山东省菏泽市2021届新高考数学第三次押题试卷含解析

山东省菏泽市2021届新高考数学第三次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．
7
3
斤 B ．
72
斤 C ．
52
斤 D ．3斤
【答案】B 【解析】 【分析】
依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】
设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差
5124151512a a d --=
==---，217
2
a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）
A ．12P P <
B ．12P P >
C ．12P P =
D ．大小关系不能确定
【答案】B 【解析】 【分析】
先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【详解】
根据题意，阴影部分的面积的一半为：
(
)40
cos sin 1x x dx π
-=
⎰，
于是此点取自阴影部分的概率为)
()11
4141.41122 3.22
P ππ-=⨯=>=． 又211
12
P P =-<，故12P P >． 故选B ． 【点睛】
本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 3．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（ ）
A ．5
B ．
52
C ．52
-
D ．-5
【答案】C 【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
由（1+i ）z ＝
|3+4i|5==， 得z ()()()5155511122
i i i i i -=
==-++-， ∴z 的虚部为52
-． 故选C ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
4．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线22221
2
x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近
线方程为（ ） A
．y x = B
．y =
C
．2
y x =± D
．y =
【答案】A 【解析】
由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】
依题意椭圆2
2
221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线2
2
221
(a 0,b 0)2
x y a b -=>>即22
221(a 0,b 022
)x y a b -=>>的焦
点相同，可得：22
22
1122
a b a b -=
+， 即22
3a b =，∴33
b a =，可得
3232
a =, 双曲线的渐近线方程为：22
33x y x
a ±
=±=, 故选：A ． 【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）
A ．321
B ．322
C ．251
D ．252
【答案】C 【解析】 【分析】
把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．
如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面
EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂
平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =I 可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈． 正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴22111DQ D Q DD =-=，∴Q 在以D 为圆心1
为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上， 显然M 关于直线AC 的对称点为E ，
22421251PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-=+-=-，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为251-． 故选：C ． 【点睛】
本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．
6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D 【解析】 【分析】
根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假． 【详解】
在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的；
在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的； 在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：
13.7%39.6%9.52%3%⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；
在D 中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%⨯=<，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多． 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．已知幂函数()f x x α
=的图象过点(3,5)，且1a e α
⎛⎫= ⎪⎝⎭
，b =1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小
关系为（ ） A ．c a b << B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．c b a <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意求得参数α，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【详解】
依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，
故3log 5
101e a ⎛⎫<=< ⎪
⎝⎭
，1b =>，3log 5
1
log 04
c =<， 则c a b <<.
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.
8．函数
3
2
22
x x
x
y
-
=
+
在[]
6,6
-的图像大致为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)
f的近似值即可得出结果．【详解】
设
3
2
()
22
x x
x
y f x
-
==
+
，则
33
2()2
()()
2222
x x x x
x x
f x f x
--
-
-==-=-
++
，所以()
f x是奇函数，图象关于原点
成中心对称，排除选项C．又
3
44
24
(4)0,
22
f
-
⨯
=>
+
排除选项D；
3
66
26
(6)7
22
f
-
⨯
=≈
+
，排除选项A，故
选B．
【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
9．在平行四边形ABCD中，
11
3,2,,D,
32
AB AD AP AB AQ A
====
u u u v u u u v u u u v u u u v
若CP C12,
Q
⋅=
u u u v u u u v
则ADC
∠=( )
A．5
6
π
B．
3
4
π
C．
2
3
π
D．
2
π
【答案】C
由23CP CB BP AD AB =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,利用平面向量的数量积运算,先求得
,3
BAD π
∠=
利用平行四边形的性质可得结果.
