三角形的初步知识
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强调：“对应相等”。
阶段性小结：
有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）
有两个角和一边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）。
ASA
AAS
角平分线和点到直线的距离的概念：
观察图形思考：
①点P到角两边的距离各是什么？（PC和PB）
它们相等吗？
A.1对B.2对
C.3对D.4对
二、专心填一填：（每小题3分，共24分）
13.三角形的内角和等于，三角形的外角和等于.
14.已知直角三角形的两锐角之比为1∶2，则这两个锐角的度数分别为.
15.在△ABC中，∠C=900,∠A=370，则∠B=.
16.在△ABC中，∠B=∠C,∠A=720，则∠C=.
①所带去那一片等于带去了三角形的几个元素？
②这样的三角形唯一吗？
归纳总结：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。
用数学语言叙述：
如图，在△ABC和△A′B′C′
中,∠B=∠B′,∠C=∠C′
BC= B′C′,则△ABC≌△A′B′C′
有两个角和一边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：初二课时数：
学员姓名：辅导科目：学科教师：
授课类型
T(同步知识主题)
C（专题方法主题）
T（学法与能力主题）
授课日期及时段
教案内容
三角形的初步知识（2）
一、全等三角形
概念1：能够重合的图形称为全等图形。
概念2：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
相关的概念：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
记作：全等的符号为“≌”。
例如：如图，△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，对应顶点为：点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′；
对应边为：AB与A′B′，AC与A′C′，BC与B′C′；
对应角为：∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′。
注意：记全等三角形时，应将对应顶点的字母写在对应的位置上。
∴PC=PB
强调：点到直线的距离的表示方法，防止出现“∵OP平分∠AOB，∴PC=PB”的错误。
这是证明两线段相等的又一方法。
练习：
1．如图，已知△ABC中，∠C=90°，C
AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，
DE⊥AB于E，且AB=6，则△DEBD
的周长为多少？并请说明理由。
2．设计题：假如你是设计师！A E B
三角形的稳定性和四边形的不稳定性：
2、全等三角形的条件（2）“SAS”
例、小红为了测出池塘两端A，B的距离，她在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D都在一条直线上，小红量出DC=18M，她就知道AB的距离了，你想知道为什么吗？
思考：
把两根木条的一端用螺栓固定在一起。
△ABC≌△A′B′C′。
例题：
1．如图，AB，CD相交于O，OA=OB，OC=OD，请问AC平行于BD吗？为什么？
2．如图，已知AB⊥BD，ED⊥CD，且AB=CD，BC=DE，请问△ABC是否全等于CDE？AC是否垂直于CE？为什么？
引伸：若将△CDE沿CB方向平移，且其余条件不变，则结论AC1⊥C2E还成立吗？请说明理由。
25.(本题6分)如图，在△ABC中，（1）作角平分线AD；（2）作AB边上的中线；（3）作AC边上的高.
26.(本题5分)如图，已知中，∠BAC=900,画出BC边上的中线AM,并分别量出AM,BC的长，并比较AM与 BC的大小，若∠BAC不等于900，则结论是否成立.
如图，延长AC至D，使AC=DC，
延长BC至E，使BC=EC，说出
AB=DE的理由，利用本题思路，
请你设计一种测量底部不可到
达的物体的宽度（如湖面宽、山宽等）。
第一章三角形的初步认识
一、细心选一选（每小题3分，共36分）
1.下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是………………………………( )
A.4，2，2B.6，3，2C.2，3，6D.3，6，6
①问：连结另两端所成的三角形能唯一确定吗？
②如果将两条木条之间的夹角（即∠BAC）大小固定，那么
△ABC能唯一确定吗？
归纳：
有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。
（强调：必须是“对应相等”。）
几何语言：
如图，若∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，BC=B′C′则
AB=AC，AD=AE，则还需
添条件（）E D
A．∠B=∠C B．∠D=∠E O
C．∠EAB=∠DAC
D．∠EOB=∠DOC B C
2、全等三角形的条件（3）“AAS”
例：小美不小心将一块三角形玻璃摔碎成如图（1）三片，现在只需带上其中一片，玻璃店的师傅就能重新配一块与原来相同的三角形玻璃，你知道应带哪一片玻璃去吗？
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
几何语言：如上图：∵△ABC≌△A′B′C′
∴AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
二、全等的条件
1、全等三角形的条件（1）“SSS”
三角形全等判定条件：有三边对应相等的两个三角形全等。（简写成“边边边”或“SSS”）
4.在△ABC中,∠A=360,∠B=470.则△ABC是…………………………………( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形
5.在三角形中，最大的内角不能小于…………………………………………( )
A.300B.450C.600D.900
6.若AD是△ABC的中线则下列结论不正确的是………………………………( )
24.(本题5分)如图，已知△ABC中，∠ACB=900,CD⊥AB,∠BCD=310,求∠B的度数.
