江西省南昌市第二中学高三上学期第三次考试——数学理数学理

江西省南昌市第二中学 2016届高三上学期第三次考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数，则 （ ） A ． B ． C ． D ．
2．已知条件p ：；条件q ：22
(1)0(0)x m m --≤> ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是 （ ）
A . [21，＋∞) B. [9，＋∞) C.[19，＋∞) D.(0，＋∞) 3．在△ABC 中，若点D 满足，则（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 4．设S n 为等比数列的前n 项和，，则＝ ( ) A. 11 B. 5 C.一8 D.一11
5． 等差数列{a n }中，，数列022112
73=+-a a a {b n }为等比数列，且，则的值为 （ ）
A ．4
B ．2
C ．16
D ．8 6．函数的图象大致为 （ ）
7． 等差数列{}前n 项和为，满足，则下列结论中正确的是（ ） A ．是中的最大值 B ．是中的最小值 C ． =0 D ． =0 8．若，且3cos 24sin(
)4
π
αα=-，则的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若函数2
()sin 2(2)cos 2f x a x a x =+-的图像关于直线,则的最大值为 （ ）
A ．2
B ．或
C ．
D ．
10．如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M,若 ，,则的最小值为（ ） A ． B ．
C ．
D ． 11．为参数，函数2
283()()3
()3x a x a f x x a x a -+--=+⋅--⋅是偶函数，则可取值的集合是
（ ） A ．｛0，5｝ B ．｛2,5｝ C ．｛5，2｝ D ．｛1,2015｝ 12. 已知函数,(a 为常数且)，若在处取得极值，
且，而2
()0[2,2]f x e e ≥++在 上恒成立，则a 的取值范围（ ） A ． B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 13．若，均为非零向量，且，，则，的夹角为 。

14．将函数()sin(),(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-
<<
图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵
坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则 。

15．已知函数()(21)ln(1)f x x a x a =-+++的定义域为， 若≥0恒成立，则a 的值是 ． 16．等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件， ，。

给出下列结论：①；②，③
的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198。

其中正确的结论是 .
三、解答题：（70分） 17．（本是满分10分）
已知等差数列满足：，，其中为数列的前n 项和. （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，且成等比数列，求的值。

18．（本小题满分12分）
已知函数21cos 2()sin sin()42sin()2
x f x x a x x π
π+=
+++-
（Ⅰ）求函数y = f （x ）的单调递增区间； （Ⅱ）当x ∈ ［0，］ 时，函数 y = f （x ）的最小值为，试确定常数a 的值． 19．（本是满分12分）
在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2
23
4sin
cos 229
A C
B +-= （Ⅰ）求cosB ；
（Ⅱ）若AB ＝2，点D 是线段AC 中点，且，若角B 大于600
，求△DBC 的面积。

20．（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB=2BC=4，BF=CF=AE=DE ，EF=2，EF//AB ，AF ⊥CF 。

（Ⅰ）若G 为FC 的中点，证明：AF//平面BDG ； （Ⅱ）求平面ABF 与平面BCF 夹角的余弦值。

21．（本小题满分12分）
已知数列、满足：，，。

（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若2
2(12)(13)
n n
n n n n a a c a a -=--，求数列｛｝的前n 项和。

22．（本小题满分12分）
设错误！未找到引用源。

，函数错误！未找到引用源。

．
（Ⅰ）当错误！未找到引用源。

时，求错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上的单调区间；
（Ⅱ）设函数错误！未找到引用源。

