运筹学课件 灵敏度分析与参数规划

2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-7
灵敏度分析的任务
线性规划的灵敏度分析要解决两个问题：
一个或几个系数或要素变化后，当前的
最优解或最优基是否有变。
这些系数在什么范围内变动时，当前的
最优解或最优基不变。 另外，一旦当前解受影响就要运用适当 方法对其进行调整，以便得到新的最优解。
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-8
分析结果的处理方法
针对上述五种不同的分析结果，可按下列相 应的调整方法进行处理。 分析结果 处理方法
最优解不变
最优基不变 变为可行解 变为正则解 变为普通解
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划
计算 CN - CBB-1N
计算 XB(*) = B-1b 原始解法求最优解 对偶解法求最优解 混合解法求最优解
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-3
生产计划问题
cj CB XB
0 0 0 -1 0 0 3 -1 2 0 3 -1 2 0 3 -1
b
2 3 x1 x2
0 x3
0 x4
0 x5
0 0 1 0 -1/2 0 1/4 -3/4 -1/2 [2] 1/4 1/4 0 1 0 0
θ
x3 8 x4 16 x5 12 z 0 x3 2 x4 16 x2 3 z -9 x1 2 x4 8 x2 3 z -13 x1 4 x5 4 x2 2 z -14
5-14
2013-4-7
灵敏度分析与参数规划
2. 基变量系数 cr 的变化分析
当基变量 xr 的系数 cr (CB)变化 cr 时，就会引起 CB 的变化，从而影响到各非基变量 xj 对应的j 。 设 CB=( 0, …, cr , …,0 )，若要求原最优解不变，则 新的检验数必须满足 j' = cj - (CB +CB )B-1Pj = cj - CBB-1Pj - CB B-1Pj =j - [(0, …,cr , …,0)(b1j, …, brj, …, bmj)T] =j - cr brj ≤0 于是得到 cr ≤j／brj , brj < 0 j=1 , 2 , …, n cr ≥j／brj , brj > 0 cr的变化范围为是 max { j /brj | brj > 0 }≤ cr ≤ min { j /brj | brj < 0 }
灵敏度分析的意义
在生产计划问题的一般形式中，A 代表企业的技术状 况，b 代表企业的资源状况，而 C 代表企业产品的市场状 况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大 利润由线性规划的最优解和最优值决定。 在实际生产过程中，上述三类因素均是在不断变化的， 如果按照初始的状况制订了最佳的生产计划，而在计划实 施前或实施中上述状况发生了改变，则决策者所关心的是 目前所执行的计划还是不是最优，如果不是应该如何修订 原来的最优计划。更进一步，为了防止在各类状况发生时， 来不及随时对其变化作出反应，即所谓“计划不如变化 快”，企业应当预先了解，当各项因素变化时，应当作出 什么样的反应。
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-12
1. 非基变量系数 cs 的变化分析
若 cs 是非基变量 xs 的系数，这时它在计算表 中所对应的检验数是 s = cs - CBB-1Ps 当 cs增加 cs后，要保证这个检验数仍小于或等于 零，即 s' = (cs+cs ) - CBB-1Ps ≤0 那么(cs+cs)≤CBB-1Ps，即cs≤-(cs-CBB-1Ps)=-s。 综上所述，可以得出结论： 若 cs≤-s ，则s'≤0，当前解仍是最优解； 若 cs > -s ，则s‘ > 0，当前解只是可行解。
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-17
资源数量变化范围确定的算例
cj