【详解】
如图所示,
平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,
11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r
，
23
CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，
12
CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,
因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r
,
所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22214323
AB AD AB AD =++⋅u u u
r u u u r u u u r u u u r
22214
3232cos 12323
BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1
cos 2BAD ∠=
，,3
BAD π∴∠= 所以23
3
ADC π
π
π∠=-=
，故选C. 【点睛】
本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）. 10．已知复数31i
z i
-=-，则z 的虚部为（ ） A ．i - B ．i
C ．1-
D ．1
【答案】C 【解析】
先将31i
z i
-=
-，化简转化为2z i =+，再得到2z i =-下结论. 【详解】 已知复数()()()()
3132111i i i z i i i i -+-=
==+--+， 所以2z i =-， 所以z 的虚部为-1. 故选：C 【点睛】
本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ）
A ．66f sin f
cos ππ⎛
⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭＞
B ．f （sin3）＜f （cos3）
C ．443
3f sin f cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪⎝
⎭
⎝
⎭
＜ D ．f （2020）＞f （2019）
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的周期性以及x ∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f （x ）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可. 【详解】
由f （x+2）＝f （x ），得f （x ）是周期函数且周期为2，
先作出f （x ）在x ∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移， 并结合f （x ）是偶函数作出f （x ）在R 上的图象如下，
选项A ，130sin
cos 16
226
π
π
<=
<=<， 所以66f sin f cos ππ⎛⎫⎛
⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，选项A 错误；
选项B ，因为
334ππ＜＜，所以2
0331sin cos -＜＜＜，
所以f （sin3）＜f （﹣cos3），即f （sin3）＜f （cos3），选项B 正确； 选项C ，434144sin
,,1033233
cos sin cos ππππ
=-=->->->， 所以4433f sin f cos ππ⎛
⎫⎛⎫->-
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，即4433f sin f cos ππ⎛
⎫⎛
⎫>
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，
选项C 错误；
选项D ，(2020)(0)(1)(2019)f f f f =<=，选项D 错误. 故选：B. 【点睛】
本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.
12．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则
10a =（ ）
A ．19
B ．20
C ．21
D ．22
【答案】A 【解析】
试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++
2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或11
2
d =-
（舍），故选A.
考点：等差数列及其性质.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加淮南文明城市创建志愿服务活动，服务活动共有“走进社区”、“环境监测”、“爱心义演”、“交通宣传”等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报走进社区项目”，则()|P A B 的值为______. 【答案】
29
【解析】 【分析】
根据条件概率的求法，分别求得()(),P B P AB ，再代入条件概率公式求解. 【详解】
根据题意得()()333443276
,42564256
A P
B P AB ====
所以()()()2
|9
P AB P A B P B =
=
故答案为：29
【点睛】
本题主要考查条件概率的求法，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
14．若5
2ax x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为240，则实数a 的值为________. 【答案】－3 【解析】 【分析】
依题意可得二项式展开式的常数项为3
32315
2C T ax x x +⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭
即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：∵二项式52ax x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为3
323152C 80240T ax x a x +⎛⎫=⋅-=-= ⎪⎝⎭
， ∴解得3a =-. 故答案为：3- 【点睛】
本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.
15．直线l 是圆1C ：22(1)1x y ++=与圆2C ：22
(4)4x y ++=的公切线，并且l 分别与x 轴正半轴，y 轴
正半轴相交于A ，B 两点，则AOB ∆的面积为_________
【解析】 【分析】
根据题意画出图形，设,OA a OB b ==，利用三角形相似求得,a b 的值，代入三角形的面积公式，即可求解. 【详解】
如图所示，设,OA a OB b ==， 由2ABC ∆与2ADC ∆相似，可得
11
42
a a +=+，解得2a =，
再由AOB ∆与2AEC ∆相似，可得1b =，解得2b =，
由三角形的面积公式，可得AOB ∆的面积为1122
22
222
S ab =
=⨯⨯=
. 故答案为：
2
2
.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及三角形相似的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
16．已知公差大于零的等差数列{}n a 中，2a 、6a 、12a 依次成等比数列，则12
2
a a 的值是__________． 【答案】94
【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与2a 的关系，然后转化求解12
2
a a 的值.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d >，
由于2a 、6a 、12a 依次成等比数列，则2
6212a a a =，即()()2
222410a d a a d +=+，
0d >Q ，解得28a d =，因此，
122221018984
a a d d a a d +===. 故答案为：9
4
. 【点睛】
本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．若函数()()x
x
f x e ae
mx m R -=--∈为奇函数，且0x x =时()f x 有极小值0()f x .
