苏教版 高中数学必修第一册 对数的运算性质 课件2

规律与方法
1.在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式.
2.常用的公式有：logab·logba＝1，log
an
bm＝mlogab，logab＝ 1 等.
n
logba
练习 1．已知 2m＝5n＝10，则 1＋1＝
．
mn
1 [因为m＝log2 10，n＝log5 10，所以m1 ＋n1＝lg 2＋lg 5＝lg 10
9 3
log64
32
的值；(2)求值：（ (log3 2 log9 2)(log4 3 log8 3) 3.
【答案】：（1） 5 ；（2） 5
9
4
【解析】：（1）原式=
2 log 3 log 2
23 3
5 6
log 2
2
5 9
（2）原
式=
3 2
log3
2
5 6
log 2
3
5 4
变式
1．已知：
loga
＝1．]
2．若 a，b 是方程 2(lg x)2－lg x4＋1＝0 的两个实根，求 lg(ab)·(logab ＋logba)的值．
[解] 原方程可化为：2(lg x)2－4lg x＋1＝0． 设lg x＝t，即原方程为2t2－4t＋1＝0． 所以t1＋t2＝2，t1·t2＝12． 又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根， 则lg a＝t1，lg b＝t2，即lg a＋lg b＝2, lg a·lg b＝12． lg(ab)·(logab＋logba)
解 (1)lg 20＋log10025＝1＋lg 2＋ lg 25 ＝1＋lg 2＋lg 5＝2. lg 100
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52) ＝(log253＋log 22 52＋log 23 5)·(log 53 23＋log 52 22＋log52) ＝(3＋1＋13)log25·(1＋1＋1)log52＝133·3＝13.
[思考] 对数运算法则的适用条件是什么？ 提示 对数的运算法则的适用条件是“同底，且真数为正”，即 a>0，a≠1，M>0， N>0.若去掉此条件，法则不一定成立，如 log3－ －83≠log3(－8)－log3(－3).
对数的运算法则 【例1】 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1)lg(xyz)；(2)lgxzy2； (3)lgxyz3；(4)lgy2xz. 解 (1)lg(xyz)＝lg x＋lg y＋lg z. (2)lgxzy2＝lg(xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
(3)lgxyz3＝lg(xy3)－lg z＝lg x＋3lg y－12lg z. (4)lgy2xz＝lg x－lg(y2z)＝12lg x－2lg y－lg z.
规律方法 对数的运算法则是解决此类问题的关键，熟记运算法则，要注意底数 是相同的.
利用换底公式化简、求值
例
1.(1)求
log8 log2
4.2.2 对数的运算性质
1．符号表示 如果 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN ；
(2)logaMN＝logaM－logaN ； (3)logaMn＝ nlogaM(n∈R) ．
2．文字表述
(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和 ； (2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去 除数的对数； (3)一个正数的n次幂的对数等于 n倍 的该数的对数．
b
3
logb
a
13 2
(a
＞b＞1)
，求 a b4 的值 a2 b2
【答案】：1
【解析】： loga
b
3 log a
b
13 2
，得 loga
b
1 2
，得 b
1
a2
a
原式=
a a2 a2 a
1
例 2.计算： (1)lg 20＋log10025； (2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52).
＝(lg
a＋lg
lg b)·
பைடு நூலகம்
b2＋lg lg a·lg b
a2
＝(lg
a＋lg
lg b)·
a＋lg b2－2lg lg a·lg b
a·lg
b
＝2×22－12×12＝12， 2
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12．
3．换底公式
一般地，我们有logaN＝
logcN logca
，(其中a>0，a≠1，N>0，c>0，
c≠1)，这个公式称为对数的换底公式．
4．与换底公式有关的几个结论
(1)loga b·logb a＝ 1 (a，b>0 且 a，b≠1)； n
(2) logam bn mloga b (a，b>0 且 a，b≠1，m≠0)．