矩阵的相似与相合

2
a 2 0
2 0.
3 1 b 0 0 c
a b 1, 2(ab 2) 4.
解得
a 0, b 1.
或
a 1, b 0.
25
二、方阵可对角化的条件
定理2 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即 A 能对角 化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征 向量. 证: 必要性。
假设存在可逆阵 P, 使 P1AP 为对角阵, 把 P 用其列向量表示为 P ( p1, p2, , pn )， 则由P可逆知 r(P)=n, 因此P 的各列线性无关。
当 2 3 1 时, 解方程 (I A)x 0. 由
~ 2 1 0
I
A
4
2
0
1 0 1
0
1
2
,
1 0 1 0 0 0
8
1
得基础解系
p2
2 1
,
所以 kp2(k 0) 是对应于 2 3 1 的
全部特征向量.
9
2 1 1
例2.
A
0 4
2 1
0 3
,
求 A 的特征值与所有的特征向量.
4 6
0
I A 3 5 0 ( 1)2( 2)
3
6 1
所以 A 的全部特征值为 1 2 1, 3 2.
30
将 1 2 1 代入 ( I A)x 0 得方程组
3 x1 6 x2 0,
3 x1 6 x2 0,
3 x1 6 x2 0.
2
0
解之得基础解系
App
则Aii(i 1, 2, , p)所有特征值恰为A的全部特征值.
定理1 p1, p2 ,
1, 2 ,
设 1, 2 , , m 是方阵 A 的 m 个特征值,
, pm 依次是与之对应的特征向量. 如果
, m 各不相等, 则 p1, p2 , , pm 线性无关.
注意
2
1. 属于不同特征值的特征 向量是线性无关的.
（ x1
0）;
1, 对应特征向量
0 x2
（ x2
0）.
4. 若向量 x 是 A 的对应于特征值 的特征向量, 则 kx (k 0) 也是 A 的对应于特征值 的特征向量. 且对应特征向量的非零线性组合也是 的特征向量.
1
2 3
矩阵----------树干 特征值-------树枝 特征向量----树叶
( a11 )( a22 ) ( ann )
|A|
推论 设 n 阶方阵 A可逆的充要条件是 0不是A的特征值.
14
性质3. 若 是A 的特征值, 则 (1) 当 A 可逆时, 1 是 A1 的特征值； (2) m 是 Am 的特征值 (m 是任意正整数)；
(3) 若A可逆，结论(2)对m为任意负整数也成立.
1
得基础解系
p1
0 1
,
故对应于 1 1 的全体特征向量为
kp1 (k 0).
11
当 2 3 2 时, 解方程 (2I A)x 0. 由
~ 4 1 1
2I
A
0
0
0
4 1 1
0
0
0
,
4 1 1 0 0 0
得基础解系为：
0
p2
1 1
,
1
p3
0 4
,
所以对应于 2 3 2 的全部特征向量为 :
矩 阵 一个矩阵可以有多个特征值；
A
每个特征向量只能对应于一
个特征值。 5
5. n 阶方阵 A 的特征值, 就是使齐次线性方程组
( I A)x 0 有非零解的 值, 即满足方程 I A 0 的 都是矩阵 A 的特征值.
a11 a12
6. I A 0 a21 a22
a1n a2n 0
线性代数
13
性质2. 设 n 阶方阵 A (aij ) 的特征值为 1, 2, , n ,
则有
(1) 1 2 n a11 a22 (2) 12 n A .
证：由根与系数的关系
ann;
A的主对角元的和称 为A的迹，记tr(A)
fA( ) | I A | ( 1)( 2 ) ( n ) n (1 2 n ) n1 (1)n 12 n
1
1 0
,
2
0 1
.
将 3 2 代入 ( I A)x 0, 得方程组的基础解系
1
3
1 1
,
由于 1,2,3 线性无关. 所以 A 可对角化.
31
2 0 1
1 0 0
令
P
(1
,
2
,
3
)
1 0
0 1
1
1 0
02 .
1 2 0
注意 若令
P
k2 p2 k3 p3 (k2 , k3不同时为 0).
12
二、特征值与特征向量的性质
性质1. 设 A 是 n 阶方阵, 则A与AT 的特征值相同.
fAT ( ) I AT ( I A)T
I A fA( ).
由此例可得: n 阶方阵 A 与其转置阵 AT 有相同的特征多项式和特征值，但特征向量 不一定相同。
an1
an2
ann
称以 为未知数的一元 n 次方程 I A 0 为
方阵 A 的特征方程.
记 f ( ) I A , 它是 的 n 次多项式, 称其
为方阵 A 的特征多项式.
6
1 1 0
例1.
求
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和所有的特征向量.
解: A 的特征多项式为
1 1 0
注: 这里A,B的特征向量未必相同.
若Ax x,则 AP(P 1x) x, 即(P 1 AP )(P 1 x) (P 1 x), 或B(P 1 x) (P 1 x).
21
注
(1) A 与 B 相似, 则 det( A) det(B), tr( A) tr(B);
(2) 若 A 与 B 相似, 且 A 可逆, 则 B 也可逆, 且 A1 与 B1 相似;
征值i的重数为si， 则A可对角化的充要条件为 r(i I A) n si .
注：此处可保证(i I A)x 0基础解系中的向量有si个.
29
4 6 0
例1.
设
A
3 3
5 6
0 1
,
问: A 能否对角化?
(1) 若能对角化, 求出可逆阵 P, 使 P 1AP 为对
角阵;(2) 求A10 .
