高中数学第三章空间向量与立体几何章末整合提升课件新人教A版选修2_1

(3)用法向量求直线到平面的距离 首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化为直线上 一点到平面的距离问题． (4)用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平 面间的距离问题转化为点到平面的距离问题．
专题突破
专题一 ⇨空间向量的基本概念和几何运算
3．空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式 a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉及其变式 cos〈a， b〉＝|aa|··|bb|是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如 a2＝ |a|2，a 在 b 上的投影a|b·b| 等．
• 4．线面位置关系 • 用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下． • (1)线线平行 • 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． • (2)线线垂直 • 证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则 a⊥b⇔a·b＝0．
(3)由空间向量的基本定理可设
A→N ＝kA→B＋mA→A1＋nA→C
∵四点 A1，B，C，N 共面 ∴k＋m＋n＝1
∵A→N ＝yA→P
∴y[(1－12x)A→A1＋(1－x)A→C＋xA→B] ＝kA→B＋mA→A1
∴yy11－ －12xx＝＝nm yx＝k
∴yx＋y(1－x)＋y(1－12x)＝1
(1)求证：直线 EF∥AC1； (2)若 EF 是两异面直线 B1D1、A1B 的公垂线，求证：该长方体为正方体．
[解析] (1)证明：以 DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系．设 DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标， A(a,0,0)、C1(0，b，c)、E(23a，23b，c)、F(a，b3，23c)．
典例 2 如图，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，M、Q 分别是 BB1、BC1 的中点， 点 P 在线段 C1M 上，且C→1P＝xC→1M，
(1)用向量A→B、A→C、A→A1表示向量A→Q．
(2)用向量A→B，A→C ，A→A1表示向量A→P．
(3)若 AP 与平面 A1BC 交于 N，A→N＝yA→P， 求出 y 关于 x 的函数关系式．
(2)斜三棱柱 OAB－CA1B1，其中向量O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，三个向量之间 的夹角均为π3，点 M、N 分别在 CA1、BA1 上，且C→M＝12M→A1，B→N＝N→A1，|O→A|＝2， |O→B|＝2，|O→C|＝4，如图．
①把向量A→M用向量 a、c 表示出来，并求|A→M|； ②把向量O→N用 a、b、c 表示； ③求 AM 与 ON 所成角的余弦值．
C．(0,6，－6)
D．(6,6，－6)
(2)已知 a＋b＝(2， 2，2 3)，a－b＝(0， 2，0)，则 cos〈a，b〉＝ ( A )
A．
6 3
B．
6 6
C．13
D．16
[解析] (1)∵b＝12x－2a ∴x＝2b＋4a ＝2(－4，－3，－2)＋4(2,3，－4) ＝(－8，－6，－4)＋(8,12，－16) ＝(0,6，－20) (2)a＋b＝(2， 2，2 3)，a－b＝(0， 2，0)
1．空间向量的加减运算 空间向量的加、减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平 面向量的加减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的． 2．空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算、平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量 的性质是一致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的 向量共面，特别地，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x， y)，使A→P＝xA→B＋yA→C．
典例 5 (2017·全国Ⅱ理，19)如图，四棱锥 P－ABCD 中，侧面 PAD 为等边 三角形且垂直于底面 ABCD，AB＝BC＝12AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E 是 PD 的 中点.
(4) 向 量 长 度 ： 设
M1(x1
，
y1
，
z1)
，
M2(x2
，
y2
，
z2)
，
则
|
→ M1M2
|
＝
x1－x22＋y1－y22＋z1－z22．
典例 3 (1)已知 a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝12x－2a，则 x＝
A．(0,3，－6)
B．(0,6，－20)
( B)
(3)求斜线与平面所成的角 如图，设平面 α 的法向量为 n1，斜线 OA 的方向向量为 n2，斜线 OA 与平面 所成的角为 θ，则 sin θ＝|cos〈n1，n2〉|．
6．空间距离 (1)用直线的方向向量与投影构造直角三角形求点线距离 (2)用法向量求点到平面的距离 已知 AB 是平面 α 的一条斜线，n 为平面 α 的法向量，则 A 到平面 α 的法向量， 则 A 到平面 α 的距离为 d＝|A→|Bn·|n|．
• (5)面面平行 • ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； • ②转化为线面平行、线线平行问题． • (6)面面垂直 • ①证明两个平面的法向量互相垂直； • ②转化为线面垂直、线线垂直问题．
5．空间角 (1)求异面直线所成的角 设两异面直线的方向向量分别为 n1，n2，那么这两条异面直线所成的角为 θ ＝〈n1，n2〉或 θ＝π－〈n1，n2〉，故 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|． (2)求二面角的大小 如图，设平面 α，β 的法向量分别为 n1，n2.因为两平面的 法向量所成的角(或其补角)就等于平面 α，β 所成的锐二面角 θ， 所以 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|．
又|O→N|2＝O→N2＝14(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)
＝14(22＋22＋42＋2×2＋2×4＋2×4)＝11，所以|O→N|＝ 11．
所以
cos〈A→M，O→N〉＝|AA→→MM|·|OO→→NN |＝4
