2020-2021高中必修五数学上期中试卷附答案(1)

2020-2021高中必修五数学上期中试卷附答案(1)
一、选择题
1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则2
1
f f ＝ A
．1242
B ．1116
C ．82
D ．32
2．在ABC V 中，4
ABC π
∠=，2AB =
，3BC =，则sin BAC ∠=（ ）
A ．
10 B ．
10 C ．
310
D ．
5 3．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）
A ．
33
23
B ．
53
23
C ．
3
23
D ．
83
23
4．,x y 满足约束条件362000
x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
12，则23
a b
+的最小值为 ( ) A ．
256
B ．25
C ．
253
D ．5
5．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最大值为（ ）．
A ．8-
B ．4-
C ．1
D ．2
6．若ln 2ln 3ln 5
,,235
a b c =
==，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<
D ．b a c <<
7．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．
12
B ．12
-
C ．
14
D ．14
-
9．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9
B ．27
C ．54
D ．81
10．若函数1
()(2)2
f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3
B
．1C
．1+D ．4
11．已知4213
3
3
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，若sin 2sin 0b A B +=
，
b =，则c
a
的值为（ ）
A ．1
B
C
D
二、填空题
13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.
14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且
2m ≥，则m =______.
15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
7
4sin
cos 222
A B C +-=，且
5,7a b c +==，则ab 为 ．
16．已知数列{}n a 满足11a =，11
1n n
a a +=-
+，*n N ∈，则2019a =__________． 17．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得
122m n a a a ⋅=，则
14
m n
+的最小值为__________． 18．已知三角形中，
边上的高与
边长相等，则
的最大值是
__________．
19．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = ________．
20．在锐角ΔABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知
24,sin 4sin 6sin sin a b a A b B a B C +=+=,则ABC n 的面积取最小值时有
2c =__________.
三、解答题
21．已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，
cos 3sin 0a C a C b c --=．
（1）求A ．
（2）若2a =，ABC △3b ，c ．
22．设数列{}n a 满足113,23n
n n a a a +=-=⋅．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
23．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =
（1）当4
A π
=
时，求ABC ∆的面积S ；
（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．
24．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44
f A f B A B π
π
-
+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．
25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，234848a a a =+=，．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设4log .n n b a =证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的前n 项和n S ．
26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.
(1)求B 的大小;
(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

【详解】
：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1
q n n a a -=，根据最
后一个音是最初那个音的频率的2倍，112
12
13
2q q 2a a a ==⇒=，所以
437
213
q 2a f f a ===D 【点睛】
：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。

2．C
解析：C 【解析】
试题分析：由余弦定理得2
29223cos
5,54
b b π
=+-⋅==.由正弦定理得
35
sin sin 4
BAC π=
∠，解得310sin 10
BAC ∠=. 考点：解三角形.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边
HO 即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】
如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，
在HAB ∆中，
sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102
sin 45sin 30HB =
︒︒
，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，
353
4623
v =
=
（米/秒）． 故选B ． 【点睛】
本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123
()(23)6a b a b a b
+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由
360
20
x y
x y
--=
⎧
⎨
-+=
⎩
得点B坐标为
B（4,6）.由图可知当直线z ax by
=+经过点B（4,6）时，Z取最大值。

因为目标函数(0,0)
z ax by a b
=+>>的最大值为12，所以4612,
a b
+=即236,
a b
+=
所以2312316616625 ()(23)(13
)(132)
6666
a b a b
a b
a b a b b a b a
+=++=++≥+⨯=。

