安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学(文)试题(解析版)

2019年安徽省“江南十校”综合素质检测
数学（文科）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，（为整数集），则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
确定集合包含的整数，根据交集定义得结果.
【详解】集合包含的整数有
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合基本运算中的交集，属于基础题.
2.复数满足，则（）
A. B. 3 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
将整理成的形式，求即可.
【详解】
本题正确选项：
【点睛】本题考查复数的基本运算，属于基础题.
3.已知命题：，，则为（）
A.
， B. ，
C.
， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
含量词命题的否定，更换量词，否定结论即可.
【详解】，
本题正确选项：
【点睛】本题考查简易逻辑中的全称量词和特称量词，属于基础题.
4.双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据渐近线方程得到关系，进一步求解出离心率.
【详解】双曲线渐近线斜率
本题正确选项：
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属于基础题.易错点在于忽略双曲线焦点的位置，导致渐近线斜率出错.
5.曲线在点处的切线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用原函数求出切点坐标；再利用导函数求出切线斜率，可得切线方程.
【详解】
，又
切线方程为：，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
6.某圆锥的正视图是腰长为2的等腰三角形，且母线与底面所成的角为，则其侧面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
母线与底面所成角即为圆锥正视图中腰与底所成角，由此可得底面半径，进而求得侧面积.
【详解】由题意得：母线与底面所成角即为正视图腰与底所成角
圆锥的母线长，且正视图为等腰三角形
底面圆半径
侧面积
本题正确选项：
【点睛】本题考查旋转体中的圆锥侧面积问题，属于基础题.
7.已知样本甲：，，，…，与样本乙：，，，…，，满足，则下列叙述中一定正确的是（）
A. 样本乙的极差等于样本甲的极差
B. 样本乙的众数大于样本甲的众数
C. 若某个为样本甲的中位数，则是样本乙的中位数
D. 若某个为样本甲的平均数，则是样本乙的平均数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数关系式，确定函数单调性，进而判断得到结果.
【详解】关于单调递增
为中位数，则也为中位数
本题正确选项：
【点睛】本题考查统计中数据变化特点，关键在于明确中位数是按照大小顺序排列后得到的，因此遵循单调关系.
8.已知函数，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
判断出的奇偶性与单调性，然后将不等式转化为，通过单调性变成自变量的比较，从而得到关于的不等式，求得最终结果.
【详解】
为奇函数
当时，，可知在上单调递增
在上也单调递增，即为上的增函数
，解得：或
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用函数单调性与奇偶性求解函数不等式的问题，解题关键在于将不等式转化为符合单调性定义的形式，利用单调性转变为自变量的比较.
9.已知函数的最小正周期为，则下列叙述中正确的是（）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
D. 函数在区间上的最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】
最小正周期为，可求得函数解析式；再依次将四个选项代入，与进行对比，得到正确结果.
【详解】由题意知：
选项：时，；不是的对称轴，则不是的对称轴.因此，错误；
选项：当时，，当时，单调递减；时，单调递增.因此，错误
选项：平移后得，是奇函数，关于原点对称.因此，正确选项：由可知，当时，取最大值，则.因此，错误
本题正确选项：
【点睛】本题考查的性质与值域，处理此类问题的关键是采用整体代入的方式，将范围代入函数，得到整体所处的范围，进而与图像相对应，确定最终结果.
10.如图所示，正方体中，点，，，，分别为棱，，，，的中点.则下列叙述中正确的是（）
A. 直线平面
B. 直线平面
C. 平面平面
D. 平面平面
【答案】B
【解析】
【分析】
将平面扩展，可作出过的正方体的截面，易证得平面.
【详解】过点的截面如图所示（分别为的中点）
，平面，平面
平面
本题正确选项：
【点睛】本题考察了直线与平面、平面与平面的平行的判定，关键在于能够准确地找到截面，从而判断出结果.
11.中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（）
A. B. C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换和三角形面积求解出的值；再根据的范围解出.
【详解】
或
又
本题正确选项：
【点睛】本题考查三角恒等变换和解三角形的知识，易错点是求解的取值时，忽略了这一条件，造成求解错误.
