湘教版八年级上册数学精品教学课件 第5章 二次根式 第2课时 二次根式的除法

站在水平高度为 h 米的地方看到可见的水平距离为 d 米，
它们近似地符合公式 d 8 h .
问题1
5
某一登山者爬到海拔
100
米处，即
h
20 时，他
5
看到的水平线的距离 d1 是多少？
解：d1 8 20 16 5.
问题2 该登山者接着爬到海拔 200 米的山顶，即 h 40
5
时，此时他看到的水平线的距离 d2 是多少？ 解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔 100 米处登上海拔 200 米高的山顶， 那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
解：d2 16 10 .
d1 16 5
二次根式相除该 怎样算呢？
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4； 99
(2) 16 = 16； 特殊 25 25
100
(2) 75 ; 27
解: (1) 3
100
3 100
3. 10
(2) 75 27
52 3 32 3
52 5 . 32 3
还有其他 解法吗?
补充解法：
75 27
75 5 3 5 . 27 3 3 3
(3) 2 7 ; 9
(4)
81 25x2
x
0;
(5) 0.09 169 . 0.64 196
t1 2 50 10
答：是到落地所需时间 t1 的 2 倍. 10
例7 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远， 从而能接收到电视节目信号的区域就越广. 已知电视塔 高 h (km)与电视节目信号的传播半径 r (km)之间满足 r 2Rh (其中 R 是地球半径). 现有两座高分别为 h1 = 400 m， h2 = 450 m 的电视塔， 问它们的传播半径之比等于多少？
A．9
B．3
C．3 2 D．2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
能力提升：
6.自习课上，小张看见同桌小刘在练习本上写的题目是
“求二次根式 a 中实数 a 的取值范围”，她告诉小
a3
刘说：你把题目抄错了，不是“ a ”，而是“ a ”
a3
a3
典例精析 例1 化简下列二次根式．
(1)
7 ；
16
(2)
9 5
.
解： (1) 7 7 7 . 16 16 4
(2)
9 5
9 5
3 5
3 5
5 5
355.
从 3 变形到 3 5
5
5 5
是为了去掉分母中的
根号. 化简二次根式时，
最后结果一般要求分
母中不含有二次根式.
典例精析 例2 化简： (1) 3 ;
除式是分数或分式时，先 要转化为乘法再进行运算
( 3 ) 3 42； 56
(4)2 11 1 1. 2 26
解：( 3 )
3 42 56
3 5
42 6
3 5
7.
(4) 2 1 1 1 22
1 6
2
1 2
3 2
1 6
2 2 3 1 4 3 6 12.
26
2
归纳 类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分
商的算术平方根 → ↓（逆用）
b b (a 0,b≥0) aa
↓
b b (a 0,b≥0) → 计算与化简 → 最简二次根式 aa
八年级数学上（XJ） 教学课件
第5章 二次根式
5.2 二次根式的乘法和除法
第2课时 二次根式的除法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1. 理解二次根式的除法则及商的算术平方根的性质. 掌握最简二次根式的特点.（重点） 2. 合理简洁地进行二次根式的除法运算.（难点）
导入新课
情景引入
x2 x2
A. x≠2 B. x≥0
C. x＞2
D. x≥2
2.化简：(1)
5； 64
(2) 1 7 ；
25
解：(1) 5 5 5 .
64 64 8(3)Biblioteka 1.25 .(2) 1 7
32
32
42 2 4
2.
25 25 25
25 5
(3) 1.25 5 5 5 .
4 42
我们知道，把积的算术平方根的性质反过来 就得到二次根式的乘法法则.
数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
二 二次根式除法的应用 例5 设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b. 已知 S 2 3，b 10 ，求 a 的值.
解：∵ S = ab，
∴a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
例6 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”.
小刘说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正 a
和 a - 3 都在根号内．试问：小刘说得对吗？ 解：小刘说得不对，结果不一样．理由如下：
按 a 计算，则 a≥0，a - 3＞0 或 a≤0，a - 3＜0,
a3
解得 a＞3 或 a≤0；
而按
a a3
计算，则
a≥0，a
-
3＞0，解得
a＞3．
课堂小结
法则一样，a， b 都为非负数.
= 0 则等式两边的
二次根式就没有意
义啦！
归纳总结 二次根式的除法法则: a a (a≥0，b 0).
bb
文字叙述：
被开方数商的算术平方根等于算术平方根的商.
当二次根式根号外的因数(式)不为 1 时，可 类比单项式除以单项式法则，易得
m a m a (a≥0，b 0，n 0). nb n b
解：(1) 15 3
15 3
5.
( 2 ) 3 42 56
3 5
42 6
3 5
7.
(3)
14 6
14 6
7 3
73 3 3
321.
典例精析 例4 计算：(1) 24 ； (2) 3 1；
3
28
解：(1) 24 24 8 2 2.
33
(2) 3 1 3 1 3 8 12 2 3. 2 8 28 2
一般 a a bb
(3) 36 36 .
49 49
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根
式乘法的运算法则，你能说出 a 的结果吗？
b
议一议 问题 在前面发现的规律 a a 中，a，b 的取值
bb
范围有没有限制呢？
a，b 同号
不对，同乘法
你们都错啦，应该 是a≥0，b＞0. 若 b
就可以啦！
解：设两座电视塔的传播半径分别为 r1，r2
因为 r 2Rh ，400 m 0.4 km，450 m 0.45 km，
所以 r1 2Rh1 h1 0.4 40 2 10 2 2 . r2 2Rh2 h2 0.45 45 3 5 3
当堂练习
1.化简 18 2 的结果是（ B ）
解：(3) 2 7＝ 25＝ 25 ＝5 . 9 9 93
81
92 9
(4) 25x2 5x2 = 5x .
先运用商的算术 平方根的性质， 再运用积的平方 根性质
0.09169 0.32 132 0.313 39
(5)
.
0.64196 0.82 142 0.814 112
练一练
1.能使等式 x x 成立的 x 的取值范围是（ C ）
据报道：一个 30 g 的鸡蛋从 18 楼抛下来就可以砸破
行人的头骨，从 25 楼抛下可以使人当场死亡．据研究
从高空抛物时间 t 和高度 h 近似的满足公式 t 2h . 从
10
100 米高空抛物到落地所需时间 t2 是从 50 米高空抛物
到落地所需时间 t1 的多少倍？
2 100
解：由题意得 t2 10 20 2.
类似的，把二次根式的商的算术平方根的性质 反过来，就得到二次根式的除法法则:
a a (a ≥ 0，b 0). bb
语言表述：积中各因式的算术平方根的商，等 于商的算术平方根.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
例3 计算： ( 1 ) 15 3；
( 2 ) 3 42 ； 56
( 3 ) 14. 6