当且仅当
66
236
a b
b a
a b
⎧
=
⎪
⎨
⎪+=
⎩
即
6
5
a b
==时，上式取“=”号。

所以当
6
5
a b
==时，
23
a b
+取最小值
25
6。

故选A。

【点睛】
利用基本不等式2
a b ab
+≥可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。

当a b
，都取正值时，（1）若和+
a b取定值，则积ab有最大值；（2）若积ab取定值时，则和+
a b有最小值。

5．D
解析：D
【解析】
作出不等式组
20
40
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，所表示的平面区域，如图所示，
当0
x≥时，可行域为四边形OBCD内部，目标函数可化为2
z y x
=-，即2
y x z
=+，平移直线2
y x
=可知当直线经过点(0,2)
D时，直线的截距最大，从而z最大，此时，
max 2z =，
当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b x a
++型）和距离型（()()22
x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
6．B
解析：B 【解析】 试题分析：因为
ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 3
0,23623
--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 5
0,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】
由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
8．C
解析：C 【解析】
试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即
122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比1
2q =-，从而
223111
1()24
a a q ==⨯-=，故选C.
考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得
21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公
式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】
解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，
若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得2
1114a q 3a a q =+，即
2q 4q 30-+=，
解得q 1=或3；
又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，
则n 1
n a 3-=，则有34a 327==；
故选：B ． 【点睛】
本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
将函数()y f x =的解析式配凑为()()1
222
f x x x =-++-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值.
【详解】
当2x >时，20x ->，则()()11
22222
f x x x x x =+=-++≥-- 4=， 当且仅当()1
222
x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
因为42223
3
3
3
2=4,3,5a b c ===，且幂函数23
y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
12．D
解析：D 【解析】
分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA =，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.
详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=，可得sin2sin 0sinB A B +=，
即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，
所以cosA =：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6
=
．
又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=.
即227a c =，所以7
c a =
. 故选：D ．
点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
二、填空题
13．【解析】【分析】根据正弦定理将转化为即由余弦定理得再用基本不等式法求得根据面积公式求解【详解】根据正弦定理可转化为化简得由余弦定理得因为所以当且仅当时取所以则面积的最大值为故答案为：【点睛】本题主要
【解析】 【分析】 根据正弦定理将
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-转化为
()()()a b a b c b c +-=-，即2
2
2
b c a bc +-=，由余弦定理得2221
cos 22b c a A bc +-==，
再用基本不等式法求得4bc ≤，根据面积公式1
sin 2
ABC S bc A ∆=求解. 【详解】 根据正弦定理
()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-可转化为
()()()a b a b c b c +-=-，化简得2
22b
c a bc +-=
由余弦定理得2221
cos 22
b c a A bc +-=
=
sin 2
==
A 因为2222+=+≥b c a bc bc 所以4bc ≤，当且仅当b c =时取""=
所以1sin 4244
∆=
=≤=ABC S bc A
则ABC ∆
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，基本不等式的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
14．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项
【解析】
【分析】
设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m .
【详解】
因为0m S =，所以设()n An n m S =-，
