福建省厦门市翔安区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案解析)

① b2 4ac 0 ； ② abc<0 ； ③abc 0；
④若点 A(a 1, y1) 、 B(a 2, y2 ) 在抛物线上，则 y1 y2 ；
⑤ am2 bm a b （m 为任意实数）．
其中结论正确的结论有
．
17．解方程：x2+2x﹣3＝0（公式法）
18．先化简，再求值：
1
1 a
A．180（1﹣x）2=461
B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442
D．368（1+x）2=442
8．抛物线 y＝x2﹣2x＋1 与坐标轴的交点个数是（ ）
A．x2 6x c 的若干组自变量 x 与函数值 y 的对应值：
x …0
试卷第 5页，共 5页
1．D
参考答案：
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180
A． y = 8 x 32 5
B． y = 8 x 32 5
C． y = 8 x 32 5
D． y = 8 x 32 5
7．某厂家 2020 年 1～5 月份的口罩产量统计如图所示．设从 2 月份到 4 月份，该厂家 口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方程（ ）
试卷第 1页，共 5页
好落在 BC 的延长线上，则旋转角的度数为 ．
15．已知点 A(4, y1), B(0, y2 ),C(3, y3) 在函数 y x2 2x m 的图象上，则 y1, y2, y3 的大小
关系为
．（用“＜”连接）
三、解答题
试卷第 2页，共 5页
16．如图，函数 y ax2 bx c经过点 (3, 0) ，对称轴为直线 x 1，则：
21．已知二次函数 y x2 ax b 过点 A0, 3, B 1, 4 ．
试卷第 3页，共 5页
(1)求出该二次函数的解析式； (2)用描点法在直角坐标系中画出该二次函数的图象． 22．某企业准备对 A，B 两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素
进行分析得知：投资 A 项目一年后的收益 yA（万元）与投入资金 x（万元）的函数表达
答案第 2页，共 14页
综上所述，抛物线 y x2 2x1与坐标轴的交点个数是 2 个．
故选 C． 【点睛】此题考查了抛物线与坐标轴的交点，其中令抛物线解析式中 x 0 ，求出的 y 值即 为抛物线与 y 轴交点的纵坐标；令 y 0 ，求出对应的 x 的值，即为抛物线与 x 轴交点的横坐 标． 9．C 【分析】此题考查了图表法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．观 察表格可得当 y 0.28 时更接近于 0 ，所以得到方程的一个近似根是 0.6 ． 【详解】解：观察表格得：当 x 0.4 时， y 8.32 ，当 x 0.6 时， y 0.28 ， 方程 3x2 6x c 0 的一个根最接近 0.6 ， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的 夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．同时考查了两点之间线段最短．把 △ APC 绕 A 逆时针旋转 60°得到△APC ，根据旋转的性质得到 CAC=PAP=60 ， AC AC ， AP AP， PC PC ，则有 APP 为等边三角形，得 PP AP ,又 BAC 120 ，得到 B，A， C′共线，根据两点之间线段最短得到 BC＜BP PP PC ，即得解答． 【详解】解：把△APC 绕 A 逆时针旋转 60°得到△APC ，如图
款及其他结余资金共计 32 万元，全部投入到 A，B 两个项目中，当 A，B 两个项目分别
投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
23．已知关于 x 的一元二次方程 x2 4x 3 2m 0 有两个不相等的实数根．
(1)求实数 m 的取值范围；
(2)若 x1 、 x2 是该方程两个根，且满足 x1x2 x1 x2 m 2 4 ，求 m 的值．
a2 a
1
，其中
a
=
3 -1．
19．如图，已知 BD 是 ABC 的中线．
(1)尺规作图：作 EAD ，使其与△BCD 关于点 D 中心对称； (2)证明：四边形 ABCE 为平行四边形． 20．今年 12 月，翔安区将组织一次中学生篮球联赛，届时将在各校选拔一定数量队伍 参赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只比赛一场），计划安排 15 场比赛，则应该邀 请多少支球队参加比赛？
4．二次函数 y＝﹣（x﹣2）2+5 图象的顶点坐标是（ ）
D．1
A．（﹣2，5） B．（2，5）
C．（﹣2，﹣5）
D．（2，﹣5）
5．将 AOB 绕点 O 旋转180 得到 DOE ，则下列作图正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．将抛物线 y 8x2 向左平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，得到的抛物线是（ ）
二、填空题
11．一元二次方程 x2 3 的根是
．
12．在平面直角坐标系中，点 (11,9) 关于原点的对称点的坐标是
．
13．若关于 x 的一元二次方程 6x2 5x a 0 无实数根，则 a 的取值范围是
．
14．如图，在 ABC 中，B 45 ，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转，得到V ADE ，点 D 恰
故答案为 x1 3, x2 3 ． 12． (11, 9) 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐 标都互为相反数解答． 【详解】在平面直角坐标系中，点 (11,9) 关于原点对称的点是 (11, 9) ． 故答案为: (11, 9) ． 13． a 25
∴ CAC=PAP=60 ， AC AC ， AP AP， PC PC ， ∴ APP 为等边三角形， ∴ PP AP ， ∵ BAC 120 ， BAC=120 60=180 ，
答案第 3页，共 14页