（1）求实数a 的值与实数m 的取值范围；
（2）若()02
f x e
≥-
恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =， ()2,+∞；（2）12,e e ⎛⎤+ ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】
（1）由奇函数可知()()0f x f x +-= 在定义域上恒成立，由此建立方程，即可求出实数a 的值；对函
数进行求导，()'()x x
g x f x e e m -==+-，通过导数求出()min (0)2g x g m ==-，若20m -≥，则
()0g x ≥恒成立不符合题意，当20m -<，可证明，此时0x x =时()f x 有极小值0()f x .
（2）可知00x x e e m -+=，进而得到()()()00
00011x
x f x x e x e
-=--+，令()()()11x
x
h x x e x e
-=--+，
通过导数可知()h x 在[)0,+∞上为单调减函数，由2
(1)h e
=-可得01x ≤，从而可求实数m 的取值范围. 【详解】
（1）由函数()f x 为奇函数，得()()0f x f x +-=在定义域上恒成立， 所以0x x x x e ae mx e ae mx ----+-+=，化简可得()(
)10x
x
a e e
--⋅+=，所以1a =.
则()x x
f x e e
mx -=--，令()'()x x
g x f x e e m -==+-，则21
'()x x
x
x
e g e e
e x ---==. 故当0x ≥时，'()0g x ≥；当0x <时，)'(0g x <，
故()g x 在(),0-∞上递减，在()0,∞+上递增，()min (0)2g x g m ∴==- 若20m -≥，则()0g x ≥恒成立，()f x 单调递增，无极值点； 所以(0)20g m =-<，解得2m >，取ln t m =，则1
()0g t m
=
> 又函数()g x 的图象在区间[]0,t 上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间()0,t 上， 存在0x 为函数()g x 的零点，()0f x 为()f x 极小值，所以，m 的取值范围是()2,+∞. （2）由0x 满足00x x e e m -+=，代入()x
x
f x e e
mx -=--，消去m 可得
()()()0000011x x f x x e x e -=--+.构造函数()()()11x x h x x e x e -=--+，
所以()'()x
x
h x x e e -=-，当0x ≥时，210x
x
x
x
e e e e
---=≤，即'()0h x ≤恒成立， 故()h x 在[)0,+∞上为单调减函数，其中2(1)h e =-
.则()02
f x e
≥-可转化为()0()1h x h ≥， 故01x ≤，由00x x e e m -+=，设x x
y e e -=+，可得当0x ≥时，'0x x y e e -=-≥
则x x y e e -=+在(]0,1上递增，故1m e e
≤+. 综上，m 的取值范围是12,e e
⎛⎤+ ⎥⎝
⎦
.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了奇函数的定义，考查了转化的思想.对于()f x a ≥ 恒成立的问题，常转化为求()f x 的最小值，使()min f x a ≥；对于()f x a ≤ 恒成立的问题，常转化为求()f x 的最大值，使()max f x a ≤.
18．某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：
月收入（单位：百元） [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 5 c
10 5 5 频率 0.1 a
b
0.2 0.1 0.1 赞成人数
4
8
12
5
2
1
（1）若所抽调的50名市民中，收入在[35,45)的有15名，求a ，b ，c 的值，并完成频率分布直方图．
（2）若从收入（单位：百元）在[55,65)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有X 人赞成“楼市限购令”，求X 的分布列与数学期望．
（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果． 【答案】（1）0.2,0.3,10a b c ===，频率分布直方图见解析；（2）分布列见解析，()4
5
E X =；（3）来自[)65,75的可能性最大． 【解析】 【分析】
（1）由频率和为1可知0.5a b +=，根据15
50
b =求得,a b ，从而计算得到频数
c ，补全频率分布表后可画出频率分布直方图；
（2）首先确定X 的所有可能取值，由超几何分布概率公式可计算求得每个取值对应的概率，由此得到分
布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；
（3）根据[)65,75中不赞成比例最大可知来自[)65,75的可能性最大. 【详解】
（1）由频率分布表得：0.10.20.10.11a b +++++=，即0.5a b +=．
Q 收入在[)35,45的有15名，
15
0.350
b ∴=
=，0.2a ∴=，0.25010c ∴=⨯=， 则频率分布直方图如下：
（2）Q 收入在[)55,65中赞成人数为2，不赞成人数为3，
X ∴可能取值为0,1,2，
则()23253010C P X C ===；()113225315C C P X C ===；()2
22
51
210
C P X C ===， X ∴的分布列为： X
1
2
P
310
3
5
110
()4012105105
E X ∴=⨯
+⨯+⨯=． （3）来自[)65,75的可能性更大． 【点睛】
本题考查概率与统计部分知识的综合应用，涉及到频数、频率的计算、频率分布直方图的绘制、服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解、统计估计等知识；考查学生的运算和求解能力. 19．在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为
34
，王慧每次击中鼓的概率为2
3；每轮游戏中张明和王慧
击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.
