江西省南昌三中2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试卷

命题：陈学昇 审题：张金生
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.椭圆19
162
2=+y x 的焦距为（ ） A.10 B.5 C.7 D.72
2.已知两条直线2-=ax y 和01)2(3=++-y a x 互相平行，则a 等于（ ）
A.1或-3
B.-1或3
C.1或3
D.-1或-3
3．抛物线y ＝2x 2的准线方程为 ( )
A ．y ＝－18
B ．y ＝－14
C ．y ＝－12
D ．y ＝－1
4.在平面直角坐标系xOy 中，直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( ) A.33 B.32 C.3 D.1
5. 两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图像可能是图中的哪一个 ( )
6．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是 ( )
A. x 29－y 27＝1 B ．x 2－y 29＝1 C. x 29－y 2＝1 D.x 27－y 23＝1
7. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点C 的轨迹方程是( )
A ．1162522=+y x
B ．)0(1162522≠=+y y x
C ．1251622=+y x
D ．)0(125
1622≠=+y y x
8．已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ）
A ．210
B ．6
C ．3 3
D ．2 5
9.已知抛物线方程为24y x =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点
P ，
P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为( )
A 2+
B 1+
C 2-
D 1-
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)
的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
1112．过点（1，2）总可作两条直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是 .
13．若椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是________．
14．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧ x ≥0，
y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0，
(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，
则k ＝________. 15．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点
分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程．
17．（本小题满分12分）已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值；
18．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点(线段AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0)，求此抛物线的方程．
19．（本小题12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴
上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实
数m 的取值范围．
20. （本小题满分13分）如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点)0,1(F ,1
C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点)0,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点
（Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；（Ⅱ）若AM ，求直线l 的方程； （Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公
共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值。

21. （本小题满分14分）已知点(1,0),(1,0)M N
-，动点(,)P x y 满足：41cos PM PN MPN =+∠，（1）求P 的轨迹C 的方程；（2）是否存在过点N （1，0）的直线l 与曲线C 相 交于A 、B 两点，并且曲线C 存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAQB 的面积；若不存在，说明理由。

南昌三中2011-2012学年度上学期期中考试 高二数学（理）答卷 一、选择题（每小题5分，共50分） 二、填空题（每小题5分，共25分） 11、 . 12、 . 13、 . 14、 _. 15、_______________. 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果
l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1、l 2的方程．
17．（本小题满分12分）已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值；
18．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点(线段AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0)，求此抛物线的方程．
19．（本小题12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴
上，点P 是椭圆上任意一点．当|MP →|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实
数m 的取值范围．
20. （本小题满分13分）如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点
)0,1(F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，
过点)0,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点
（Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；
（Ⅱ）若AM =，求直线l 的方程；
（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1
C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值。

21. （本小题满分14分）已知点(1,0),(1,0)M N -，动点(,)P x y 满足：
41cos PM PN MPN
=+∠，（1）求P 的轨迹C 的方程；（2）是否存在过点N （1，0）的直线l 与曲线C 相 交于A 、B 两点，并且曲线C 存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAQB 的面积；若不存在，说明理由。

3．抛物线y ＝2x 2的准线方程为
( )
A ．y ＝－18
B ．y ＝－14
C ．y ＝－12
D ．y ＝－1 答案 A
解析 由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，选A. 4.在平面直角坐标系xOy 中，直线0543=-+y x 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A.33 B.32 C.3 D.1
【答案】B 【解析】圆心到直线的距离1d ==，所以222()2
AB R d -=，即
2224()4(41)12AB R d =-=-=，所以AB ==，选B.
5. 两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图像可能是图中的哪一个 ( )
答案 B
6．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，
且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是 ( )
A. x 29－y 27＝1 B ．x 2－y 29＝1 C. x 29－y 2＝1 D.x 27－y 23＝1
答案 C
解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→.
∵||MF 1→|－|MF 2→||＝2a ，∴|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝40.
∴|MF 1→|·|MF 2→|＝20－2a 2＝2，∴a 2＝9，b 2＝1.
∴所求双曲线的方程为x 29－y 2＝1.
【解析】因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。

