2019高考数学考点突破——直线与圆：两条直线的位置关系

两条直线的位置关系
【考点梳理】
1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直
①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法
直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 2
的交点坐标就是方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0的解．
3．距离
d ＝
x 2－x 12
＋y 2－y 1
2
考点一、两条直线的平行与垂直
【例1】已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0. (1)当l 1∥l 2时，求a 的值； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值.
[解析] (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；
当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝1
1－a x －(a ＋1)，
由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，
－3≠－（a ＋1），
解得a ＝－1.
综上可知，a ＝－1. 法二 由l 1∥l 2知⎩⎪⎨
⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0，
即⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧a 2
－a －2＝0，
a （a 2
－1）≠6⇒a ＝－1. (2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；
当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a
x －(a ＋1)，
由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a ＝－1⇒a ＝23.
法二 ∵l 1⊥l 2，∴A 1A 2＋B 1B 2＝0， 即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝2
3.
【类题通法】
1．判定直线间的位置关系，要注意直线方程中字母参数取值的影响，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，还要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论，可避免讨论．另外当A 2B 2C 2≠0时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2
的关系容易记住，在解答选择、填空题时，有时比较方便． 【对点训练】
1．直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．2
[答案] C
[解析] ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴
⎩
⎪⎨⎪⎧
－m ＋－m ＝0，m ＋－m
，
解得m ＝1.故选C.
2．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. [答案] 2
3
[解析] 因为直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2
－1＝0垂直，所以a ·1＋2·(a －1)＝0，解得a ＝23
.
考点二、两直线的交点与距离问题
【例2】(1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝1
2
-x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________.
(2)直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为________．
[答案] (1) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－16，12 (2) x ＋3y －5＝0或x ＝－1 [解析] (1)法一 联立方程⎩
⎪⎨
⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，
y ＝－12
x ＋2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.
(若2k ＋1＝0，即k ＝－1
2，则两直线平行)
∴交点坐标为⎝
⎛⎭
⎪
⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1.又∵交点位于第一象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k 2k ＋1＞0，6k ＋1
2k ＋1＞0，
解得－16＜k ＜12.
法二 如图，已知直线y ＝－1
2
x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4，0)，B (0，2).
而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2，1)，斜率为k 的动直线.
∵两直线的交点在第一象限，
∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝1
2.
∴－16＜k ＜1
2
.
(2)法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，
即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－1
3
，
∴直线l 的方程为y －2＝－1
3
(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－1
3
，直线l 的方程为
y －2＝－13
(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.
当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.
故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 【类题通法】
1．求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程；也可利用过交点的直线系方程，再求参数．
2．利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等． 【对点训练】
1．当0<k <1
2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] B
[解析] 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
kx －y ＝k －1，
ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝k
k －1，y ＝2k －1
k －1.
又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1
k －1
>0，
故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．
2．已知点A (－3，－4)，B (6，3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为__________．
[答案] －13或－7
9
[解析] 由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1
，解得a ＝－13或－7
9.
考点三、对称问题
【例3】已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2).求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；
(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程.
[解析] (1)设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，
2×x －12－3×y －22＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝4
13，
∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.
(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上.
设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，
b －0a －2×2
3＝－1，
解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.
设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪
⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，
得N (4，3).
又∵m ′经过点N (4，3)，
∴由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0. (3)法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点， 如M (1，1)，N (4，3)，
则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上.
易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二 设P (x ，y )为l ′上任意一点，
则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 【类题通法】
1．解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直.
2．如果直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题.
3．若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：(1)若直线l 1与l 2相交，则交点在直线
l 上；(2)若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.
【对点训练】
1．点(2，1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________. [答案] (0，3)
[解析] 设对称点为(x 0
，y 0
)，则⎩⎪⎨⎪
⎧y 0－1
x 0－2
＝－1，x 0
＋22－y 0
＋12＋1＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0，3).
2．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＋y －2＝0对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0
[答案] B
[解析] 由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0的交点坐标为(1，1)． 在直线x －2y ＋1＝0上取点A (－1，0)，
设A 点关于直线x ＋y －2＝0的对称点为B (m ，n )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n －0m ＋1－＝－1，m －12＋n 2－2＝0，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝2，
n ＝3.
故所求直线的方程为y －13－1＝x －1
2－1
，即2x －y －1＝0.
3．平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1，1)对称的直线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x ＋3 D ．y ＝2x －3
[答案] D
[解析] 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0，1)，B (1，3)，则点A 关于点(1，1)对称的
点为M (2，1)，点B 关于点(1，1)对称的点为N (1，－1).由两点式求出对称直线MN 的方程为
y ＋1
1＋1
＝
x －1
2－1
，即y ＝2x －3.。