（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？
（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和ξ的分布列和数学期望()E ξ. 【答案】（1）2
3
（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）要积分超过200分，则需两人共击中4次，或者击中3次，由此利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）求得ξ的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】
（1）由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件i A 为“张明第i 次击中”，事件i B 为“王慧第i 次击中”，1,2i =，由事件的独立性和互斥性可得P （张明和王慧家庭至少击中三次鼓）
()()()()()
12121212121212121212P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B =++++
3322132233122
24433443344333
⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是
2
3
. （2）ξ的所有可能的取值为－200，－50，100，250，400.
11111
(200)4433144
P ξ=-=⨯⨯⨯=，
111231115
(50)24433443372
P ξ⎛⎫=-=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
13123311112237
(100)4443344334433144P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
331231225
(250)24433443312
P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
3322361
(400)44331444
P ξ==⨯⨯⨯==.
∴ξ的分布列为
∴()200(50)10025040022514472144124
E ξ=-⨯
+-⨯+⨯+⨯+⨯=（分）
【点睛】
本小题考查概率，分布列，数学期望等概率与统计的基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数据处理，应用意识. 20．已知函数()e
e x
x f x ax -=++，a R ∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()()(
)12
122e e
x
x f x f x a -<--.
【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）求得()f x 的导函数()'
f
x ，对a 分成2,2a a ≤>两种情况，讨论()f x 的单调性.
（2）由（1）判断出a 的取值范围，根据韦达定理求得12,x x 的关系式，利用差比较法，计算
()()()()()
12111212e e e e 2x x x x f x f x a a x -----=-+，通过构造函数()()e e 20t t g t t t -=-+>，利用
导数证得()0g t <，由此证得(
)
1
11e e 20x x a x --+<，进而证得不等式()()()()
12
122e e x x
f x f x a -<--成立. 【详解】
（1）()()2
e e 1e e e
x
x x x
x
a f x a --+=--+=-
'.
当2a ≤时，()0f x '≤，此时()f x 在R 上单调递减；
当2a >时，由()0f x '=
解得x =
或x =，
∵e x y =是增函数，∴此时()f x
在⎛-∞ ⎝⎭
和ln ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递减，在⎛ ⎝⎭
单调递增.
（2）由（1）知2a >.12e e 1x x ⋅=，120x x +=，12x x =-， 不妨设12x x >，∴1>0x ，()()()(
)12
122e e
x
x f x f x a ---- ()()()()
(
)
11221111121e e e e 2e e e e 2x x x x x x x x ax ax a a x ----=-+--+---=-+，
令()()e e 20t
t
g t t t -=-+>，
∴(
)1e e 2e 220e t t t t
g t -⎛
⎫=--+=-+
+≤-= ⎪
⎝
'⎭
，
∴()g t 在()0,∞+上是减函数，()()00g t g <=， ∴(
)
1
11e
e 20x x a x --+<，即()()()()
12122e e x x f x f x a -<--.
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
21．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计A ，B 两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：
A 市场：
B 市场：
把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n 吨该产品，在A 、B 两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y （单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润. （1）求200X >的概率；
（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n =吨还是200n =吨?并说明理由. 【答案】（1）0.42；（2）200n =吨，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，由题可得()1P A ，()2P A ，()3P A ，()1P B ，2()P B ，()3P B ，代入
()()233233200P X P A B A B A B >=++，计算可得答案；
（2）X 可取180，190，200，210，220，求出190n =吨和200n =吨时的期望，比较大小即可. 【详解】
（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，则
()10.2P A =，()20.5P A =，()30.3P A =， ()10.1P B =，)2(0.6P B =，()30.3P B =， ()()233233200P X P A B A B A B >=++
()()()()()()233233P A P B P A P B P A P B =++ 0.50.30.30.60.30.30.42=⨯+⨯+⨯=；
（2）X 可取180，190，200，210，220，
()()111800.20.10.02P X P A B ===⨯=
()()21121900.50.10.20.60.17P X P A B A B ==+=⨯+⨯=
当190n =时，()()18051020.02190510.02948.()6E Y =⨯-⨯⨯+⨯⨯-=
当200n =时，()()()()18052020.021*******.17200510.020.17E Y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯--
985.3=.
