2019-2020学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.3.2 事件的独立性 Word版缺答案

2．3.2 事件的独立性
[对应学生用书P33]
有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A ＝“从甲箱里摸出白球”，B ＝“从乙箱里摸出白球”．
问题1：事件A 发生会影响事件B 发生的概率吗？ 提示：不影响．
问题2：试求P (A )，P (B )． 提示：P (A )＝35，P (B )＝1
2.
问题3：P (A |B )与P (A )相等吗？ 提示：相等． 问题4：P (AB )为何值？
提示：∵P (A |B )＝错误!＝P (A )， ∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝35×12＝3
10
.
事件的独立性
1．事件A 与B 相互独立就是事件A (或B )是否发生不影响事件B (或A )发生的概率．
2．相互独立事件同时发生的概率：P (AB )＝P (A )P (B )，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．
[对应学生用书P33]
[例1] 容器中盛有5(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？
[思路点拨] 从相互独立事件的定义入手判断． [
精
解
详
析
]
(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为
5
8
，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为5
7.可见，前一事件
是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
[一点通] 解决此类问题常用的两种方法：
(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P (AB )＝P (A )P (B ))可以准确地判定两个事件是否相互独立． (2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
1．同时掷两颗质地均匀的骰子，A ＝{第一颗骰子出现奇数点}，B ＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A ，B 是否相互独立．
解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则
A ＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，共有3种结果．
B ＝{第二颗骰子出现2,4,6点}，共有3种结果．
AB ＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}， 共有C 13·C 13＝9种结果．
由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知 P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，
P (AB )＝C13C13C16C16＝936＝14.
∴P (AB )＝P (A )·P (B )， 即事件A 、事件B 相互独立．
2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A 是事件“第1枚为正面”，B 是事件“第2枚为正面”，C 是事件“2枚结果相同”，问：A ，B ，C 中哪两个相互独立？
解：P (A )＝0.5，P (B )＝0.5，P (C )＝0.5，
P (AB )＝0.25，P (BC )＝0.25，P (AC )＝0.25，可以验证：P (AB )＝P (A )P (B )，P (BC )＝P (B )P (C )，P (AC )＝P (A )P (C )．
∴事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立．
[
2]
制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．
(1)两件都是正品的概率； (2)两件都是次品的概率； (3)恰有一件正品的概率．
[思路点拨] 两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．
[
精
解
详
析
]
记“从甲机床抽到正品”为事件A ，“从乙机床抽到正品”为事件B ，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C ，由题意知A ，B 是相互独立事件．
(1)P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.90×0.80＝0.72； (2)P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝0.10×0.20＝0.02；
(3)P (C )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26.
[一点通] 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义．若A ，B 相互独立，是A 与B ，A 与B ，
A 与
B 也是相互独立的．
3．甲射击命中目标的概率为34，乙射击命中目标的概率为2
3，当两人同时射击同一目标时，该目标被击
中的概率为________．
解析：P ＝34×13＋14×23＋34×23＝11
12.
答案：1112
4．在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为P (甲)＝0.8，P (乙)＝0.6，P (丙)＝0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为________，三人中至少有一人被选上的概率为________．
解析：三人都被选上的概率为 P 1＝P (甲)·P (乙)·P (丙) ＝0.8×0.6×0.5＝0.24.
三人中至少有一人被选中的概率为 P 2＝1－(1－P (甲))·(1－P (乙))·(1－P (丙))
＝1－0.2×0.4×0.5 ＝1－0.04＝0.96. 答案：0.24 0.96
5．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
解：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A ，B ，C 都是相互独立事件．
(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝C23C25·C22C25＝310·110＝3
100
.
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3
100.
(2)P (CA )＝P (C )P (A )＝C13·C 12C25·C23C25＝610·310＝9
50
.
故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是9
50.
[
3]
某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种
事故的每辆汽车，单位可获9
000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，1
11，且
各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
(1)获赔的概率； (2)获赔金额X 的分布列．
[思路点拨] (1)利用对应条件去求获赔的概率； (2)分析X 的所有取值，写出分布列．
[精解详析] 设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，
k ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3独立，且P (A 1)＝19，P (A 2)＝110，P (A 3)＝1
11.
∴P (A 1)＝89，P (A －2)＝910，P (A －
3)＝1011，
(1)该单位一年内获赔的概率为 1－P (A －1A －2A －3)＝1－P (A －1)P (A －2)P (A －
3) ＝1－89×910×1011＝311
.
(2)X 的所有可能值为0,9 000,18 000,27 000.