因为12m S -=-，13m S +=， 所以(1)(1)2,125(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨+⋅=+⎩
. 故答案为：5.
【点睛】
本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.
15．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦二倍角公式；2余弦定理
解析：6
【解析】 试题分析：274sin cos 222A B C +-=Q ，274sin cos 222
C C π-∴-=，274cos cos 222C C ∴-=，()72cos 1cos 22
C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()22cos 11C -=，解得1cos 2
C =
． 所以在ABC ∆中60C =o ． 2222cos c a b ab C =+-Q ，()2222cos60c a b ab ab ∴=+--o ，
()223c a b ab ∴=+-，()22257633
a b c ab +--∴==
=． 考点：1诱导公式，余弦二倍角公式；2余弦定理． 16．-2【解析】【分析】根据题干中所给的表达式得到数列的周期性进而得到结果【详解】根据题干表达式得到可以得数列具有周期性周期为3故得到故得到故答案为：-2【点睛】这个题目考查了求数列中的某些项一般方法是 解析：-2
【解析】
【分析】
根据题干中所给的表达式得到数列的周期性，进而得到结果.
根据题干表达式得到234123
1111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 567455
1111,2, 1.1211a a a a a a =-=-=-=-=-=+++ 可以得数列具有周期性，周期为3，故得到20193673.÷=
故得到2019 2.a =-
故答案为：-2.
【点睛】
这个题目考查了求数列中的某些项，一般方法是求出数列通项，对于数列通项不容易求的题目，可以列出数列的一些项，得到数列的周期或者一些其它规律，进而得到数列中的项. 17．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值
【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故 解析：116
【解析】
【分析】
由7652a a a =+求得2q =
1=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得
14m n +的最小值. 【详解】
设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6662a a q a q
=+, 由于0n a >,所以21q q
=+,解得2q =或1q =-. 因为各项全为正,所以2q =.
由于存在两项,m n a a
1=，
所以,218m n a a a ⋅=,
112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.
当1,4m n ==时,142m n
+=; 当2,3m n ==时，14116
m n +=；
当3,2m n ==时,1473m n +=; 当4,1m n ==时,14174
m n +=; 综上可得 14m n +的最小值为116
, 故答案为
116
. 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
18．22【解析】试题分析：由题意得12bcsinA=12a2⇒bcsinA=a2因此ACAB+ABAC+BC2AB ⋅AC=bc+cb+a2bc=b2+c2+a2bc=a2+2bccosA+a2bc=2c
解析：
【解析】
试题分析：由题意得，因此,
从而所求最大值是
考点：正余弦定理、面积公式
【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件
即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具
即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
19．【解析】【分析】根据正弦定理将边化为角再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cosB 的值即得B 角【详解】由2bcosB ＝acosC ＋ccosA 及正弦定理得2sinBcosB ＝sinAcosC ＋sin
解析：3
π
【解析】
【分析】
根据正弦定理将边化为角，再根据两角和正弦公式以及诱导公式化简得cos B 的值，即得B 角.
【详解】
由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A .
∴2sin B cos B ＝sin(A ＋C )．
又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B .∴2sin B cos B ＝sin(π－B )＝sin B .
又sin B ≠0，∴cos B ＝.∴B ＝.
∵在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，∴条件等式变为2b cos B ＝b ，∴cos B ＝.
又0<B <π，∴B ＝.
【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.
20．【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2时取得等号当a=2b=1S 取得最小值易得(C 为锐角)则则 解析：4553【解析】
由正弦定理及sin 4sin 6sin sin a A b B a B C +=,
得2246sin a b ab C +=, 又1sin 2
S ab C =,即22412a b S +=, 由于24a b +=,即有()222424164a b a b ab ab +=+-=-,
即有41612ab S =-, 由22422a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
,即有16128S -≤,解得23S ≥, 当且仅当a=2b =2时,取得等号,
当a =2,b=1,S 取得最小值23
, 易得2sin 3C =(C 为锐角),则5cos C =,
则2222cos 5c a b ab C =+-=. 三、解答题
21．(1)60A =︒；(2)2b c ==.
【解析】
试题分析：
（1）由题意利用正弦定理边化角可得
()
sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，化简可得
()1302
sin A -︒=，则60A =︒．
（2）由题意结合三角形面积公式可得12
