江西省赣州厚德外国语学校高三上学期第一次阶段测试—

江西省赣州厚德外国语学校 2018届高三上学期第一次阶段测试
数学（理）试题
考试时间：120分钟 第I 卷（选择题）
一、选择题（每一题都只有唯一的答案，每小题5分，共60分）
1． ( ) A ．
B ．
C ．
D ．
2．设集合，{}
2
40B x x x m =-+=．若，则 ( ) A ．
B ．
C ．
D ．
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ( ) A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4、设p ：x 2－x －20>0，q ：log 2(x －5)<2，则q 是p 的 ( )
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5、已知p ：x ≥k ，q ：3
x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 ( )
A ．(2，＋∞)
B ．上的最大值为4，则m 的值为 ( )
A ．7
B ．28
3
C ．3
D ．4
9．已知函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2
x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，e] B ． C ．(－∞，e) D ．上的最大值为4，则m 的值为( )
A ．7
B ．28
3 C ．3 D ．4
解析： f ′(x )＝x 2－4，x ∈，
f ′(x )＝0时，x ＝2，f ′(x )<0时，0≤x <2，f ′(x )>0时，2<x ≤3. ∴f (x )在上是增函数．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m . ∴在上，f (x )max ＝f (0)＝4，∴m ＝4，故选D.答案： D
9．已知函数f (x )＝e x x
2－k ⎝⎛⎭⎫2
x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－∞，e] B ． C ．(－∞，e) D ．[0，e)
解析： f ′(x )＝x 2e x －2x e x
x 4－k ⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1x ＝(x －2)⎝⎛⎭⎫e x
x －k x 2(x >0)．设g (x )＝e x x
，
则g ′(x )＝(x －1)e x
x 2
，则g (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值为g (1)＝e ，结合g (x )＝e x
x 与y ＝k 的图像可知，要满足题意只需k ≤e 选
A.
10．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种． 故选D ． 11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
12．若2x =-是函数2
1
()(1)e
x f x x ax -=+-的极值点，则的极小值为
A ．
B ．
C ．
D ．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，
则A ⊗B ＝________.
由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )，结合数轴得A ⊗B ＝
{0}∪[2，＋∞)．
14、已知集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －1
x ＋1<0，B ＝{x |(x －b )2<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是________．
解析： 由A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －1x ＋1<0＝{x |(x －1)·(x ＋1)<0}，得－1<x <1，当a ＝1时，B ＝{x |(x －b )2<1}＝{x |b －1<x <b ＋1}，因为A ∩B ≠∅，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＋1>－1，
b －1<1，解得－2<b <2.
15．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品
件数，则____________．
【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的期望公式可得
()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．
16．函数2
3
()sin 4
f x x x =-
的最大值是____________． 【解析】化简
三
角
函
数
的
解
析
式
，
则
()
2231
1cos cos 44
f x x x x x =-+-
=-++=，由可得，当时，函数取得最大值1． 三、解答题：
17、已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．
解析： A ＝{x |x 2－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意． 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意，
则⎩
⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4，解得4
3≤a ≤2.
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤
43，2. (2)要满足A ∩B ＝∅， 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }， 则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤2
3
或a ≥4.
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥4
3，即a <0.
当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.
综上，a 的取值范围为⎝
⎛⎦⎤－∞，2
3∪[4，＋∞)． 18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100
个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）．
附：
，2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．（本题12分）已知函数 （Ⅰ）求函数的定义域； （Ⅱ）若，求的值；
（Ⅲ）判断并证明该函数的单调性. 19．（Ⅰ）由解得.
所以的定义域为 --------------3分 （Ⅱ）3
17
,455log )(2
-==+-=a a a a f 解得 -------------------6分 （Ⅲ）在和上是单调递增的. ---------------7分
证明：任取(,5)(5,)x ∈-∞-⋃+∞，则(,5)(5,)x -∈-∞-⋃+∞，
)(5
5log )55(log 55log 55log )(21222
x f x x x x x x x x x f -=+--=+-=-+=+---=--
为奇函数 ---10分
任取，且，则，
21212112
2
222212112()()5555255log log log log 5555255y f x f x x x x x x x x x x x x x x x
∆=----+-+∆=-=⨯=+++---∆
，x x x x x x ∆-->∆+-∴5255252121
1)(525)(52521211221>-+--+-∴
x x x x x x x x ，0)
(525)
(525log 212112212>-+--+-∴x x x x x x x x
由此证得在上是单调递增的. -------12分 是奇函数在上也是单调递增的. 在和上是单调递增的. 20、已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－e 2x .
(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线平行于x 轴，求函数f (x )的单调区间； (2)若x >0时，总有f (x )>－e 2x ，求实数a 的取值范围． 解析： (1)由f ′(x )＝e x ＋2ax －e 2，得
y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝4a ＝0，则a ＝0. 此时f (x )＝e x －e 2x ，f ′(x )＝e x －e 2. 由f ′(x )＝0，得x ＝2.
当x ∈(－∞，2)时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，2)上单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在(2，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )>－e 2
x ，得a >－e x x 2.设g (x )＝－e x
x 2，x >0，则g ′(x )＝e x (2－x )x 3
.
∴当0<x <2时，g ′(x )>0，g (x )在(0,2)上单调递增； 当x >2时，g ′(x )<0，g (x )在(2，＋∞)上单调递减． ∴g (x )≤g (2)＝－e 24.因此实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－e 24，＋∞. 21．（12分）已知函数2
()ln f ax a x x x x =--，且．
（1）求；（2）证明：存在唯一的极大值点，且．
所以．
（二）选考题：在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系学科*网，曲线的极坐标方程为．
（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足，求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
23已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）；（2）．
【解析】（1）()()
556556
a b a b a ab a b b ++=+++
()()
()
2
3333442
2
2244.
a b a b ab a b ab a b
=+-++=+-≥。