24.(本题6分)如图，已知AB=DC，AD=BC,说出下列判断成立的理由：
(1)△ABC≌△CDA (2)∠B=∠D
23.(本题5分)如图，已知BD=CD，∠1=∠2.
说出△ABD≌△ACD的理由.
练习：
1．下列条件中，可以确定△ABC和△A′B′C′全等的是（）
A．BC=BA，B′C′=B′A′，∠B=∠B′
B．∠A=∠B′ AC=A′B′ AB=B′C′
C．∠A=∠A′ AB=B′C′ AC=A′C′
D．BC=B′C′ AC=A′B′∠B=∠C′
2．如图，根据“SAS”来判定
△ABD≌△ACE，若已知A
垂足分别是D、F,若∠AED=1400,则∠C=.
三、耐心答一答：（本题有8小题，共40分）
21.(本题4分)已知△ABC的周长为22cm，三边的长度之比为2∶4∶5，求这个三角形的三边长.
22.(本题4分)三角形的三个内角之比为3∶4∶5，求此三角形的三个内角的度数.
23.(本题5分)如图，已知△ABC中，∠BAC=∠C,BD是∠ABC的平分线，∠BDC=750.求∠A的度数.
17.a、b、c是△ABC的三边长，已知a=3cm，b=7cm，则第分别是.
19.如图，△ABC≌△DEF,点B和点E,点A和点D是对应顶点，
则AB=，CB=,∠C=,∠CAB=.
20.如图，△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一点，ED⊥BC, DF⊥AB,
2.下列说法正确的是……………………………………………………………( )
A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等
C.三个角对应相等的两个三角形全等D.三条边对应相等的两个三角形全等
3.三角形的角平分线、中线、高线是………………………………………………( )
A.直线B.射线C.线段D.都可以
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定
9.在下列长度的四根木棒中能与4cm，9cm长的两根木棒首尾相接，钉成一个三角形的是…………………………………………………………………………………( )
A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm
10.锐角三角形中，任意两角之和一定大于( )
②若在角平分线AP上任意取一点P′，作P′B′⊥AB，P′C′⊥AC，垂足分别为点B′，C′，则P′B′与P′C′相等吗？试着说明理由。
③通过对①②的解答，你能得出什么结论？
（学生可能会回答所得到的两个三角形全等等结论。）
归纳：角平分线上的点到角的两边距离相等。
可以表述成：∵OP平分∠BAC
PC⊥AC，PB⊥AB，垂足分别是点C，B，
A.AD平分∠BAC B.BD=DC C.AD平分BC D.BC=2DC
7.一个三角形的周长为15cm，其中两边都等于第三边的两倍，那么这个三角形最短的边为………………………………………………………………………………( )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
8.在△ABC中，已知∠A=∠B+∠C，则△ABC是…………………………………( )
A.900B.1000C.1100D.1200
11.如图,△ABC中,BO,CO分别是∠BAC,∠ACB的平分线,∠A=700,
则∠BOC的度数是…………………………………( )
A.1400B.1250C.1100D.700
12.如图，把图形沿BC对折点A和点D重合，那么图中全等的三角形有………………( )
阶段性小结：
有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角边角”或“ASA”）
有两个角和一边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）。
ASA
AAS
角平分线和点到直线的距离的概念：
观察图形思考：
①点P到角两边的距离各是什么？（PC和PB）
它们相等吗？
A.1对B.2对
C.3对D.4对
二、专心填一填：（每小题3分，共24分）
13.三角形的内角和等于，三角形的外角和等于.