，当错误！未找到引用源。

有两个极值点错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

时，总有错误！未找到引用源。

，求实数错误！未找到引用源。

的值．
A B C D E F G
南昌二中2016届高三第三次考试
理科数学试题参考答案
一．选择题:CBDDC DDCBD CB 二：填空题： 13．； 14．； 15．； 16．①②④
三：解答题
17解：（Ⅰ）设数列的公差为d ，由条件得
11111
361
5331n a d a d a a n a d a d d +++==⎧⎧⇒⇒=⎨
⎨+=+=⎩⎩ （Ⅱ）∵由（Ⅰ）易得，∵ 得解得 18． 21cos 2()sin sin()42sin()2
x f x x a x x π
π+=
+++-
)4sin(cos sin )4sin(sin cos 2cos 2222π
π+++=+++=x a x x x a x x x
)
4sin()2()4sin()4sin(22
2πππ++=+++=x a x a x
（1）由x +∈［－，＋］（k ∈Z ）得
x ∈［－，＋］（k ∈Z ）
∵sin(
)cos 02
x x π
-=≠ ∴
∴ 函数y = f （x ）的单调递增区间是
[－，－）∪ (－，＋］（k ∈Z ）．…9分 （2）当x ∈［0，］时，x +∈［，］
∴当x + =时，函数y = f （x
）取得最小值为2
2
)122
a a ⨯=+ ∴由已知得=， ∴ a = ±1 ．
19．（1）由2
23
4sin cos 229
A C
B +-=
及，得 2232[1cos()]2cos 19
A C
B -+-+=，2
9(1cos )9cos 20B B +-+= ∴ 或
（2）在△ABC 中，设BC=a ，∵，∴
∵，∴2
2
2
22()24
BA BC BA BC BA BC
BD +++⋅== ∴21744cos 44
a a ABC ++∠=，∴，即BC=3， 由（1）得△ABC
的面积12323
S =⨯⨯⨯
=，∴ 20解（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ，点G 为FC 的中点，
∴OG//AF ，∵AF 平面BDG ，OG 平面BDC ，∴AF//平面BDG 。

（Ⅱ）取AD 的中点M ，BC 的中点Q ，连接MQ ，则MQ//AB//EF ，∴M,Q,F,E 共面。

作FP ⊥MQ 于P ，EN ⊥MQ 于N ，则EN//FP 且EN=FP ，连接EM,FQ ∵AE=DE=BF=CF ，AD=BC ，∴△ADE ≌△BCF ，∴EM=FQ
∴△ENM ≌△FPQ, ∴MN=PQ=1，∵BF=CF ，Q 为BC 的中点，∴BC ⊥FQ
又BC ⊥MQ ，FQMQ=Q ，∴BC ⊥平面MQEF, ∴PF ⊥BC ，∴PF ⊥平面ABCD 以P 原点，PM 为x 轴，PF 为z 轴建立空间直角坐标系 则A(3，1，0),B(-1，1，0),C(-1，-1，0)，设F ，则， ，∵AF ⊥CF ，∴,解得h=2，
设平面ABF 的法向量，(3,1,2),AF =--由111111110320
20
0n AF x y z x y z n BF ⎧⋅=--+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩令，则
同理平面BCF 的一个法向量为 ∴1212121
cos ,.5
||||5n n n n n n ⋅=
==⋅
∴平面ABF 与平面BCF 夹角的余弦值为。

21．解（Ⅰ）∵；，，∴ ∴1111122n n n n b b b b +--=
-=--，∴111n b +=-∴，∴
111
(1)(1)41311
n n n n b b =+-⨯-=--+=---- ∴12
133
n n n b b n n +-=-⇒=
++ （Ⅱ）∵，∴2
2(12)(13)n n
n n n n a a c a a -=--11112(2)(3)
n n n n
a a a -=--
=
∴1211223
11111
12222323242
n n S c c c =++⋅⋅⋅+=-
+-+-⨯⨯⨯⨯⨯+…… =113
11.(1)2224
n
n -≥-=+⋅⨯ 22. 解：（Ⅰ）当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，
则错误！未找到引用源。

，令错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

.
易知错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上单调递减，又错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上单调递减，又因为错误！未找到引用源。

， 所以当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，从而错误！未找到引用源。

，这时错误！未找到引用源。

单调递增，
当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

，从而错误！未找到引用源。

，这时错误！未找到引用源。

单调递减.
所以错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上的增区间是 错误！未找到引用源。

减区间是错误！未找到引用源。

…… 4分
（Ⅱ）由题可知错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

.
根据题意方程错误！未找到引用源。

有两个不等实数根错误！未找到引用源。

且错误！未找到引用源。

，
令错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

由错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

，
得错误！未找到引用源。

.将错误！未找到引用源。

代入左式得：错误！未找到引用源。

，整理得错误！未找到引用源。

.
即不等式错误！未找到引用源。

对任意错误！未找到引用源。

恒成立. ……7分
①当错误！未找到引用源。

时，得错误！未找到引用源。

②当错误！未找到引用源。

时，即错误！未找到引用源。

令错误！未找到引用源。

，易知错误！未找到引用源。

是错误！未找到引用源。

上的减函数，
所以错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

③当错误！未找到引用源。

时，即错误！未找到引用源。

.
错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上也是减函数，错误！未找到引用源。

,所以错误！未找到引用源。

综上所述错误！未找到引用源。

…… 12分。