明此点是一个死节点，必须回溯到 上一个点，并重新选择一条新的线路进行尝试。
跳马问题
为了描述路径，我们最直接的方法就是记录
路径上所有点的坐标。但比较繁琐。
向），那么我们很容易得到每一个方向上两 个坐标和原位置的关系。
同时，四个方向都有了编号，那么在选择路
径的时候也就可以不采用任选的方式了，只 需按照编号依次尝试就可以了。
跳马问题
4 3 2 1
若马所处的位置为 (x,y) ， 则其下一步可以到达的四 个位置分别是(x+1, y-2)， (x+2, y-1)，(x+2, y+1)， (x+1, y+2)。
跳马问题
骑士遍历问题的解空间是从左下角到右上角
的所有路径。
解空间的长度是所有路径中最长的路径的长
度。
解空间的组织形式是一棵四叉树，一个可行
的解就是从根节点到叶子节点的一条路径。 控制策略则是马必须在棋盘内。
跳马问题（递归）
procedure search(k: integer); // 递归查找 begin for i := 1 to 4 do // 依次尝试四个方向 if (x + dx[i] <= n) and (y + dy[i] > 0) and (y + dy[i] <= n) then // 在棋盘上 begin route[k] := i; // 记录下当前方向 x := x + dx[i]; y := y + dy[i]; // 修改扩展节点坐标 if (x = n) and (y = m) then // 是否是目标点 begin output(k); halt; // 是目标点，输出结果并终止程序 end else search(k+1); // 不是目标点，继续尝试下一步 // 扩展出的点是死点，回溯 x := x - dx[i]; y := y - dy[i]; // 恢复扩展节点坐标 end; end;
应用举例—跳马问题
在n×m棋盘上有一中国象棋中的马：
1. 马走日字； 2. 马只能往右走。
请你找出一条可行路径，使得马可以从棋盘 的左下角（1，1）走到右上角（n，m）。
跳马问题
输入：9 5
输出： (1,1)->(3,2)->(5,1)->(6,3)->(7,1)->(8,3)->(9,5)
B3
A2 A1 A B1 B2 C2 C1
D3
D2 E1 D1
跳马问题
5. 从C2出发，有四条路径可以选择，选择D4，
从D4出发又有两条路径，选择E1错误，返 回D4选择E2，从E2出发有两条路径，先 选择F1错误，返回E2选择B，而B恰好是 我们要到达的目标点，至此，一条路径查找 成功。
B3 A2 A1 A B1 B2 C2 E2本例中，我们只要求输出一条可行路径，
如果我们需要输出所有的可行路径，怎样改 动此程序呢？ 2. 如果我们把问题改成“在n×m的棋盘上有 一骑士，开始时，骑士在点(x,y)，现在请你 找出一条可行的路径，使得骑士可以不重复 的走遍棋盘上的每一个点。”的话，又要如 何编写此程序呢？
跳马问题
马走日字，当马一开始在黄点时，它下一步
可以到达的点有以下的八个，但由于题目规 定了只能往右走的限制，所以它只能走到四 个绿色点之一。
跳马问题
1. 当马一开始位于左下角的时候，根据规则，
它只有两条线路可以选择（另外两条超出棋 盘的范围），我们无法预知该走哪条，故任 意选择一条，到达A1。
A2 A1 A
跳马问题
2. 当到达A1点后，又有三条线路可以选择，
于是再任意选择一条，到达B1。 3. 从B1再出发，又有两条线路可以选择，先 选一条，到达C1。
B3 A2 A1 B1 A B2 C2 C1
跳马问题
4. 从C1出发，可以有三条路径，选择D1。但到了
D1以后，我们无路可走且D1也不是最终目标点， 因此，选择D1是错误的，我们退回C1重新选择 D2。同样D2也是错误的。再回到C1选择D3。 D3只可以到E1，但E1也是错误的。返回D3后， 没有其他选择，说明D3也是错误的，再回到C1。 此时C1不再有其他选择，故C1也是错误的，退回 B1，选择C2进行尝试。
在使用增量数组后，只要 知道方向t，下一步的位置 就是(x+dx[t], y+dy[t])。
增量数组： dx = (1, 2, 2, 1) dy = (-2, -1, 1, 2)
跳马问题
为了判断棋子是否落在棋盘上，我们还必须
知道当前棋子（扩展节点）的位置信息。而 用一系列的方向来表示就比较麻烦，因此， 我们另外使用两个变量来保存当前棋子的坐 标。但这时千万要注意的是一定要在回溯的 时候，修改当前棋子的坐标。
跳马问题（非递归）
top := 1; // 从第一步开始尝试 while ((x <> n) or (y <> m)) and (top > 0) do begin inc(route[top]); // 取下一个方向为当前方向 if (route[top] > 4) then begin // 是否四个方向全部尝试过 dec(top); // 都尝试过，回溯，并恢复扩展节点坐标 x := x - dx[route[top]]; y := y - dy[route[top]]; end else begin // 还有方向可以尝试 x := x + dx[route[top]]; y := y + dy[route[top]]; // 修改扩展节点坐标 if (x > n) or (y > m) or (y < 1) then begin // 活动点是否在棋盘上 x := x - dx[route[top]]; y := y - dy[route[top]]; // 不在棋盘上，恢复 end else begin // 在棋盘上 inc(top); // 继续尝试一步 route[top] := 0; // 下一步从第一个方向开始尝试 end; end; end;
D4
F1
跳马问题
从上面的分析我们可以得知：
1. 在无法确定走哪条线路的时候，任选一条线路 进行尝试；
2. 当从某点出发，所有可能到达的点都不能到达 终点时，说明此点是一个死节点，必须回溯到 上一个点，并重新选择一条新的线路进行尝试。
跳马问题
为了描述路径，我们最直接的方法就是记录
路径上所有点的坐标。但比较繁琐。