14.已知直角三角形的两锐角之比为1∶2，则这两个锐角的度数分别为.
15.在△ABC中，∠C=900,∠A=370，则∠B=.
16.在△ABC中，∠B=∠C,∠A=720，则∠C=.
①所带去那一片等于带去了三角形的几个元素？
②这样的三角形唯一吗？
归纳总结：有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。
用数学语言叙述：
如图，在△ABC和△A′B′C′
中,∠B=∠B′,∠C=∠C′
BC= B′C′,则△ABC≌△A′B′C′
有两个角和一边对应相等的两个三角形全等。（简写成“角角边”或“AAS”）
精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：初二课时数：
学员姓名：辅导科目：学科教师：
授课类型
T(同步知识主题)
C（专题方法主题）
T（学法与能力主题）
授课日期及时段
教案内容
三角形的初步知识（2）
一、全等三角形
概念1：能够重合的图形称为全等图形。
概念2：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。
相关的概念：两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点；互相重合的边叫做全等三角形的对应边；互相重合的角叫做全等三角形的对应角。
记作：全等的符号为“≌”。
例如：如图，△ABC与△A′B′C′全等，记作△ABC≌△A′B′C′，对应顶点为：点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′；
对应边为：AB与A′B′，AC与A′C′，BC与B′C′；
对应角为：∠A与∠A′，∠B与∠B′，∠C与∠C′。
注意：记全等三角形时，应将对应顶点的字母写在对应的位置上。
∴PC=PB
强调：点到直线的距离的表示方法，防止出现“∵OP平分∠AOB，∴PC=PB”的错误。
这是证明两线段相等的又一方法。
练习：
1．如图，已知△ABC中，∠C=90°，C
AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，
DE⊥AB于E，且AB=6，则△DEBD
的周长为多少？并请说明理由。
2．设计题：假如你是设计师！A E B
三角形的稳定性和四边形的不稳定性：
2、全等三角形的条件（2）“SAS”
例、小红为了测出池塘两端A，B的距离，她在地面上选择了点O，D，C，使OA=OC，OB=OD，且点A，O，C和点B，O，D都在一条直线上，小红量出DC=18M，她就知道AB的距离了，你想知道为什么吗？
思考：
把两根木条的一端用螺栓固定在一起。
△ABC≌△A′B′C′。
例题：
1．如图，AB，CD相交于O，OA=OB，OC=OD，请问AC平行于BD吗？为什么？
2．如图，已知AB⊥BD，ED⊥CD，且AB=CD，BC=DE，请问△ABC是否全等于CDE？AC是否垂直于CE？为什么？
引伸：若将△CDE沿CB方向平移，且其余条件不变，则结论AC1⊥C2E还成立吗？请说明理由。
25.(本题6分)如图，在△ABC中，（1）作角平分线AD；（2）作AB边上的中线；（3）作AC边上的高.
26.(本题5分)如图，已知中，∠BAC=900,画出BC边上的中线AM,并分别量出AM,BC的长，并比较AM与 BC的大小，若∠BAC不等于900，则结论是否成立.
