高中数学第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案新人教A版选修1

1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)
[自主预习·探新知]
1．四种命题的概念及表示形式
命题为“若，则
否命题为“若
(1)四种命题之间的关系
(2)四种命题间的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？
(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？
[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．
(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )
(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．
[答案](1)×(2)√(3)√
2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”
B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”
D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”
B[根据逆命题的定义知，选B.]
3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
【导学号：97792019】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题
C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.]
[合作探究·攻重难]
否命题．
(1)相似三角形对应的角相等；
(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；
(3)正方形的对角线互相平分．
[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；
逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；
否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；
逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．
(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；
逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；
否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；
逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.
(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；
逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；
逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．
[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法
(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．
(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．
2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：
1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )
【导学号：97792019】A．若y≠kx，则x与y成正比例关系
B．若y≠kx，则x与y成反比例关系
C．若x与y不成正比例关系，则y≠kx
D．若y≠kx，则x与y不成正比例关系
D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.]
(2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．
若a，b至少有一个为零，则ab＝0 [“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab
＝0”．]
否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．4个
(2)判断命题“若a ≥0，则x 2
＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假． [思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可． (2)思路一 写出原命题的逆否命题→判断其真假
思路二 原命题与逆否命题同真同假即等价关系
→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假
[解析] (1)当c ＝0时，ac 2
>bc 2
不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac 2
>bc 2
，则a >b ”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.
[答案] C
(2)法一：原命题的逆否命题：若x 2
＋x －a ＝0无实根，则a <0. ∵x 2
＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a <0，解得a <－14<0，
∴原命题的逆否命题为真命题．
法二：∵a ≥0，∴4a ≥0，∴对于方程x 2
＋x －a ＝0，根的判别式Δ＝1＋4a >0，∴方程
x 2＋x －a ＝0有实根，故原命题为真命题．
∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题． 解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为
真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二
者只判断一个即可[跟踪训练2．判断下列四个命题的真假，并说明理由． (1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题； (2)“若x >y ，则x 2
>y 2
”的逆否命题； (3)“若x ≤3，则x 2－x －6>0”的否命题； (4)“对顶角相等”的逆命题．
[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．
(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．
(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．
1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？
提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．
2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．
提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．
(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－
a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
【导学号：97792019】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．
[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”
等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，
若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．
若a≠0，由题意知{aΔ＝4a2＋12a≤0，即{a－3≤a≤0，
∴－3≤a<0
综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.
[答案][－3,0]
(2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．
若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．
即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1
＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．
[当堂达标·固双基]
1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )
A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉B
C．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A
C[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，
是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]
4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.
【导学号：97792019】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]
5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．
(2)命题p的否命题是真命题．
判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．。