2019版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第2章 第8节 函数与方程

(x1,0)
1
无交点 0
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1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( )
(2)函数 y＝f(x)， x∈D 在区间(a， b)⊆D 内有零点(函数图象连续不断)， 则 f(a)· f(b) ＜0.( )
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抓 基 础 · 自 主 学 习
第八节
[考纲传真]
函数与方程
结合二次函数的图象， 了解函数的零点与方程根的联
明 考 向 · 题 型 突 破
系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．
课 时 分 层 训 练
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1．函数的零点 (1)定义： 对于函数 y＝f(x)(x∈D)， 把使 f(x)＝0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x ∈D)的零点． (2)函数零点与方程根的关系：方程 f(x)＝0 有实根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点． (3)零点存在性定理：如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条
(3)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)· f(b)＜0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有一 个零点．( ) )
(4)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 在 b2－4ac＜0 时没有零点．(
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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2．(教材改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是( A．0 C.2 B.1 D.3
1 ，1 3
[∵函数 f(x)的图象为直线，由题意可得 f(－1)f(1)＜0，
1 ∴(－3a＋1)· (1－a)＜0，解得3＜a＜1， ∴实数 a
1 的取值范围是3，1.]
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函数零点所在区间的判断
(1)设 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( A．(0,1) C．(2,3) B.(1,2) D.(3,4)
1－ 1－2 1＝ln
1－2＜0，
1 2－20＜0， 1 3－21＞0，
∴x0∈(2,3)，故选 C.]
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判断函数零点的个数
(1)函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为( A．1 C.3 (2)(2017· 秦皇岛模拟)函数 ________． B.2 D.4
)
A [由于 y＝sin x 是奇函数；y＝ln x 是非奇非偶函数，y＝x2＋1 是偶函数但 没有零点，只有 y＝cos x 是偶函数又有零点．]
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4．(2016· 江西赣中南五校联考)函数 f(x)＝3x－x2 的零点所在区间是( A．(0,1) C．(－2，－1) B.(1,2) D.(－1,0)
)
(2)函数 f(x)＝x2－3x－18 在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零 点. 【导学号：01772060】
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(1)B (2)存在
[(1)函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)＝ln x，h(x)
＝－x＋2 图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：
)
35 2 D [∵f(－2)＝－ 9 ，f(－1)＝－3， f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5， ∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0， f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选 D.]
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5．函数 f(x)＝ax＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围 是________． 【导学号：01772059】
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[规律方法]
判断函数零点所在区间的方法：
判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接 求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理 判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．

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f(b)＜0 ，那么函数 y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在 x 曲线，并且有 f(a)· 0
∈(a，b)，使得 f(x0)＝0 .
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2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 与 x 轴的交点 (x1,0)，(x2,0) 零点个数 2 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
可知 f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
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(2)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f(8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f(1)· f(8)＜0， 又 f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图象是连续的， 故 f(x)＝x2－3x－18 在 x∈[1,8]上存在零点． 法二：令 f(x)＝0，得 x2－3x－18＝0， ∴(x－6)(x＋3)＝0. ∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]， ∴f(x)＝x2－3x－18 在 x∈[1,8]上存在零点．]
)
1 B [∵f(－1)＝e －3＜0，f(0)＝1＞0， ∴f(x)在(－1,0)内有零点， 又 f(x)为增函数，∴函数 f(x)有且只有一个零点．]
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3．(2015· 安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( A．y＝cos x C．y＝ln x B.y＝sin x D.y＝x2＋1
[变式训练 1] 已知函数 f(x)＝ln ( ) A．(0,1) C．(2,3)
1 － x－2x 2
的零点为 x0，则 x0 所在的区间是
B.(1,2) D.(3,4)
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1 － x－2x 2 在(0，＋∞)上是增函数，
C [∵f(x)＝ln 又 f(1)＝ln f(2)＝ln f(3)＝ln