如图，延长AC至D，使AC=DC，
延长BC至E，使BC=EC，说出
AB=DE的理由，利用本题思路，
请你设计一种测量底部不可到
达的物体的宽度（如湖面宽、山宽等）。
第一章三角形的初步认识
一、细心选一选（每小题3分，共36分）
1.下列长度的线段能首尾相接构成三角形的是………………………………( )
A.4，2，2B.6，3，2C.2，3，6D.3，6，6
①问：连结另两端所成的三角形能唯一确定吗？
②如果将两条木条之间的夹角（即∠BAC）大小固定，那么
△ABC能唯一确定吗？
归纳：
有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。
（强调：必须是“对应相等”。）
几何语言：
如图，若∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，BC=B′C′则
AB=AC，AD=AE，则还需
添条件（）E D
A．∠B=∠C B．∠D=∠E O
C．∠EAB=∠DAC
D．∠EOB=∠DOC B C
2、全等三角形的条件（3）“AAS”
例：小美不小心将一块三角形玻璃摔碎成如图（1）三片，现在只需带上其中一片，玻璃店的师傅就能重新配一块与原来相同的三角形玻璃，你知道应带哪一片玻璃去吗？
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
几何语言：如上图：∵△ABC≌△A′B′C′
∴AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，
∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′
二、全等的条件
1、全等三角形的条件（1）“SSS”
三角形全等判定条件：有三边对应相等的两个三角形全等。（简写成“边边边”或“SSS”）
4.在△ABC中,∠A=360,∠B=470.则△ABC是…………………………………( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形
5.在三角形中，最大的内角不能小于…………………………………………( )
A.300B.450C.600D.900
6.若AD是△ABC的中线则下列结论不正确的是………………………………( )
24.(本题5分)如图，已知△ABC中，∠ACB=900,CD⊥AB,∠BCD=310,求∠B的度数.
24.(本题6分)如图，已知AB=DC，AD=BC,说出下列判断成立的理由：
(1)△ABC≌△CDA (2)∠B=∠D
23.(本题5分)如图，已知BD=CD，∠1=∠2.
说出△ABD≌△ACD的理由.
练习：
1．下列条件中，可以确定△ABC和△A′B′C′全等的是（）
A．BC=BA，B′C′=B′A′，∠B=∠B′
B．∠A=∠B′ AC=A′B′ AB=B′C′
C．∠A=∠A′ AB=B′C′ AC=A′C′
D．BC=B′C′ AC=A′B′∠B=∠C′
2．如图，根据“SAS”来判定
△ABD≌△ACE，若已知A
垂足分别是D、F,若∠AED=1400,则∠C=.
三、耐心答一答：（本题有8小题，共40分）
21.(本题4分)已知△ABC的周长为22cm，三边的长度之比为2∶4∶5，求这个三角形的三边长.
22.(本题4分)三角形的三个内角之比为3∶4∶5，求此三角形的三个内角的度数.
23.(本题5分)如图，已知△ABC中，∠BAC=∠C,BD是∠ABC的平分线，∠BDC=750.求∠A的度数.
17.a、b、c是△ABC的三边长，已知a=3cm，b=7cm，则第分别是.
19.如图，△ABC≌△DEF,点B和点E,点A和点D是对应顶点，
则AB=，CB=,∠C=,∠CAB=.
20.如图，△ABC中，∠B=∠C，E是AC上一点，ED⊥BC, DF⊥AB,
2.下列说法正确的是……………………………………………………………( )
A.周长相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等
C.三个角对应相等的两个三角形全等D.三条边对应相等的两个三角形全等
3.三角形的角平分线、中线、高线是………………………………………………( )
A.直线B.射线C.线段D.都可以
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定
9.在下列长度的四根木棒中能与4cm，9cm长的两根木棒首尾相接，钉成一个三角形的是…………………………………………………………………………………( )
A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm
10.锐角三角形中，任意两角之和一定大于( )
②若在角平分线AP上任意取一点P′，作P′B′⊥AB，P′C′⊥AC，垂足分别为点B′，C′，则P′B′与P′C′相等吗？试着说明理由。
③通过对①②的解答，你能得出什么结论？
（学生可能会回答所得到的两个三角形全等等结论。）
归纳：角平分线上的点到角的两边距离相等。
可以表述成：∵OP平分∠BAC
PC⊥AC，PB⊥AB，垂足分别是点C，B，
A.AD平分∠BAC B.BD=DC C.AD平分BC D.BC=2DC
7.一个三角形的周长为15cm，其中两边都等于第三边的两倍，那么这个三角形最短的边为………………………………………………………………………………( )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
8.在△ABC中，已知∠A=∠B+∠C，则△ABC是…………………………………( )
A.900B.1000C.1100D.1200
11.如图,△ABC中,BO,CO分别是∠BAC,∠ACB的平分线,∠A=700,
则∠BOC的度数是…………………………………( )
A.1400B.1250C.1100D.700
12.如图，把图形沿BC对折点A和点D重合，那么图中全等的三角形有………………( )