12.已知函数，若函数与函数的零点相同，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过零点相同可确定，得到，进而确定和的解析式；利用零点相同将问题转化成
无实根的问题，求解得到所求范围.
【详解】设为的零点，即
由与零点相同可知：
又，则
令，解得：，
当时，仅有一个零点，符合题意；
当时，
无实根
综上所述：
本题正确选项：
【点睛】本题考察了函数零点的问题，解题的关键是利用零点相同确定解析式，通过分析将问题转化为一元二次方程无实根的问题，利用判别式来求解.
二、填空题：本大题共4小题.
13.已知向量，，且，则_______．
【答案】-2或3
【解析】
【分析】
用坐标表示向量，然后根据垂直关系得到坐标运算关系，求出结果.
【详解】由题意得：
或
本题正确结果：或
【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.
14.设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为______．
【答案】-8
【解析】
【分析】
通过约束条件，画出可行域，将问题转化为直线在轴截距最大的问题，通过图像解决.
【详解】由题意可得可行域如下图所示：
令，则即为在轴截距的最大值
由图可知：
当过时，在轴截距最大
本题正确结果：
【点睛】本题考查线性规划中的型最值的求解问题，关键在于将所求最值转化为在轴截距的问题.
15.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心作半经为1的圆，为椭圆上一点，为圆上一点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义，将问题转化为求解的最值问题，通过三角形三边关系可知，可得最大值和最小值.
【详解】由椭圆方程可知：
由椭圆定义得：
又且
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用椭圆定义求解最值问题，关键在于能够通过定义将问题转化为三角形三边关系，确定当
三点共线的时候取得最值.
16.已知点，，在半径为2的球的球面上，且，，两两所成的角相等，则当三棱锥的体积最大时，平面截球所得的截面圆的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
易知三棱锥为正三棱锥，通过勾股定理用表示出直角三角形三边，再利用体积求出最大值时的
取值，最终确定截面圆半径.
【详解】由题意知：三棱锥为正三棱锥，如图所示：
为中点，平面，且为的重心
设，则
令
令，解得：
且时，单调递增；时，单调递减
时三棱锥体积最大，此时
平面截球所得的截面圆的面积
本题正确结果：
【点睛】本题考查空间几何体体积的最值类问题，最值类问题解题关键在于能够建立起关于某变量的函数关系式，通过函数求最值得方式得到所求关系.
三、解答题.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列中，，且，，1成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，数列的前项和为，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用等差中项求解出公比，利用求解出首项，从而得到通项公式；（2）得到的通项公式后，利用裂项相消求解.
【详解】（1），，成等差数列
且
数列是等比数列，且公比
由得：
（2）由（1）知，
【点睛】本题考查等比数列求通项以及利用裂项相消法求和，解题关键在于能够通过通项公式的形式进行裂项，从而可以前后相消，得到最终关系式.
18.斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，.
（1）证明：平面平面；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用等腰三角形三线合一和勾股定理分别证明和，得到平面，进而得到面面垂直；（2）利用三棱柱体积是三棱锥体积倍的关系，求解出三棱锥的体积，得所求体积为三棱锥
体积的倍.
【详解】（1），，
由余弦定理：
即或
故
取中点，连接，，如图所示：
是边长为的正三角形
，可得：，
由得到
又为中点，
且
又，平面
平面
平面平面
（2）由（1）
【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体体积的求解，解题关键在于求解几何体体积时，要注意灵活运用体积桥或者割补的思想来解决.
19.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一
．．．．，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司
2014-2018年的相关数据如下表所示：
年生产台数
（百万元）
注：
（1）从该公司2014-2018年的相关数据中任意选取3年的数据，求这3年中至少有2年生产部门考核优秀的概
率.