因为点P 到y 轴的距离为1d ，所以到准线的距离为11d +，又11d PF +=,所以
12122111d d d d PF d +=++-=+-，焦点到直线的距离d =，而
2PF d d +≥=，所以12211d d PF d +=+-≥，选D.
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32
，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝( )
A ．1 B. 2 C. 3 D ．2
【答案】 B 由椭圆C 的离心率为32，得c ＝32a ，b 2＝a 24，∴椭圆C ：x 2a 2＋4y 2a
2＝1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，F (32a,0)．∵AF →＝3FB →，∴(32a －x A ，－y A )＝3(x B －32
a ，y B )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B ，即⎩⎨⎧
x A ＋3x B ＝23a ，①y A ＋3y B ＝0.将A (x A ，y A )，B (x B ，y B )代入椭圆C 有⎩⎨⎧ x 2A a 2＋4y 2A a 2＝1，②x 2B a 2＋4y 2B a 2＝1，③③×9－②得9x 2B －x 2A a 2＝8，(3x B ＋x A )(3x B －x A )a 2＝8，∴3x B －x A ＝433
a .④
联立①④得⎩
⎪⎨⎪⎧
x A ＋3x B ＝23a ，3x B －x A ＝433a ，解得x A ＝33a ，x B ＝539a ，∴y A ＝－66a ，y B ＝618a ， ∴k ＝y B －y A x B －x A ＝618a
＋66a 539a －33
a ＝ 2. 14．已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≤x ，
2x ＋y ＋k ≤0，
(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.
答案 －6
解析 结合不等式组所表示的区域以及z ＝x ＋3y 的最大值，不难得出z ＝x ＋3y 经过直线y
＝x 和2x ＋y ＋k ＝0的交点(－k 3，－k 3)时，z ＝x ＋3y 取得最大值8，∴－k 3＋3(－k
3)＝8.∴k ＝
－6.
15．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，1
2)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，
B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
【答案】 x 25＋y 2
4
＝1【解析】 显然x ＝1是一条切线，且过切点A (1,0)，设另一条切
线方程为y －1
2＝k (x －1)，即2kx －2y ＋1－2k ＝0.由|1－2k |4k 2＋4＝1，解
得k ＝－3
4.∴圆的切线方程为3x ＋4y －5＝0.
解⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋4y －5＝0，x 2＋y 2＝1，得B (35，45)．进一步求得过A (1,0)与B (35，45)
两点的直线方程为y ＝－2x ＋2.令x ＝0，得y ＝2.故在椭圆方程x 2a 2＋y 2
b
2
＝1中，b ＝2，c ＝1，∴a 2＝5.因此椭圆方程为x 25＋y
24
＝1.
17．（本小题满分12分）已知圆C 经过点A (－2,0)， B (0，2)，且圆心C 在直
线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)若OP →·OQ →＝－2，求实数k 的值；
答案 (1)x 2＋y 2＝4 (2)k ＝0
解析 (1)设圆心C (a ，a )，半径为r .因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)， 所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2.
所以圆C 的方程是x 2＋y 2＝4.
(2)因为OP →·OQ →＝2×2×cos 〈OP →，OQ →〉＝－2，且OP →与OQ →
的夹角为∠POQ ，
所以cos ∠POQ ＝－1
2，∠POQ ＝120°.
所以圆心到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1.
又d ＝1
k 2＋1
，所以k ＝0.
18．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴
上，设A 、B 是抛物线C 上的两个动点(线段AB 不垂直于x 轴)，且|AF |＋|BF |＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过定点Q (6,0)，求此抛物线的方程．
答案 y 2＝8x
解析 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p
2.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为|AF |＋|BF |＝8，所以x 1＋p 2＋x 2＋p
2
＝8，
即x 1＋x 2＝8－p .
因为Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，所以QA ＝QB ，
即(x 1－6)2＋y 21＝(x 2－6)2＋y 22.又y 21＝2px 1，y 2
2＝2px 2，
所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0.因为x 1≠x 2，所以x 1＋x 2＝12－2p . 故8－p ＝12－2p .所以p ＝4.所以所求抛物线方程是y 2＝8x .
19．（本小题12分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2∶ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M (m,0)在椭圆C 的长轴上，点P 是椭圆上任意
一点．当|MP →
|最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．
答案 (1)x 216＋y 2
12
＝1 (2)1≤m ≤4
解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝2，a b ＝2
3
，
a 2
＝b 2
＋4，
解之得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 2＝16，
b 2＝12.
∴椭圆方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)设P (x 0，y 0)，且x 2016＋y 20
12
＝1，
∴|MP →|2＝(x 0－m )2＋y 20＝x 20－2mx 0＋m 2
＋12(1－x 2016
)
＝14x 20－2mx 0＋m 2＋12＝14(x 0－4m )2－3m 2＋12. ∴|MP →|2为关于x 0的二次函数，开口向上，对称轴为4m .由题意知，当x 0＝4 m 时，|MP →|2最小，∴4m ≥4，∴m ≥1.又点M (m,0)在椭圆长轴上，∴1≤m ≤4.
20. （本小题满分13分）如图所示，已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点)0,1(F ,1C 的中心
和2C 的顶点都在坐标原点，过点)0,4(M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于B A ,两点
（Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；（Ⅱ）若AM =
，求直线l 的方程； （Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求
椭圆1C 的长轴长的最小值。

【答案】解：（1）
(2)设
或12y y ==-
或m = 或280x -=
（3）228
8,11m P m m -⎛⎫
⎪++⎝⎭
椭圆设为
消元整理
综上，存在两点M 符合条件，坐标为)19
19
,21(±
-M ．……………………13分
21. （本小题满分14分）已知点(1,0),(1,0)M N -，动点(,)P x y 满足：
4
1cos PM PN MPN
=
+∠，（1）求P 的轨迹C 的方程；（2）是否存在过点N （1，0）的直线l 与曲线C 相 交于A 、B 两点，并且曲线C 存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若
存在，求出平行四边形OAQB 的面积；若不存在，说明理由。

解：（1）22
1.32
x y +=（Ⅱ）设1122(,)(,)A x y B x y 、，由题意知l 的斜率一定不为0，故不
妨设:1l x my =+，代入椭圆方程整理得22
(23)440m y my ++-=，
显然0.∆> 则121222
44
,2323
m y y y y m m +=-=-++①， 假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ OA OB =+，则点P 的坐标为1212(,)x x y y ++。

由点Q 在椭圆上，即22
1212()() 1.32
x x y y +++=
整理得222211221212232346 6.x y x y x x y y +++++=又A B 、在椭圆上，即
2222112223623 6.x y x y +=+=，故1212233
x x y y +=②
将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++代入由①②解得m =
当m =
12y y ==
从而12330,(0,(22x x A B ==∴3(0,2),(,2OA OB ∴=-=，
所以cos sin
OA OB AOB AOB OA OB ⋅∠==-∠=
sin OAQB S
OA OB AOB =∠=
同理当m =时，可求得OAQB
S =
综上，
存在满足条件的点P ，使得四边形OAPB。