P (X ＝0)＝P (A －1A －2A －3)＝P (A －1)P (A －2)P (A －
3) ＝89×910×1011＝811
， P (X ＝9 000)＝P (A 1A －2A －3)＋P (A －1A 2A －3)＋P (A －1A －
2A 3) ＝P (A 1)P (A －2)P (A －3)＋P (A －1)P (A 2)P (A －3)＋P (A －1)P (A －
2)P (A 3) ＝19×910×1011＋89×110×1011＋89×910×111 ＝
242990＝1145
， P (X ＝18 000)＝P (A 1A 2A －3)＋P (A 1A －2A 3)＋P (A －
1A 2A 3) ＝P (A 1)P (A 2)P (A －3)＋P (A 1)P (A －2)P (A 3)＋P (A －
1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×1011＋19×910×111＋89×110×111 ＝
27990＝3110
. P (X ＝27 000)＝P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝19×110×111＝1990. 综上知，X 的分布列为
[一点通] 解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A ，B ，它们的概率分别为P (A )，P (B )，则A ，B 中至少有一个发生的事件为A ＋B ；A ，B 都发生的事件为AB ；A ，B 都不发生的事件为A －B －；A ，B 恰有一个发生的事件为A B －＋A －B ；A ，B 中至多有一个发生的事件为A B －＋A －B ＋A －
B －.
6．2014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨．天气预报提示在未来24小时，深圳A ，B 两地区有强降雨的概率分别为56，2
5.则A ，B 两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为________．(假设A ，B 两地距
离较远，是否降雨相互独立)
解析：转化为对立事件求解： P ＝1－16×35＝1－110＝9
10
.
答案：9
10
7．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100 m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别是25，34，13
.如果对这三名短跑运动员的100 m 跑成绩进行一次检测；
(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现恰有几人合格的概率最大？
解：设“甲、乙、丙三人100 m 跑合格”分别为事件A ，B ，C ，显然A ，B ，C 相互独立，P (A )＝2
5，P (B )
＝34，P (C )＝13
， 所以P (A )＝1－25＝35，P (B )＝1－34＝14，P (C )＝1－13＝2
3.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率为
P 3＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝1
10.
三人都不合格的概率为
P 0＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝35×14×23＝110.
所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是1
10
.
(2)因为AB C －，A B －C ，A －BC 两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P 2＝P (AB C －＋A B －C ＋A －
BC ) ＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －
BC )
＝P (A )P (B )P (C －)＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A －
)P (B )P (C ) ＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360
. 恰有一人合格的概率为P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110
－
2360
－
110
＝
2560
＝
5
12
.由(1)(2)知P 0，P 1，P 2，P 3中P 1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．
相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤： (1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的
事件的概率．
[对应课时跟踪训练(十三)]
一、填空题
1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1和A 2是________事件．
解析：由题意知，A 1是否发生，对A 2发生的概率没有影响，所以A 1和A 2是相互独立事件． 答案：相互独立
2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．
解析：设“任取一书是文科书”的事件为A ，“任取一书是精装书”的事件为B ，则A ，B 是相互独立的事件，所求概率为P (AB )．
据题意可知P (A )＝40100＝25，P (B )＝70100＝7
10，
故P (AB )＝P (A )P (B )＝25×710＝7
25.
答案：7
25
3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．
解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝1
2；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第
二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝3
4
.
答案：3
4
4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．
解析：P ＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88. 答案：0.88
5．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于n 2
，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．
解析：设过第一关为事件A ，当抛掷一次出现的点数为2,3,4,5,6点中之一时，通过第一关，所以P (A )＝5
6
.设过第二关为事件B ，记两次骰子出现的点数为(x ，y )，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．
P (B )＝1－P (B )＝1－636＝5
6
.
所以连过前两关的概率为：P (A )P (B )＝25
36
.
答案：2536
二、解答题
6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
(1)甲、乙两地都降雨的概率； (2)甲、乙两地都不降雨的概率； (3)其中至少一个地方降雨的概率． 解：(1)甲、乙两地都降雨的概率为 P 1＝0.2×0.3＝0.06.
(2)甲、乙两地都不降雨的概率为 P 2＝(1－0.2)×(1－0.3)＝0.8×0.7＝0.56. (3)至少一个地方降雨的概率为 P 3＝1－P 2＝1－0.56＝0.44.
7．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响．已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
(1)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？ (2)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率．
解：记“机器甲需要照顾”为事件A ，“机器乙需要照顾”为事件B ，“机器丙需要照顾”为事件C .由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A ，B ，C 是相互独立事件．
(1)由已知得P (AB )＝P (A )P (B )＝0.05， P (AC )＝P (A )P (C )＝0.1， P (BC )＝P (B )P (C )＝0.125.
解得P (A )＝0.2，P (B )＝0.25，P (C )＝0.5.
所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.
(2)记A 的对立事件为A －，B 的对立事件为B －，C 的对立事件为C －
，“这个小时内至少有一台机器需要照顾”为事件D ，则P (A －)＝0.8，P (B －)＝0.75，P (C －
)＝0.5，
于是P (D )＝1－P (A －B －C －
) ＝1－P (A －)P (B －)P (C －
)＝0.7.
所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7.
8．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1. (1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
解：(1)设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”， ∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.
(2)设事件A i表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B i表示“第i个月被投诉的次数为1”，事件C i 表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内共被投诉2次”．
∴P(A i)＝0.4，P(B i)＝0.5，P(C i)＝0.1(i＝1,2)．
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2＋A2C1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，
∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)
＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(B1B2)．
由事件的独立性得
P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.。