人教版八年级数学下册19.2.3 一次函数与方程、不等式

由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数, a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函 数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知 直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.
探究新知 一次函数与一元一次方程的关系
从数的角度看
求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解
y y=2x－12
O －12
6x
探究新知
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）
的函数y=2x+5. 由右图可以看出当y =17时，
y
y=2x+5
17
x=6.
5
－2.5
O6
x
巩固练习
当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值
满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8. 解: (1)x=-4； (2)x=-8.
y=3x+10
x
课堂检测 拓广探索题
直线y=3x+ 6与x轴的交点的横坐标的值是方程2x+a=0
的解，求a的值.
解：由题意可得： 当直线y=3x+ 6与x轴相交时，y=0 则3x+ 6=0, 解得：x= -2, 当x= -2 时， 2 × (-2) + a =0， 解得：a = 4.
课堂小结
一次函数与方 程、不等式
2
2
的解集是（
A）
A．x＞﹣2
B．x≥﹣2
C．x＜﹣2
D．x≤﹣2
课堂检测
基础巩固题
1.直线 y 3x 9与x轴的交点是（ B ）
A．（0，-3）
B．（-3，0）
C．（0，3）
D．（0，-3）
2.方程 3x 2 8 的解是 x=2 ，则函数 y 3x 2
在自变量x等于 2 时的函数值是8.
即当x=-10时，函数y=2x+20的值为0，这说明方程2x+20=0的 解是x=-10.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.
探究新知
【思考】由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0 （a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值 为0有什么关系？
由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一 次函数问题相一致.
3个不等式相同的特点是：不等号左边都是 3x 2 ； 不同点是：不等号及不等号右边分别是 2 ， 0 ， -1 .
探究新知
【讨论】你能从函数的角度对以上3个不等式进行解释吗？
解释1：这3个不等式相当于在一次函数
y 3x 2
3x 2 2
的函数值分别为大于2、 小于0 、小于-1 时，求
3x 2 0
探究新知 知识点 1 一次函数与一元一次方程
我们先来看下面两个问题： （1）解方程2x+20=0. （2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0？ 问题： 1. 对于2x+20=0 和y=2x+20，从形式上看，有什么相同和不同？ 2. 从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？
探究新知
问题(1)解方程2x+20=0， 得x=-10.
二元一次方程 组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标．
y 30
25
y =0.5x+15
20
15
10
y =x+5
5
A（20，25）
O 5 10 15 20
x
探究新知
归纳总结
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次 函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二 元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
由函数图象的定义可知：
y
y =0.5x+15
直线y =0.5x+15上的每个点的坐标 15
(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，
10
即直线y =0.5x+15上的每个点的坐
标都是二元一次方程y=0.5x+15的
5
解.
-5 O
5
x 10
探究新知 (2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高
x为何值y= ax+b 的值为0
从形的角度看
求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解
确定直线y= ax+b 与x轴交点的横坐标
巩固练习
以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题
序号
1 2 3 4
一元一次方程 问题
一次函数问题
解方程3x－2=0
当x为何值时,
y=3x－2的值为0
解方程8x+3=0 当x为何值时,y=8x+3的值为0
问题(2)就是要考虑当函数y=2x+20的值为（ 0）时，
所对应的（ 自变量x ）为何值？
y 实质上这可以通过解方程2x+20=0,得出x=-10. 20 因此，这两个问题实际上是同一个问题.
从图象上看：作出函数y=2x+20的图象.
-10 0
【思考】函数图象哪一个点的坐标表示
x 函数值为0? 与x轴的交点(-10,0).
人教版 数学 八年级 下册
19.2 一次函数 19.2.3 一次函数与方程、不等式
导入新知
今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在 的集合就坐，这时 “x+y=5”来了.
x+y=5
到我这 里来
x+y=5应该坐在 哪里呢？
到我这 里来
二元一次方程
一次函数
学习目标
3. 经历用函数图象表示方程、不等式解的 过程，进一步体会“以形表示数，以数解 释形”的数形结合思想. 2. 会用函数观点解释方程和不等式及其解 （解集）的意义. 1. 认识一次函数与一元（二元）一次方程 （组）、一元一次不等式之间的联系．
3
00
x
从“形” 上看
课堂检测
5.当自变量取何值时，函数
与
的值相等？这个函数值是多少？
解： 由已知可得：
2.5x+ 1 = 5x+ 17, 解得：x=-6.4 y=5 ×(- 6.4 )+ 17 y=-15
yy 55xx171
2
课堂检测
6.用函数图象来解5x+6>3x+10.
解：化简，得2x-4>0.画出直线y=2x-4的图象.
解：（1）由图象可知， 不等式-3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<2； 不等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
y
A(0,6) (1,3)
3
B(2,0)
O1
x
巩固练习
如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，
课堂检测
y3.直a线x b
在坐标系中的位置如图，则方
a程x b 0 的解是x=___. -2
y
2
-2
00
x
课堂检测
4.根据图象，你能直接说出一元一次方程
的解吗？
y
x 3 0
解：由图象可知x+3=0的
解为x= −3．
-3
直线y=x+3的图象与x轴交点坐 标为（-3,0），这说明方程x＋3 ＝0的解是x=-3.