（2）利用上表中五年的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的回归直线方程是
①.现该公司计划从2019年开始转型，并决定2019年只生产该产品1万台，且预计2019年可获利32（百万元）；
但生产部门发现，若用预计的2019年的数据与2014-2018年中考核优秀年份
．．．．．．的数据重新建立回归方程，只有当重新估算的，的值（精确到0.01），相对于①中，的值的误差的绝对值都不超过时，2019年该产品返修率才可低于千分之一.若生产部门希望2019年考核优秀，能否同意2019年只生产该产品1万台？请说明理由.
（参考公式：，，，相对的误差为.）
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用古典概型，求解考核优秀的概率；（2）计算公式各个构成部分的数值，代入公式求解回归直线，之后按要求比较，看是否均不超过即可.
【详解】（1）在近五年的相关数据中任取年的取法有种
依条件知，年返修率不超过千分之一
．．．．的有，，三年的数据
任意选取年的数据，其中恰有年生产部门考核优秀的取法有种
故至少有年生产部门考核优秀的概率
（2），，，
（写也可）
，，不符合条件
故若生产部门希望年考核优秀，不能同意年只生产该产品万台
【点睛】本题考查概率部分的古典概型和线性回归问题，关键在于计算概率时能够准确找出符合题意的情况数量.
20.已知抛物线的准线方程为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点作斜率为的直线交抛物线于，两点，点，连接，与抛物线分别交于，两点，直线的斜率记为，问：是否存在实数，使得成立，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据标准方程与准线的关系，可直接求得；（2）假设存在，通过假设四点坐标，可以表示出和，然后利用韦达定理求解出.
【详解】（1）由准线方程可知：
（2）设，，，（互不相等）
则，同理
三点共线
即
同理
将抛物线与直线联立得：
由韦达定理：
【点睛】本题考查圆锥曲线中的定值类问题，处理定值类问题的关键是构造出含变量的已知中的等量关系，通过整理、消元，得到所求解的定值.
21.已知函数（为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
【答案】(1)见解析；(2) 的最大值为1.
【解析】
【分析】
（1）根据的不同范围，判断导函数的符号，从而得到的单调性；（2）方法一：构造新函数，
通过讨论的范围，判断单调性，从而确定结果；方法二：利用分离变量法，把问题变为，求解函数最小值得到结果.
【详解】（1）
当时，在上递增；
当时，令，解得：
在上递减，在上递增；
当时，在上递减
（2）由题意得：
即对于恒成立
方法一、令，则
当时，在上递增，且，符合题意；
当时，时，单调递增
则存在，使得，且在上递减，在上递增
由得：
又整数的最大值为
另一方面，时，，
，
时成立
方法二、原不等式等价于：恒成立
令
令，则
在上递增，又，
存在，使得
且在上递减，在上递增
又，
又，整数的最大值为
【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，以及导数当中的恒成立问题.处理恒成立问题一方面可以构造新函数，通过研究新函数的单调性，求解出范围；另一方面也可以采用分离变量的方式，得到参数与新函数的大小关系，最终确定结果.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）点为曲线上一点，若曲线上存在两点，，使得，求的取值范围.
【答案】(1) ：，：.(2)
【解析】
【分析】
（1）根据和直接化简求得结果；（2）过作圆切线，此时两切线夹角为临界状态，需大于等于才能出现的情况，利用角的正弦的范围求出的范围.
【详解】（1）由题意得：
（2）由（1），过作曲线的两条切线，切点分别记为
曲线上存在两点，使得
即，即
【点睛】本题考查极坐标与参数方程部分的知识，关键在于通过临界值将问题转移到直角三角形内的角的范围问题，构造不等式求解出最终结果.
23.[选修4-5：不等式选讲]
设函数.
（Ⅰ）当时，求函数的定义域；
（Ⅱ）若函数的定义域为，求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法讨论各个区间的解析式，得到取值范围；（2）利用恒成立思想，根据绝对值不等式的性质求得最值，得到的范围.
【详解】（1）当时，定义域基本要求为：
当时，
当时，，无解
当时，
综上：的定义域为
（2）由题意得：恒成立
【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，关键在于本题定义域为等价于恒成立，利用恒成立中的分离变量法求解.。