9486985.3<Q .，
200n ∴=时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量200n =吨.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望，是中档题. 22．已知函数()()210f x x x m m =+--> （1）当2m =时，求不等式()1f x ≤的解集；
（2）()()()2,g x f x g x =-的图象与两坐标轴的交点分别为,,A B C ，若三角形ABC 的面积大于12，求参数m 的取值范围. 【答案】（1）153x x ⎧
⎫
-≤≤⎨⎬⎩⎭
（2）(3,)+∞ 【解析】 【分析】
（1）当2m =时，不等式()1f x ≤可化为：2121x x +--≤，再利用绝对值的意义，分1x <-，
1-≤≤x ，2x >讨论求解.
（2）根据()()2g x f x =-可得()4,13,1,x m x g x x m x m x m x m ---<-⎧⎪
=--≤≤⎨⎪+>⎩
，得到函数()g x 的图象与两坐标轴的交点
坐标分别为()()4,0,0,,,03m A m B m C ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
，再利用三角形面积公式由()23123S m m =+>求解.
【详解】
（1）当2m =时，
不等式()1f x ≤可化为：2121x x +--≤ ①当1x <-时，不等式化50x +≥为， 解得：51;x -≤<-
②当12x -≤≤时，不等式化为31x ≤， 解得：1
13
x -≤≤-
， ③当2x >时，不等式化为30,x +≤解集为Φ， 综上，不等式的解集为153x x ⎧⎫-≤≤
⎨⎬⎩⎭
. （2）由题得()4,13,1,x m x g x x m x m x m x m ---<-⎧⎪
=--≤≤⎨⎪+>⎩
，
所以函数()g x 的图象与两坐标轴的交点坐标分别为()()4,0,0,,,03m A m B m C ⎛⎫
---
⎪⎝⎭
， ABC ∆∴的面积为()()1243233m S m m m m ⎡⎤
=
---⨯-=+⎢⎥⎣⎦
， 由()2
3123
S m m =
+>， 得6m <-（舍），或3m >， 所以，参数m 的取值范围是(3,)+∞. 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值函数的应用，还考查分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
23．在如图所示的多面体中，四边形ABEG 是矩形，梯形DGEF 为直角梯形，平面DGEF ⊥平面ABEG ，且DG GE ⊥，//DF GE ，2222AB AG DG DF ====.
（1）求证：FG ⊥平面BEF . （2）求二面角A BF E --的大小. 【答案】（1）见解析；（2）23
π
【解析】 【分析】
（1）根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明BE FG ⊥；由所给线段关系，结合勾股定理逆定理，可证明FE FG ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明FG ⊥平面BEF .
（2）建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面AFB 和平面EFB 的法向量，由空间向量法求得两个平面夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A BF E --的大小. 【详解】
（1）证明：∵平面DGEF ⊥平面ABEG ，且BE GE ⊥， ∴BE ⊥平面DGEF ， ∴BE FG ⊥，
由题意可得2FG FE ==， ∴222FG FE GE +=，
∵FE FG ⊥，且FE BE E ⋂=， ∴FG ⊥平面BEF .
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0E ，()0,1,1F ，()1,1,1FA =--u u u r
，()1,1,1FB =-u u u r
，()0,1,1FE =-u u u r .
设平面AFB 的法向量是()111,,n x y z =r
，
则11111111
100000x y z x z FA n x y z y FB n --==⎧⎧⎧⋅=⇒⇒⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎩⎩u u u v v u u u v v ， 令11x =，()1,0,1n =r ，
由（1）可知平面EFB 的法向量是()0,1,1m GF ==u r u u u r ，
∴1cos<,2n m n m n m
⋅>===⋅r u r r u r r u r ， 由图可知，二面角A BF E --为钝二面角，所以二面角A BF E --的大小为
23
π. 【点睛】
本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.。