2018年高考数学理二轮复习 讲学案：考前数学思想领航

高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果．
一、函数与方程思想
方法一点坐标代入函数(方程)法
模型解法
点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解参数的方法．此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题．破解此类题的关键点：
①点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式．
②解含参方程，求解关于参数的方程或不等式．
③检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验．
典例1 函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a )，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2或12 D.1
2
解析 因为函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)的反函数为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，且y ＝log a x 的图象过点(a ，a )，
所以a ＝log a a ，所以a a
＝a ，
所以a ＝12，检验易知当a ＝1
2时，函数有意义．故选D.
答案 D
思维升华 应用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义．
跟踪演练1 函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，3
a )，则a 的值为_____． 答案 1
3
解析 因为函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数y ＝a x
(a >0，且a ≠1)的图象过点(a ，3
a )，所以3
a ＝a a
，
即1
3
a ＝a a
，所以a ＝13.经检验知a ＝13符合要求．
方法二 平面向量问题的函数(方程)法 模型解法
平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：
①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)．
②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题． ③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．
典例2 已知a ，b ，c 为平面上的三个向量，又a ，b 是两个相互垂直的单位向量，向量c 满足|c |＝3，c·a ＝2，c·b ＝1，则对于任意实数x ，y ，|c －x a －y b |的最小值为______． 解析 由题意可知|a |＝|b |＝1，
a·b ＝0，又|c |＝3，c·a ＝2，c·b ＝1，
所以|c －x a －y b |2
＝|c |2
＋x 2
|a |2
＋y 2
|b |2
－2x c·a －2y c·b ＋2xy a·b
＝9＋x 2＋y 2－4x －2y ＝(x －2)2＋(y －1)2
＋4， 当且仅当x ＝2，y ＝1时，|c －x a －y b |2
min ＝4， 所以|c －x a －y b |的最小值为2. 答案 2
思维升华 平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．
跟踪演练2 已知e 1，e 2是平面上两相互垂直的单位向量，若平面向量b 满足|b |＝2，b·e 1＝1，b·e 2＝1，则对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|的最小值为________． 答案
2
解析 |b －(x e 1＋y e 2)|2
＝b 2
＋x 2e 2
1＋y 2e 2
2－2x b·e 1－2y b·e 2＋2xy e 1·e 2＝22
＋x 2
＋y 2
－2x －2y
＝(x －1)2
＋(y －1)2
＋2≥2，
当且仅当x ＝1，y ＝1时，|b －(x e 1＋y e 2)|2
取得最小值， 此时|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值 2. 方法三 不等式恰成立问题函数(方程)法 模型解法
含参不等式恰成立问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恰成立问题转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程的方法．破解此类题的关键点：
①灵活转化，即“关于x 的不等式f (x )<g (a )在区间D 上恰成立”转化为“函数y ＝f (x )在
D 上的值域是(－∞，g (a ))”；“不等式f (x )>g (a )在区间D 上恰成立”转化为“函数y ＝f (x )
在D 上的值域是(g (a )，＋∞)”．
②求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域． ③得出结论，列出参数a 所满足的方程，通过解方程，求出a 的值．
典例3 关于x 的不等式e x
－x 2
2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上恰成立，则a 的取值集合为
________．
解析 关于x 的不等式e x
－x 2
2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －94x ≥0在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上恰成立⇔函数g (x )＝e x
－12x 2－1
x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a －94，＋∞. 因为g ′(x )＝e x
(x －1)－12
x 2＋1
x
2
，
令φ(x )＝e x
(x －1)－12x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，
则φ′(x )＝x (e x
－1)． 因为x ≥1
2
，所以φ′(x )>0，
故φ(x )在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上单调递增， 所以φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝7
8－e 2
>0.
因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞上单调递增， 则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝e 1
2
－1
8－1
12＝2e －94， 所以a －94＝2e －9
4，解得a ＝2e ，
所以a 的取值集合为{2e}． 答案 {2e}
思维升华 求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题．
跟踪演练3 关于x 的不等式x ＋4x
－1－a 2
＋2a >0在(2，＋∞)上恰成立，则a 的取值集合为
__________． 答案 {－1,3}
解析 关于x 的不等式x ＋4x －1－a 2
＋2a >0在(2，＋∞)上恰成立⇔函数f (x )＝x ＋4x
在(2，
＋∞)上的值域为(a 2
－2a ＋1，＋∞)． 由f (x )＝x ＋4
x
，x ∈(2，＋∞)，
可得f ′(x )＝1－4
x 2＝x 2－4
x
2>0，
所以f (x )＝x ＋4
x
在(2，＋∞)上为单调递增函数，
所以f (x )>f (2)＝4.