CB 0 0 0 -1 2 0 3 -1 XB b x3 8 x4 16 x5 12 z 0 x1 4 x5 4 x2 2 z -14 2 x1 1 4 0 2 1 0 0 0 3 0 0 0 x5 0 0 1 0 0 1 0 0 x2 x3 x4 2 1 0 0 0 1 [4] 0 0 3 0 0 0 0 1/4 0 -2 1/2 1 1/2 -1/8 0 -3/2 -1/8
5-11
2 x1 1 4 0 2 1 0 0 0
3
0
0
0 x5 0 0 1 0 0 1 0 0
x1, x2 , … , x5≥0 其中， x1, x2 分别为产品 P1, P2的产量， x3 , x4 , x5 分别 为原料M1, M2 , M3的非生产 用量。
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划
例如求例 5.1中第一个 约束条件 b1的增量 b1 的 取值范围时，按可行性条 件确定如右。由此可得 b1≤ -( 4/-2 ) = 2 b1≥ -( 2/0.5)= -4 所以，b1 的取值范围是 [-4 , 2]；相应地，b1 的变 化范围是 [4 ,10]。若取 b1=2 B-1(b+b)= ( 4, 0, 3 )T z* = 17。
1 2 1 0 4 0 0 1 0 [4] 0 0 2 3 0 0 [1] 0 1 0 4 0 0 1 0 1 0 0 2 0 0 0 1 0 1 0 0 0 -4 1 0 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 1/4 0 0 -2 1/2 0 1 1/2 -1/8 0 0 -3/2 -1/8
4 3 σj 2 4 σj 4 12 σj
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-13
非基变量系数cs变化的分析算例
cj CB XB
2 0 3 -1 2
3
0
0
0
b
x1
1 0 0 0 2
x2
0 0 1 0
3
x3
x4
x5
0 1 0 0 0
x1 4 x5 4 x2 2 z -14
0 1/4 -2 1/2 1/2 -1/8 -3/2 -1/8 2 -1/8
灵敏度分析与参数规划
5-6
灵敏度分析的基础与依据
灵敏度分析是在线性规划问题求解后进 行的，因此必有一个最优基 B及其最优解作 为分析的基础。所以灵敏度分析就是检验一 下要素改变后，当前解是否仍然满足下述两 个条件：
( i ) 可行性条件 B-1b ≥ 0
(ii ) 最优性条件 CN - CBB-1N ≤ 0
由上述讨论可知，生产计 划问题中变量 x3 和 x4 的系数 c3 和c4 分别不大于1.5和0.125 时，问题的最优解不变。 经营问题：假若生产计划 问题中，原料 M1 既可用于生 产又可按单位利润为2 的价格 直接出售，原料 M2的单位储 存费用为0.125，那么问题的 目标函数变为 z =2x1+3x2+2x3 - 0.125 x4 问题的最优解也随之改变。
x5
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
x1 4 1 x5 4 0 x2 2 0 z -14 0 x1 4 1 x5 4 0 x2 2 0 z -14 0 x1 4 1 x5 4 0 3+c2 x2 2 0 z -14 0
0 0 1 0
1/4 1/2 -1/8 -1/8 1/4 1/2 -1/8 -1/8 1/4 1/2 -1/8 -1.5- c2/8 c2/2 -1/8
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-15
基变量系数cr变化的分析算例
cj CB XB b
2 0 3 -1 2 0 3 -1 2 0 -1
2013-4-7
2 3+c2
0
0
0
x1
x2
0 0 1 0 0 0 1
c2
x3
0 -2 1/2 -3/2 0 -2 1/2 -3/2 0 -2 1/2
x4
max z=2x1+3x2 s.t. x1+2x2 ≤8 4x1 ≤16 4x2 ≤12 x1 , x2 ≥0 max z =2x1+3x2 s.t. x1+ 2x2 +x3 =8 4x1 +x4 = 16 4x2 +x5 = 12 x1, x2 , … , x5≥0
5-4
σ
j
2013-4-7
灵敏度分析与参数规划
x2 x3 x4 2 1 0 0 0 1 [4] 0 0 3 0 0 0 0 1/4 0 -2 1/2 1 1/2 -1/8 0 -3/2 -1/8
