2007年华中科技大学运筹学考研真题及详解【圣才出品】

2007年华中科技大学运筹学考研真题及详解
一、（20分）已经知一个线性规划问题的灵敏度分析报告如表所示。

变动单元格
约束条件
当X 1的目标系数增加2单位，同时X 2的目标系数减少5单位时最优解是否改变？解：x 1的目标系数增加2个单位时，2
40%5
=x 2的目标系数减少5个单位时，
5
35.7%14
=40%35.7%75.7%100%
+=<Q ∴最优解不变。

二、（20分）已知线性规划：
12233123412351236123456max 33320
62540s.t.365600z x C x C x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-++-+++=⎧⎪+++=⎪⎨
+++=⎪⎪⎩，，，，，≥
最优单纯形表如表所示。

（1）填空完成上面单纯形表，并求其对偶问题的最优解。

（2）求出C 2和C 3的值，并确定C 3增加多少时，线性规划有无穷多个最优解。

解：（1）
x 5,x 6为基变量，则1
10032103201B -⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2100320240(,0,0)10403360201C ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪--=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭
∴22
C =1333331003321(2,0,0)1052325201B C C B P C C σ-⎛⎫
⎪⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪=-=--=-=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭
∴33
2
C =
1111
10031273(2,0,0)106333201B C C B P σ-⎛⎫
⎪-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭
同理，
σ填空完成上单纯形表，如表所示。

由单纯形表可得对偶问题的最优解为，最优值为。

*2
003
Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
403
(2)2332
2
C C ==
设C 3增加△C 3时，有无穷多解，则3
0σ'=13
3333331()202
2
B C C C B P C C σ-⎛⎫'=+∆-=+∆-=⇒∆= ⎪⎝⎭
三、（15分）求解线性规划：
1234123451234512345max 46362223
s.t.3360
z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++⎧⎪
++++⎨⎪⎩≤≥，，，，≥
解：化为标准形如下：
123454181234561234578max 4360002223..3360,1,2,,8i
z x bx x x x x x mx x x x x x x s t x x x x x x x x i -=++++++-+++++=⎧⎪++++-+=⎨⎪≥=⎩L 采用单纯形法求解，如表所示。

此时检验均小于等于0，故已达最优，最优解为，最优值为
*
33,0,0,,0,0,0,022T
X ⎛⎫
= ⎪⎝⎭。

33
max 461522
z =⨯+⨯=四、（10分）某人求解某平衡运输问题，得到该问题的最优运输方案和最优运费，然后将某一产地的产量增加20单位，同时将另一销地销量增加20单位，其它数据不变，重新求最优运输方案，结果发现最优运费在运量增加后反而下降，请解释为什么会发生这类现象？
解：运输问题数学模型如下：
11
min ..0,1,2,,;1,2,,m
ij i j m ij i
i ij z CX
x a s t x a x i n j m ===⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪≥==⎪⎩
∑∑L L 当a i 与b j 同时变化时，。

20,20i j a b ∆=∆=运输问题仍保持平衡，由于分配方案将会随着供需量的变化而变化，原来以高价运送到需术点的货物，可能会由于另一个运费更低的供求点，货物的增加，而转变为从这一低运价处供货，这样一调整，就有可能出现，即使供需增加，总运费反而减少的现象。

五、（15分）某人需要在近K 周内购买一种产品，估计未来第k （k
=1，2，…，K ）周价格浮动的概率如表所示，试建立数学规划模型求在哪一周以什么价格购买，使采购价格的数学期望值最小。

解：设阶段变量k =1，2，…，K 表示k 个星期；；
k 10k t ⎧=⎨
⎩
，表示在第周购买
，否则表示第k 周等待，第k +1周购买的的期望值；表示第k 周至第K 周的最优期望
kE s k k ()f s 值。

状态转移方程如下：
{}
k k k kE k kE k k kE 3
kE k k+1k+1ik 1
k 1,E 1k 2k 3k ()min ,10()300400500i f s s s s s t s s s x f s P
s P
P P =-⎧=⎪
⎧⎪
=⎨⎪⎪⎩⎨⎪=⎪⎪=++⎪⎩∑，≤，＞六、（15分）用动态规划方法求解：
2
123
123j max 4322310s.t.0123Z x x x x x x x j =++++=⎧⎪⎨
=⎪⎩≥，，，
解：设阶段变量k=1,2,3表示3个阶段；X k 表示第k 阶段的决策；
S k 表示第k 阶段至第3阶段的剩余量；
表示，第k 阶段至第3阶段的最大值；
()k k f s 状态转移方程：
11441
()max{()()}
()0
k k k k k k k k k k f s V x f s f s S S a x
+++=+⎧⎪
=⎨⎪=-⎩整k=2时，4
222222202
2
()max {3(2)}9
s x f s x S x ≤≤
=+
-令2222222222222882()3(2)(3)9999
x x s x x s x s ψ=+
-=--+22222216816()3()0
999
x x s x ψψ''=+-=>故在或处取最大值。

22()f s 20x =222
s
x =22222222202
222022
223()max ,922279
4max 327024s x S
x f s S S S S S S ≤≤≤≤⎧⎫
=⎨⎬
⎩
⎭⎧⎫
>
⎪⎪⎪⎪=⎨
⎬⎪⎪
≤≤
⎪⎪⎩⎭。