1
矩
2.属于同一特征值的特征向量的非
阵
零线性组合仍是属于这个特征值的特 征向量．
A
3
18
§2. 矩阵的对角化
19
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设 A, B 都是 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 P, 使
P -1 AP B, 则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵 A 与 B 相似. 对 A 进行运算 P-1 AP 称为对 A 进行相似变换, 可 逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
解:
2
I A 0
4
1
2
1
1 0
3
( 1)( 2)2,
得 A 的特征值为 1 1, 2 3 2. 当1 1时, 解方程 (-I-A)x 0. 由
10
当 1 1时, 解方程 (-I-A)x 0. 由
~ 1 1 1
-I
-A
0
3
0
1 1 1
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
20
定理1 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 的特 征多项式相同, 从而 A 与 B 的特征值亦相同.反之不真.
证明 A 与 B 相似, 存在可逆阵 P, 使得 P 1 AP B,
I B P1( I )P P1AP P1( I A)P P1 I A P I A . 证毕
矩阵的相似与相合
§1. 矩阵的特征值与特征向量
2
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设 A 是 n n 阶矩阵, 如果数 和 n 维非零列
向量 x 使关系式
Ax x 成立, 那末, 这样的数 称为方阵 A 的特征值, 非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向量.
说明 1. 特征向量 x 0, 特征值问题是对方阵而言的.
27
可见 i 是 A 的特征值, 而P 的列向量 pi 就 是 A 的对应于特征值 i 的特征向量.
反之, 由于 A 恰好有 n 个特征值, 并可对应地 求得 n 个特征向量, 这 n 个特征向量即可构成矩阵 P, 使 AP P.
又由于 P=(p1, p2, , pn ) 的各列线性无关, 所以 P可逆，即A可对角化P1AP=. 得证
下证P 的各列也是特征向量。
26
由 P1AP , 得 AP P,
1
即 A( p1, p2 ,
, pn ) ( p1, p2 ,
,
pn
)
2
n
(1 p1, 2 p2 , , n pn ).
A( p1, p2 , , pn ) ( Ap1, Ap2 , , Apn )
(1 p1,2 p2 , , n pn ). 于是有 Api i pi , (i 1, 2, , n).
因为相似矩阵有相同的特征值,
则
tr( A) tr(B), | A | | B | .
24
2 0 0
1 0 0
例2.
如果矩阵
A
2 3
a 1
b2
与
B
0 0
2 0
0 c
相似, 求 a,b 的值.
由
tr( | A
A) |
tr(B), |B|.
得
2 a b 1 2 c,
2
0
0
1 0 0
15
注. 一般地，若 是 A 的特征值, 且 (x)为 一个多项式, 则 ( )为 (A)的特征值.
其中( x) a0 a1x a2 x2 am xm , ( A) a0I a1A a2 A2 am Am .
例3. 已知三阶方阵A的特征值为 1,1, 2,求 A2 2A1-4I 的特征值及 A2 2A1-4I .
即A PP1为零矩阵，矛盾。
23
2 0 0
1 0 0
例1.
如果矩阵
A
2 3
a 1
2 b
与B
0 0
2 0
0 c
相似, 求 a,b 的值.
解 因为 A是分块的下三角阵, 所以 2 是 A 一个的特征值,
而相似矩阵有相同的特征值,
所以 2 也是 B 一个的特征值,
B 是对角阵有特征值 1,2,c, 所以 c 2,
证 (1) 当 A 可逆时, 0, 由 Ax x 可得
A1( Ax) A1( x) A1 x, A1 x 1 x,
(2)A( Ax) A( x) ( Ax) ( x),
A2 x 2 x, Am x m x, （m是正整数）
(3)当m是负整数时,Am =(A1 )m , 因此( 1 )m = m是Am的特征值.
(3) A 与 B 相似, 则 kA 与 kB 相似, k 为常数;
(4) 若 A 与 B 相似, 而 f ( x) 是一多项式, 则 f ( A) 与 f (B) 相似.
因为当矩阵P满足P1AP B时， Bm (P 1 AP )m P 1 Am P.
22
1
推论
若 n 阶方阵 A 与对角阵
2
n
相似, 则 1, 2 , , n 即是 A 的 n 个特征值.
注 (1)对 n 阶方阵 A, 若可找到可逆矩阵 P, 使得 P1AP 为对角阵, 这就称为把方阵 A 对角化.
(2)
并非所有方阵都可以对角化.
如A=
0 0
1 0 .
0 0
若A可对角化为P1AP ,则
=
0
0
,
3
2. 代数上，特征值问题就是研究何种条件下，
f ( x) Ax = x是简单的线性函数；
3. 几何上，特征值向量是这样的一些向量，即 这些向量经过映射f ( x) Ax变化后得到的新向量
与原向量平行：若同向，则 >0；否则 <0.
如：A=
1 0
0 1
，由A x =
x得
1,
对应特征向量
x1 0
28
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等, 则 A 与对角阵相似.
说明 如果 A 的特征方程有重根, 此时不一定有 n 个线性无关的特征向量, 从而 A 不一定能对角 化; 但如果能找到 n 个线性无关的特征向量, A 还是能对角化. 定理 若n阶方阵 A 有m个不同的特征值，且特
解. A2 2A1-4I的特征值为
(1)2 2(1)1 4= 5， 12 2(1)1 4= 1 (2)2 2(2)1 4=1
故 A2 2A1-4I =(-5)(1) 1 5. 16
性质4 分块上(下)三角阵
A11 A12
A=
A22
A1 p
A2
p
,
Aii为ni阶方阵,
I A 4 3 0 ( 2)( 1)2 ,
1
0 2
所以 A 的特征值为 1 2, 2 3 1.
当 1 2 时, 解方程 (2I A)x 0. 由
7
~ 3 1 0
2
I
A
4 1
1 0
0 0
1 0 0
0 0
1 0
0 0
0
得基础解系
p1
0 1
,
所以 kp1(k 0) 是对应于 1 2 的全部特征向量.