5.1.1 价值系数 cj 的变化分析
价值系数变化是指目标函数系数 cs 发生 变化，即 cj'= cj+ cj。 价值系数 cj 变化时，会使求解问题的 最终表里的相关检验数改变，解的性质也可 能因此改变。下面分别就 cj 是非基变量还是 基变量的系数两种情况来讨论。
cj CB XB
2 0 3 -1 2 0
2
b
x1
1 0 0 0 1 0 0 0
x2
x3
x4
x5
0 1 0 0 0 1 0 0
-1
x1 4 xΒιβλιοθήκη 4 x2 2 z -14 x1 4 x5 12 x3 4 z -16
0 0 1/4 0 -2 1/2 1 [1/2] -1/8 0 1/2 -1/4 0 0 1/4 4 0 0 2 1 -1/4 0 -1/8 -1
灵敏度分析的结果
通过灵敏度分析可以发现，系数或要素 变化后会对线性规划问题产生下列程度不同 的影响：
当前最优解不变；
当前最优基不变； 当前最优解变为可行解(可行性不变)； 当前最优解变为正则解(最优性不变)； 当前最优解变为非可行非正则解。
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-9
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-5
灵敏度分析的内容
本节将分析下列模型要素变化所产生的影响：

模型数据发生变化
目标函数系数(价值系数) cj
右端常数(限定系数）bi
组成系数(工艺系数) aij

模型规模参数发生变化
阶数m，即约束条件有增减 维数n，即决策变量有增减
2013-4-7
5-16
灵敏度分析与参数规划
5.1.2 资源数量变化的分析
资源数量 br 发生变化时，即 br'= br +br，最 终表的解相应变为 XB'=B-1(b+b) 这里 b =( 0, …, br , …,0 )。若XB‘ ≥0 ，因为 检验数不会随 b 变化，则最优基不变，只是最优 解在中基变量的值变为XB’。要保持最优基不变， br的取值范围可按下述可行性条件确定。 B-1(b+b) ≥ 0 由此可得 max { -bi0/bir | bir> 0 }≤cr≤ min { -bi0/bir | bir< 0 }
5 灵敏度分析与参数规划
灵敏度分析
z
参数规划
o x1 x2
2013-4-7
灵敏度分析与参数规划
5-1
概
述
在定义线性规划问题的数学模型时，假定 aij ， bi , cj 都是常数，但实际上这些数据往往是估计值和预测值。 如市场条件一变，cj 值就会变化；aij 往往因为工艺条件 的改变而改变；bi 是根据资源投入后的经济效果决定的 一种决策选择。 对数据资料可能的波动作进一步的研究和分析一般
称之为灵敏度分析(sensitivity analysis)。
当有关数据的变化被看作是某个参数的函数时，这 样的分析就是参数分析(parametric analysis)。
2013-4-7 灵敏度分析与参数规划 5-2
5.1 灵敏度分析
线性规划灵敏度分析的方法与一般经济计量 模型采用的方法有所不同，它的特点是在建立数 学模型和求得最优解之后，再考察解对数据变化 的敏感程度。因此这种分析方法又称为优化后分 析(postoptimal analysis)。 线性规划问题中涉及的数据很多，决策者既 希望知道个别数据变化的影响、还希望了解若干 数据同时发生变化所产生的后果。本节仅讨论前 一种情形。
试以表5.1为例，当基 变量 x2 的系数 c2 变化 c2 时，在原最优解不变的条 件下确定其变化范围。 从右表可见，若 3’=-1.5 -c2 /2 ≤0 4’=c2 /8 -1/8 ≤0 则有 c2≥-3 和 c2≤1。 由此可得c2的变化范围为： -3 ≤ c2≤1 即 x2 的系数 c2 可以在 [0,4] 之间变化而原最优解不变。
5-10
灵敏度分析的算例
例5.1 生产计划问题
max z =2x1+3x2
s.t. x1+ 2x2 +x3 4x1 =8 +x4 = 16
问题的初始表和求解后 的最终表如下。以此为例作 有关的灵敏度分析。
表 5.1 初始表和最终表
4x2
+x5 = 12
cj
CB 0 0 0 -1 2 0 3 -1 XB b x3 8 x4 16 x5 12 z 0 x1 4 x5 4 x2 2 z -14