又关于x 的不等式x ＋4x
>a 2－2a ＋1在(2，＋∞)上恰成立，所以a 2
－2a ＋1＝4，解得a ＝－1
或a＝3.
方法四 解析几何问题的函数(方程)法 模型解法
解析几何问题的函数(方程)法是解决解析几何问题中比较常见的一种方法，通过函数(方程)法把解析几何问题代数化，利用函数或方程进行求解，其关键是根据题意，构造恰当的函数或建立相应的方程解决问题．破解此类题的关键点：
①代数化，把直线、圆、圆锥曲线以及直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系等转化为代数问题，构造函数解析式或方程．
②函数(方程)应用，利用函数的相关性质或方程思想来求解含有参数的解析几何问题． ③得出结论，结合解析几何中的限制条件和函数(方程)的结论得出最终结论．
典例4 已知直线l 过定点S (4,0)，与x 24＋y 2
3＝1(x ≠±2)交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的
对称点为P ′，连接P ′Q 交x 轴于点T ，当△PQT 的面积最大时，直线l 的方程为_____． 解析 设直线l 的方程为x ＝ky ＋4(k ≠0)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ky ＋4，x 24＋y
2
3
＝1，
消去x 得(3k 2
＋4)y 2
＋24ky ＋36＝0，
Δ＝576k 2
－4×36(3k 2
＋4)＝144(k 2
－4)>0，即k 2
>4. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ′(x 1，－y 1)． 由根与系数的关系，得
⎩⎪⎨⎪⎧
y 1＋y 2＝－
24k
3k 2
＋4
， ①y 1y 2
＝363k 2
＋4，②
直线P ′Q 的方程为y ＝y 2＋y 1
x 2－x 1
(x －x 1)－y 1， 令y ＝0，得x ＝
x 1y 2＋x 2y 1
y 1＋y 2
＝(ky 1＋4)y 2＋y 1(ky 2＋4)y 1＋y 2
＝2ky 1y 2＋4(y 1＋y 2)y 1＋y 2，
将①②代入上式得x ＝1， 即T (1,0)，所以|ST |＝3， 所以S △PQT ＝|S △STQ －S △STP |
＝12|ST ||y 1－y 2|＝32(y 1＋y 2)2
－4y 1y 2 ＝32
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－24
k 3k 2＋42－4×363k 2＋4 ＝18k 2
－43k 2
＋4＝18k 2
－4
3(k 2－4)＋16 ＝
18
3k 2
－4＋
16
k 2－4
≤33
4
，
当且仅当k 2
＝283，即k ＝±2213时取等号．
故所求直线l 的方程为x ＝
2213y ＋4或x ＝－221
3
y ＋4. 答案 x ＝2213y ＋4或x ＝－221
3
y ＋4
思维升华 直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题． 跟踪演练4 椭圆C 1：x 29＋y 2
4＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2
(r >0)，若两条曲线没有公共点，
则r 的取值范围是______________． 答案 (0,1)∪⎝
⎛⎭
⎪⎫
3305，＋∞ 解析 方法一 联立C 1和C 2的方程，消去x ， 得到关于y 的方程－54y 2＋2y ＋10－r 2
＝0， ①
方程①可变形为r 2
＝－54y 2＋2y ＋10，
把r 2
＝－54y 2＋2y ＋10看作关于y 的函数．
由椭圆C 1可知，－2≤y ≤2，
因此，求使圆C 2与椭圆C 1有公共点的r 的集合，等价于在定义域为y ∈[－2,2]的情况下，求函数r 2
＝f (y )＝－54
y 2＋2y ＋10的值域．
由f (－2)＝1，f (2)＝9，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝54
5
，
可得f (y )的值域是r 2
∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，545，即r ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1，3305，
它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪⎝
⎛⎭
⎪⎫
3305，＋∞. 方法二 联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－54
y 2＋2y ＋10－r 2
＝0.①
两条曲线没有公共点，等价于方程－54
y 2＋2y ＋10－r 2
＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，
y 2∉[－2,2]．
若没有实数根，则Δ＝4－4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－54×(10－r 2
)<0，
解得r >3305或r <－3305⎝ ⎛⎭
⎪⎫由于r >0，则r <－3305舍去.
若两个根y 1，y 2∉[－2,2]，设φ(y )＝－54y 2＋2y ＋10－r 2
，其图象的对称轴方程为y ＝45∈[－
2,2]．
则⎩⎪⎨⎪⎧
φ(2)＝9－r 2
>0，
φ(－2)＝1－r 2
>0，
又r >0，解得0<r <1.
因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3305，＋∞.。