1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上
升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min
的速度上升．两个气球都上升了1 h．
(1)请用解析式分别表示两个气
球所在位置的海拔 y(m)与气球
上升时间 x(min)的函数关系． 解:气球1 海拔高度：y =x+5；
y
可以看出，当x＞2时，这条直
线上的点在x轴的上方，即这时
y=2x-4>0.
02
所以不等式的解集是x>2.
y=2x-4 x
-4
课堂检测
能力提升题
一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10
的解集是（ B ）
A.x<5
B.x>5
C.x>-5
D.x>25
1
y
y=4x+5
探究新知
一次函数与一元一次不等式的关系
y=kx+b的值
求kx+b＞0(或<0） (k≠0)的解集
从“函数值”看
大于(或小于)0时， x的取值范围
求kx+b＞0(或<0） (k≠0)的解集
从“函数图象”看
确定直线y=kx+b 在x轴上方(或下方) 的图象所对应的x 取值范围
探究新知
考点 1 利用一次函数的图象解一元一次不等式
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒， 由题意得2x+5=17, 解得 x=6.
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
探究新知
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的
函数y=2x+5. 由2x+5=17, 得 2x－12=0. 由右图看出直线y=2x－12与x 轴的交点为（6，0），得x=6.
已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线
y=ax+b的是( B )
y
y
y
y
-2 0 x -2 A
0 x -2 0 x -2 0 x
-2
B
C
D
探究新知 知识点 2 一次函数与一元一次不等式
【讨论】观察下面3个不等式有什么共同点与不同点？ （1）3x 2 ＞2； （2）3x 2 ＜0； （3）3x 2 ＜-1.
画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; y
（2）当x取何值时，y<3?
A(0,6)
解：作出函数y=-3x+6的图象，
如图所示，图象与x轴交于点
B(2,0)
B(2，0).
O
x
探究新知
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3?
解方程-7x+2=0
解方程 3x-2=8x+3
当x为何值时, y= -7x+2的值为0
当x为何值时, y=-5x-5的值为0
探究新知
考点 1 利用一次函数、方程及图象解答问题 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再 过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三 个不同方面进行解答)
解方程组
y =2x+2， y =-x+3， 得
x 1， 3
y 8，
3
即直线l1与l2
的交点坐标为
1 3
,
8 3
.
巩固练习
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，
则方程组
y y
ax cx
b， d，
的解是多少？
解：此方程组的解是
y=ax+b 2 y
1
x 2，
y
1.
探究新知 考点 1 一次函数的图象与二元一次方程组
如图，求直线l1与l2 的交点坐标.
分析：由函数图象可以求 直线l1与l2的解析式，进而 通过方程组求出交点坐标.
探究新知
解：因为直线l1过点(-1，0)， (0，2) ，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y =2x+2.同理
可求得直线l2的解析式为y =-x+3.度是多少？请从数和形Fra bibliotek方面分别加以研究.
从数的角度看：
解方程组 y =x+5
y =0.5x+15
h1
h2
就是求自变量为何值时，两个一
次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函 数值相等，并求出函数值． 气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
探究新知
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
h1
h2
气球2 海拔高度：y =0.5x+15．
探究新知
【讨论】一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数 用方程观点看 二元一次方程
y =0.5x+15
y -0.5x =15
用函数观点看 二元一次方程 y =0.5x+15
从式子（数）角度看：
一次函数
二元一次方程
探究新知 【讨论】从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
方程组的解
对应两条直线交点的坐标.
探究新知 观察函数图象，直接回答下列问题： （1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
（1）20min后，1 号气 球比2 号气球高.
（2）0~20min时，2 号 气球比1 号气球高.
气球1 海拔高度：y =x+5 气球2 海拔高度：y =0.5x+15
x的取值范围是（ C ）
y
A.x>-4
B. x>0 y=kx+b
C. x<-4
D. x<0
x
巩固练习
已知一次函数y=kx+b的图象如图所示，则不等式
kx+b＞0的解集是（ B ）
y
A．x＞-2
B．x＜-2
C．x＞-1
D．x＜-1
-2 0
x
-1
y=kx+b
探究新知
知识点 3 一次函数与二元一次方程组
-3
-2
-1
O -1
1
-2
-3
-4
-5
-6
y=cx+d
2 34x P
链接中考
1.若以二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点（x，y）都在直
线
y
1 2
x
b
1上，则常数b=（
B
）
A．12
B．2
C．﹣1
D．1
2.如图所示，直线l1：y
3 2
x
6
与直线l2：y
5 2
x
2交于点P（﹣2，
3），不等式
3 x6 5 x2
自变量x的取值范围.
3x 2 1
探究新知
解释2：在直线 y 3x 2上取纵坐标分别 满足条件 大于2 、 小于0 、 小于-1 的点， 看它们的横坐标分别满足什么条件.
y y=3x+2
2
1
-2 -1 O -1
-2
1 2x
探究新知
归纳总结
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式 都可以变形为ax +b＞0或ax +b＜0（a≠0）的形式， 所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax +b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围 .