2017届高三数学4月等级考调研测试题(上海市黄浦区附答案)

2017届高三数学4月等级考调研测试题（上海市黄浦区附答案）
黄浦区2017年高考模拟考数学试卷 2017年4月（完卷时间：120分钟满分：150分）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[ 1．函数的定义域是． 2．若关于的方程组有无数多组解，则实数 _________． 3．若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则的最大值为． 4．已知复数， (其中i为虚数单位)，且是实数，则实数t等于． 5．若函数 (a>0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是． 6．设变量满足约束条件则目标函数的最小值为． 7. 已知圆和两点，若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是． 8. 已知向量，，如果∥ ，那么的值为． 9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是． 10．若将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是． 11．三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V 的取值范围是． 12．对于数列，若存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列是以为周期的周期数列．设，对任意正整数n都有若数列是以5为周期的周期数列，则的值可以是．(只要求填写满足条件的一个m值即可) 二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是（） A．y = sin(2x+ B．y = cos(2x+ C．y = sin(x+ D．y = cos(x+ 14．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（） A． B． C． D． 15．已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（） A． B． C． D． 16．如图所示，，圆与分别相切于点，，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在直棱柱中，，，分别是的中点．（1）求证：；（2）求与平面所成角的大小及点到平面的距离．
18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．在中，角的对边分别为，且成等差数列．（1）求角的大小；（2）若，，求的值．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．如果一条信息有n 种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为，则称（其中）为该条信息的信息熵．已知．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n位选手（分别记为）参加，若当时，选手获得冠军的概率为，求“谁获得冠军”的信息熵关于n的表达式．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设椭圆M: 的左顶点为、中心为，若椭圆M过点，且．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点，且，求证：直线恒过一个定点．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有．
高三数学参考答案与评分标准
一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分） 1. ； 2. ；
3. ；
4. ；
5. ；
6. ；
7. ；
8. ；
9. ； 10. ；
11. ； 12. （或，或）．二、选择题：（每题5分） 13.A 14.D 15.
C 16. B 三、解答题：（共76分） 17．解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、为y轴、为z轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知，故，.....................4分由，可知，即．.....................6分（2）设是平面的一个法向量，又，故由解得故．............9分设与平面所成角为，则，............12分所以与平面所成角为，点到平面的距离为．.....................14分 18．解：（1）由成等差数列，可得，.....................2分故，所以，.........4分又，所以，故，又由，可知，故，所以．.....................6分（另法：利用求解）（2）在△ABC中，由余弦定理得， (8)
分即，故，又，故，..................10分所以 (12)
分，
故． (14)
分 19．解：（1）由，可得，解之得 . …………………2分由32种情形等可能，故，……………………4分所以，答：“谁被选中”的信息熵为．……………………6分（2）获得冠军的概率为，……………8分当时，，又，故，……………………11分，以上两式相减，可得，故，答：“谁获得冠军”的信息熵为．……………………14分20．解：（1）由，可知，又点坐标为故，可得，……………………………2分因为椭圆M过点，故，可得，所以椭圆M的方程
为．.................................4分（2）AP的方程为，即，由于是椭圆M上的点，故可设，.................................6分所以 (8)
分当，即时，取最大值．故的最大值
为．.................................10分法二：由图形可知，若取得最大值，则椭圆在点处的切线必平行于，且在直线的下方．..............................6分设方程为，代入椭圆M方程可得，由，可得，又，故．..............................8分所以的最大值．.................................10分（3）直线方程为，代入，可得，，又故，，..................12分同理可得，，又且，可得且，所以，，，直线的方程为，..................14分令，可得．故直线过定点．..................16分（法二）若垂直于轴，则，此时与题设矛盾．若不垂直于轴，可设的方程为，将其代入，可得，可得，.........12分又，可得，..................14分故，可得或，又不过点，即，故．所以的方程为，故直线过定点．..................16分21．解：（1）对于函数，当时，，又，所以，故是“L函数”. ..................2分对于函数，当时，，故不是“L函数”. ..................4分（2）当时，由是“L函数”，可知，即对一切正数恒成立，又，可得对一切正数恒成立，所以．..................6分由，可得，故，又，故，由对一切正数恒成立，可得，即．..................9分综上可知，a的取值范围是．...........................10分（3）由函数为“L函数”，可知对于任意正数，都有，且，令，可知，即，...........................12分故对于正整数k与正数，都有，....................................14分对任意，可得，又，所以，.....................16分同理，故． (18)
分。