S bc sinA =
⋅=4bc =，结合余弦定理计算可得4b c +=，则2b c ==．
试题解析：
（1）∵在ABC V 中，0acosC b c --=，
利用正弦定理可得()sinAcosC sinB sinC sin A C sinC =+=++，
1cosA -=，
即()1302
sin A -︒=， ∴3030A -︒=︒，
∴60A =︒．
（2）若2a =，ABC V
则12S bc sinA =⋅== ∴4bc =， 又由余弦定理可得()2222234a b c bccosA b c bc =+-=+-=，
∴4b c +=，
故2b c ==．
22．（Ⅰ）3n n a =；（Ⅱ）()1121334
n n S n +⎡⎤=-⋅+⎣⎦. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L ，结合题意和等比数列前n 项和公式确定数列的通项公式即可；
（Ⅱ）结合(Ⅰ)的结果可知3n n b n =⋅，利用错位相减求和的方法求解其前n 项和即可.
【详解】
（Ⅰ）由已知，当1n ≥时，
()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L
12323233n n L -=⨯+⨯++⨯+
()1233311n n -=⋅+++++L
()1123112n +⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦
13n +=
∵13a =，即关系式也成立，
∴数列{}n a 的通项公式3n n a =.
（Ⅱ）由3n n n b na n ==⋅，
得231323333n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅L ，
而()23413132333133n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，
两式相减，可得
()231233333n n n S n +-=++++-⋅L
()
111133322n n S n ++⎡⎤=---⋅⎢⎥⎣⎦ ∴()1121334
n n S n +⎡⎤=
-⋅+⎣⎦. 【点睛】 数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
23．（12）4
. 【解析】
【分析】
（1）由A 、B 、C 成等差数列可求得60B =︒，再由正弦定理和余弦定理分别求出a 和c 的值，最后利用三角形面积公式计算即可；
（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，可求得3ac ≤，进而求得S 的最大值．
【详解】
（1）因为A 、B 、C 成等差数列，
则：2A+C =B ，又A B C π++=，所以60B =︒， 因为：2sin sin b a a B A =⇒=， 222221262cos 32222102b a c ac B c c c c c +∴=+-⇒=+-⨯⇒--=⇒=，（负值舍）；
ABC ∆∴的面积1126333sin 222S ac B ++==⨯⨯
⨯=； （2）2222cos b a c ac B =+-Q ； 即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立；
1333sin 2ABC S ac B ac ∆∴==≤； 即S 的最大值为：
33． 【点睛】 本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
24．（Ⅰ）
（Ⅱ） 【解析】
【分析】
【详解】
(1)由题意，f(x)2m 2+，2m 2 2.+=而m>0，于是2，f(x)=2sin(x+4
π).由正弦函数的单调性可得x 满足32k x 2k (k Z)242πππππ+≤+≤+∈，即52k x 2k (k Z).44ππππ+≤≤+∈所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为,.4
ππ［］ (2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得c 32R 2 3.sin?C sin60===︒
化简f (A )f (B )46sinAsin?B 44ππ
-+-=，得6sin Asin B.由正弦定理，得()2R a b 26ab,a b 2ab.+=+=① 由余弦定理，得a 2+b 2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0② 将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或3ab 2
=-(舍去)，故ABC 133S absinC 24
∆== 25．（Ⅰ） 12n n a += （Ⅱ）见解析，234
n n +
【解析】
【分析】
（1）利用2342248a a a q a q +=+=及28a =求得q ，从而得到通项公式．
（2）利用定义证明{}n b 等差数列，并利用公式求和．
【详解】
（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意0q >．
由2348,48a a a =+=得28848q q +=，解得2q =．
故2182
2n n n a -+=⨯= ． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得1441log log 2
2n n n n b a ++===． 故112n n b b --=，所以{}n b 是首项为1，公差为12
的等差数列， 所以()21131224
n n n n n S n -+=⨯+⨯=． 【点睛】
一般地，判断一个数列是等差数列，可从两个角度去考虑：（1）证明1n n a a d --=；（2）证明：112n n n a a a -+=+.
26．(1)2
π3B =；（2
【解析】 【试题分析】（1）先正弦定理将已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=-化为边的关系,然后运用余弦定理求解；（2）先借助正弦定理求出1sin 4BAD ∠=，然后运用余弦二倍角求出7cos 8
BAC ∠=，进而运用平方关系求出sin BAC ∠. 解：(1) 222sin sin sin sin sin A C B A C +=-,
222a c b ac ∴+=-, 2221cos 222
a c
b a
c B ac ac +-∴==-=-, ()0,πB ∈Q , 2π3
B ∴=. (2) 在ABD V 中,由正弦定理:sin sin AD BD B BAD =∠,
得1sin 1sin 4
BD B BAD AD ⋅∠===, 217cos cos212sin 12168
BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅=,
∴∠===. sin BAC。