高中数学新人教B版必修4课堂测试 弧度制和弧度制与角度制的换算

课时跟踪检测（二） 弧度制和弧度制与角度制的换算
层级一 学业水平达标
1．下列说法中，错误的是( )
A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B ．1°的角是周角的
1360，1 rad 的角是周角的12π
C ．1 rad 的角比1°的角要大
D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
解析：选D 由角度制和弧度制的定义，知A 、B 、C 说法正确．用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D 说法错误．
2．扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16
D ．32
解析：选C 弧长l ＝2r,4r ＝16，r ＝4，得l ＝8， 即S ＝1
2
lr ＝16.
3．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π
2内，则角α所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π
2的终边在y 轴的非正半轴上，故
角α为第三象限角．
4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A. 143π B ．－
143π C. 718
π D ．－
718
π 解析：选B 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了7
3周，转过的弧
度为－73×2π＝－143
π.
5．下列表示中不正确的是( )
A ．终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z}
B ．终边在y 轴上的角的集合是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α|α＝π2＋k π，k ∈Z
C ．终边在坐标轴上的角的集合是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α|α＝k ·π2
，k ∈Z
D ．终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|α＝π4＋2k π，k ∈Z
解析：选D 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|α＝π4＋k π，k ∈Z .
6．－135°化为弧度为________，11π
3化为角度为________．
解析：－135°＝－135×π180＝－3
4π，
113π＝11
3×180°＝660°. 答案：－3
4
π 660°
7．扇形的半径是6，圆心角是60°，则该扇形的面积为________． 解析：60°＝π3，扇形的面积公式为S 扇形＝12αr 2＝12×π3×(6)2＝π.
答案：π
8．设集合M ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|α＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________.
解析：由－π<k π2－π3<π，得－43<k <8
3.
∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1,2， ∴M ∩N ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－5
6π，－π3，π6，23π.
答案：⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－5
6π，－π3，π6，23π
9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4. 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝1
2
l ·R .
联立⎩⎪⎨⎪⎧
2R ＋l ＝4，12l ·
R ＝1，解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝2
1＝2.
10．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)23
6
π；(3)－4.
解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π
3
， ∴－1 500°与5π
3终边相同，是第四象限角．
(2)∵
236π＝2π＋116π，∴236π与11
6
π终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
层级二 应试能力达标
1．下列转化结果错误的是( ) A ．60°化成弧度是π
3
B ．－10
3π化成度是－600°
C ．－150°化成弧度是－7
6π
D.π
12
化成度是15° 解析：选C 对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－10
3
×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×
π180＝－56π；对于D ，π12＝1
12
×180°＝15°.故C 错误． 2．集合⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )
解析：选C 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π
2，m ∈Z ；
当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋
5π4≤α≤2m π＋3π
2
，m ∈Z ，所以选C. 3．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π
4有相同的终边，那么α与β间的关
系为( )
A ．α＋β＝0
B ．α－β＝0
C ．α＋β＝2k π(k ∈Z)
D ．α－β＝π
2
＋2k π(k ∈Z)
解析：选D ∵α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z)，β＝x －π
4＋2k 2π(k 2∈Z)，
∴α－β＝π
2＋2(k 1－k 2)·π(k 1∈Z ，k 2∈Z)．
∵k 1∈Z ，k 2∈Z ，∴k 1－k 2∈Z. ∴α－β＝π
2＋2k π(k ∈Z)．
4.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M 带着从动轮N 转动(如图所示)，设主动轮M 的直径为150 mm ，从动轮N 的直径为300 mm ，若主动轮M 顺时针旋转π
2
，则从动轮N 逆时针旋转( )
A.π8
B.π4
C.π2
D ．π
解析：选B 设从动轮N 逆时针旋转θ rad ，由题意，知主动轮M 与从动轮N 转动的弧长相等，所以1502×π2＝3002×θ，解得θ＝π
4
，选B.
5．若角α的终边与8
5π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是
____________．
解析：由题意，得α＝8π
5＋2k π(k ∈Z)，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z)．
令k ＝0,1,2,3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π
10.
答案：
2π5，9π10，7π5，19π
10
6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________．
解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则l ＝αr .设将圆的半径变为原来的3倍后圆心角为α1，则α1＝l 3r ＝αr 3r ＝α3
，故α1α＝1
3.
答案：1
3
7．已知α＝1 690°.
(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0,2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518
π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2k π＋25
18
π(k ∈Z)． 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2k π＋
25
18
π<4π(k ∈Z)． 解得－9736<k <47
36(k ∈Z)，∴k ＝－2，－1,0,1.
∴θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118
π.
8.如图，已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小； (2)求α所对的弧的长度l 及阴影部分的面积S . 解：(1)由于圆O 的半径为10，弦AB 的长为10， 所以△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝π3，所以α＝π
3.
(2)因为α＝π3，所以l ＝α·r ＝10π
3.
S 扇＝12lr ＝12×10π3×10＝50π
3，
又S △AOB ＝1
2×10×53＝253，
所以S ＝S 扇－S △AOB ＝
50π3－253＝50⎝⎛⎭
⎫π3－32.。