即 B，A，C′共线， BC＜BP PP PC ， 即 AB AC＜AP BP CP ． 故选：B． 11． x1 3, x2 3 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解： x2 3 直接开平方得： x 3 ， 所以 x1 3, x2 3 ．
式为：
yA
2 5
x
，投资
B
项目一年后的收益
yB
（万元）与投入资金
x（万元）的函数表
达式为：
yB
1 5
x2
2x
．
(1)若将 10 万元资金投入 A 项目，一年后获得的收益是多少？
(2)若对 A，B 两个项目投入相同的资金 m（ m 0 ）万元，一年后两者获得的收益相等，
则 m 的值是多少？
(3)2023 年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税
A．
B．
C．
D．
2．一元二次方程 x2 4x 1 0 配方后化为（ ）
A． x 22 3 B． x 22 5
C． x 22 3
D． x 22 5
3．关于 x 的一元二次方程 2x2 x a2 1 0 的一个根是 0 ，则 a 的值为（ ）
A．
1 2
B． 1
C．1或 1
福建省厦门市翔安区 2023-2024 学年九年级上学期期中数学 试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图 案是中心对称图形的是（ ）
0.2 0.4 0.6
0.8
…
y … 2.24 1.16 0.32 0.28 0.64 …
你认为方程 3x2 6x c 0 的一个根最接近（ ）
A． 0.2
B． 0.4
C． 0.6
D． 0.8
10．如图，在 ABC 中， BAC 120 ， P 是 ABC 内的一点，则（ ）
A． PA PB PC＜AB AC B． PA PB PC＞AB AC C． PA PB PC=AB AC D． PA PB PC 与 AB AC 的大小关系不确定，与 P 点位置有关
(1)①点 C 坐标为 ；②点 A 坐标为 ；③抛物线的表达式为 ； (2)分别延长 AO，BO ，交抛物线于点 F，E，求 F，E 两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 S1 ，将抛物线沿水平方向平移 m
个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为
度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．B
【分析】移项，配方，即可得出选项；
【详解】解： x2 4x 1 0 ，
x2 4x 1,
x2 4x 4 1 4,
(x 2)2 5,
故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键． 3．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义．根 据方程根的定义，把 x 0 代入关于 x 的一元二次方程 2x2 x a2 1 0 中，得到关于 a 的方 程，然后解方程即可． 【详解】解：把 x 0 代入关于 x 的一元二次方程 2x2 x a2 1 0 得： a2 1 0 ， a2 1， a 1， 故选：C． 4．B 【分析】根据二次函数顶点式解析式直接写出顶点坐标即可．
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【详解】y＝﹣（x﹣2）2+5 图象的顶点坐标是（2，5）． 故选 B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解 题的关键． 5．D 【分析】把一个图形绕某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转. 【详解】解：观查选项中的图形，只有 D 选项为△ABO 绕 O 点旋转了 180°. 【点睛】本题考查了旋转的定义. 6．B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．熟 记二次函数图象的平移规律是解题的关键．
【详解】解：将抛物线 y 8x2 向左平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位 y = 8 x 32 5 ，
故选：B． 7．B 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增 长率为 x，根据“2 月份的 180 万只，4 月份的产量将达到 461 万只”，即可得出方程． 【详解】解：从 2 月份到 4 月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为 x，根据题意可得方程： 180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 8．C 【分析】当 x 0 时，求出与 y 轴的纵坐标；当 y 0 时，求出关于 x 的一元二次方程
x2 2x 1 0 的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线 y x2 2x1与
x 轴的交点个数．
【详解】解：当 x 0 时， y 1，则与 y 轴的交点坐标为 0,1 ，
当 y 0 时， x2 2x 1 0 ，
22 411 0 ，
所以，该方程有两个相等的解，即抛物线 y x2 2x1与 x 轴有 1 个点．
24．雨伞生活中的常见物品，撑开后的雨伞（如图 1）是我们熟悉的数学模型——抛物
线．在如图 2 所示的直角坐标系中，伞柄在 y 轴上，伞骨 OA，OB 的交点为坐标原点 O，
OC
1
，点
A，B
在抛物线上，且
OA、OB
关于
y
轴对称，点
A
到
x
轴的距离是
3 5
．A、
B 两点之间的距离为 4．
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S2
．若
S2
3 5
S1 ．求
m
的值．
25．已知，点 O 是等边 ABC 内的任一点，连接 OA ， OB ， OC ．
(1)如图1所示，已知 AOB 150 ，BOC 120 ．将 BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60 得△ADC ． ①求 DAO 的度数； ②用一个等式表示线段 OA ， OB ， OC 之间的数量关系，并证明； (2)设 AOB ，BOC ．当 ， 满足什么关系时，OA OB OC 有最小值？请 在图 2 中画出符合条件的图形，并说明理由．