3
26 3 7×
＝1315477， 11
所以 AM 与 ON 所成角的余弦值为1315477．
新课标导学
数学
选修2-1 · 人教A版
第三章 空间向量与立体几何
章末整合提升
1
知识网络
2
知识整合
3
专题突破
知识网络
知识整合
1．空间向量的加减运算 (1)空间向量可以看作是平面向量的推广，注意空间向量的三维多向性，有许 多概念的定义是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量． (2)空间向量的加减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平 面向量的加减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的．
专题四 ⇨利用空间向量求空间角
(1)求两异面直线所成的角 设 a、b 分别是异面直线 l1，l2 上的方向向量，θ 为 l1，l2 所成的角，则 cosθ＝ |cos〈a，b〉|＝||aa|·|bb||．
(2)求直线与平面所成的角 设 l 为平面 α 的斜线，a 为直线的方向向量，n 为平面 α 的法向量，θ 为 l 与 α 所成的角，则 sinθ＝|cos平面 α、β 的法向量，二面角为 θ，则 θ＝〈n1，n2〉或 θ＝π －〈n1，n2〉(需要根据具体图形判断是相等还是互补)．
• (3)线面平行 • 用向量证明线面平行的方法主要有 • ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； • ②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量； • ③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量用直 线的方向向量线性表示． • (4)线面垂直 • 用向量证明线面垂直的方法主要有 • ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； • ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
2．空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 (1)空间向量的数乘运算，平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量 的性质是一致的． (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线向 量共面．特别地，空间一点位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)， 使A→P＝x·A→B＋y·A→C．
∴a＝(1， 2， 3)，b＝(1,0， 3) ∴cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝ 16＋×32＝ 36．
专题三 ⇨利用空间向量解决平行与垂直问题
• 空间中的平行与垂直关系，是高考的重点题型，有些问题中的线面 平行与垂直关系，使用向量将几何证明与计算转化为纯代数运算， 使问题得以简化．
典例 4 如下图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别是面对角线 B1D1、 A1B 上的点，且 D1E＝2EB1，BF＝2FA1．
3．空间向量的数量积 (1)空间向量的数量积的定义表达式 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉及其变式 cos〈a，b〉 ＝|aa|·|bb|是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如|a|2＝a2， a 在 b 上的投影a|b·b| 等．
典例 1 (1)在以下命题中，不正确的是___①__②_③__⑤____. ①|a|－|b|＝|a＋b|是 a、b 共线的充要条件；②若 a∥b，则存在惟一的实数 λ， 使 a＝λb；③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若O→P＝2O→A－2O→B－O→C， 则 P、A、B、C 四点共面；④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c ＋a}构成空间的另一个基底；⑤|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|．
②因为B→N＝N→A1，所以 N 为 A1B 的中点，
所以O→N＝12(O→A1＋O→B)＝12(O→A＋O→C ＋O→B )＝12(a＋b＋c)．
③因为 a·b＝2×2×cosπ3＝2，a·c＝b·c＝4，
所以 A→M·O→N ＝(－23a＋c)·12(a＋b＋c)
＝12(－23a2－23a·b－23a·c＋a·c＋b·c＋c2) ＝12(－23×4－23×2－23×4＋4＋4＋42)＝236，
∴y＝4－2 x(0≤x≤1)即为所求关系式．
专题二 ⇨空间向量的坐标运算
熟记空间向量的坐标运算公式
设 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
(1)加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2)．
(2)数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．
(3)向量夹角：cos〈a，b〉＝ x21＋x1xy221＋＋zy211y2x＋22＋z1yz222＋z22．
[解析] (1)A→Q＝A→B ＋B→Q ＝A→B ＋12B→C1 ＝A→B ＋12(A→C1－A→B ) ＝A→B ＋12A→C1－12A→B ＝12A→B ＋12A→A1＋12A→C ＝12(A→B ＋A→A1＋A→C )
(2)A→P ＝A→B ＋B→P ＝A→B ＋B→C1＋C→1P ＝A→B ＋B→C ＋B→B1＋xC→1M ＝A→B ＋A→C －A→B ＋A→A1＋x(C→1B1＋B→1M) ＝A→C ＋A→A1＋x(A→B －A→C )－2xA→A1 ＝xA→B＋(1－12x)A→A1＋(1－x)A→C
[解析] (1)①②③⑤ (2)①A→M＝A→O＋O→C＋C→M＝－O→A＋O→C＋13O→A＝－23a＋c， 因为 a·c＝|a||c|cosπ3＝2×4×12＝4， 所以A→M2＝(－23a＋c)2＝49a2－43a·c＋c2 ＝49×22－43×4＋42＝16× 9 7． 所以|A→M|＝4 3 7．
从而F→E＝(－a3，b3，3c)、A→C1＝(－a，b，c)， ∴F→E＝13A→C1． 又 FE 与 AC1 不共线，所以直线 EF∥AC1．
(2)∵D1(0,0，c)、B1(a，b，c)、A1(a,0，c)、B(a，b,0)， ∴D→1B1＝(a，b,0)、A→1B＝(0，b，－c)． ∵EF 是两异面直线 B1D1，A1B 的公垂线， ∴FF→ →EE··DA→→11BB＝1＝00， 即1313－ －aa， ，bb， ，cc··a0， ，bb， ，－0＝c＝0 0， 化简，得 a2＝b2＝c2，∴a＝b＝c． 所以该长方体为正方体．