大学物理与数学方法总结

n z
不同，
Sin z=1
 =
ïïîï
ïí춶-=¶¶¶¶=¶¶x v y
u y v x u
这是复变函数可导的必要条件。

函数可导的充要条件是：函数f(z)的偏导数y
v
x v y
u
x u ¶¶¶¶¶¶¶¶,
,
,存在且连续，并且满足柯西—黎曼方程。

在极坐标系下的柯西—黎曼方程：ïïîïïí
춶-=¶¶¶¶=¶¶r j
r j
r r v u v u
11
四 解析函数
若函数f(z)在点0z 及其领域上处处可导，则称f(z)在0z 点解析。

又若f(z)在区域B 上每一点都解析，则称f(z)是区域B 上的解析函数。

上的解析函数。

解析函数是一类特殊的复变函数，具有以下主要性质： 1. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则上解析，则 u(x,y)=1C ,v(x,y)=2C
(1C ,2C 为常数)是B 上的两组正交曲线族。

2. 若函数f(z) = u +iv 在区域在区域B 上解析，则u,v 均为B 上的调和函数。

由性质2可以知道，若给定一个二元调和函数，若给定一个二元调和函数，我们可以将它看做某个解析函数我们可以将它看做某个解析函数的实部的实部（或虚部）（或虚部），利用柯西—黎曼方程求出相应的虚部黎曼方程求出相应的虚部（或实部）（或实部），也就是确定这个解析函数。

这个解析函数。

dy y v dx x v dv ¶¶+
¶¶=
根据柯西—黎曼方程，上式可变为，上式可变为 dy x u dx y u dv ¶¶+
¶¶-=
于是利用曲线积分法、凑全微分显示法或不定积分法可确定这个解析函数。

第二章
一 复变函数的积分
设在复数平面的某段光滑曲线l 上定义了连续函数f(z)，k z 为l 上任一点，则上任一点，则
k k k iy x z +=idy dx dz +=Þ，),(),()(y x iv y x u z f +=
则 ò
ò
ò
++-=l
l
l
dy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u dz z f ),(),(),(),()( 注意：复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点，还与积分路径有关。

二 柯西定理
柯西定理所要讨论的问题是复变函数的积分值与积分路径的关系。

首先应理解单连通区域和复连通区域的概念。

首先应理解单连通区域和复连通区域的概念。

在单连通区域上的柯西定理是，在单连通区域上的柯西定理是，在单连通区域上的柯西定理是，如如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析，则沿B 上任一分段光滑闭合曲线l ，有：，有： ò=l dz z f 0)(
在复连通区域上的柯西定理是在复连通区域上的柯西定理是 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则
òå
ò
==+l n
i l i
dz z f dz z f 1
0)()(
式中l 为区域为边界，诸i l 为区域内边界，积分沿为边界的正方向进行。

为区域内边界，积分沿为边界的正方向进行。

注意：
① 对于区域，正方向是指当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的
左边。

左边。

② 若函数f(z)在单连通区域B 上解析，则沿B 上任一路径l 的积分值只与起点和
终点有关。

终点有关。

③ 对于某个闭单连通区域和闭复连通区域上的解析函数，只要起点和终点固定
不变，当积分路径连续变形但比跳过孔时，函数的积分值不变。

④ 要注意单连通区域和复连通区域之间的相互转化。

要注意单连通区域和复连通区域之间的相互转化。

三 不定积分
在闭单连通区域B 上，当起点0z 固定时，即可定义一个单值函数：
x
x d f z F z
z ò
=
)()(
一个重要的积分：一个重要的积分：
îíì=-ò0
121l z dz
i a
p （l 不包围a 时取0，l 包围a 时取1）
0)(21=-òl
n
dz z i
a p （1-¹n ）
四 柯西公式
若f(z)在闭单连通区域B 上解析，l 为B 的边界线，a 为B 内任一点，则有柯内任一点，则有柯 西公式西公式
dz z z f i
f l
ò-=
a p a )
(21
)(
如果在l 所围区域上存在奇点，要考虑挖去奇点后的复连通区域，则得到复连通 区域的柯西公式区域的柯西公式
x x x p x x
x p d z
f i d z
f i z f R
C l
ò
ò-+
-=
)
(21
)(21
)(
由柯西公式可知：解析函数可求导任意多次。

由柯西公式可知：解析函数可求导任意多次。

第三章
一 复数项级数
复数项无穷级数复数项无穷级数
+++++=å¥
=k k k w w w w w 3210
（k k k iv u w +=）
复数项无穷级数的收敛问题就归结为两个实数项级数å¥=0
k k u 和å¥
=0
k k v 的收敛问题。

由此可看出，复数项无穷级数研究对象是复数项。

由此可看出，复数项无穷级数研究对象是复数项。

几个重要的性质：
① 级数收敛的充要条件是，对于任一给定的小正数e ，必有N 存在，使得N n >
时有：
e <å++=p
n n k k
w
1
（p 为任意正整数）。

② 若级数各项的模组成的级数收敛，若级数各项的模组成的级数收敛，则级数绝对收敛，则级数绝对收敛，绝对收敛的级数必收敛。

③ 绝对收敛的级数各项先后次序可以任意改变，其和不变。

④ 在B 上一致收敛的级数的每一项)(z w k
都是B 上的连续函数，则级数的和k
w
也是B 上的连续函数。

上的连续函数。

二 幂级数
+-+-+=-å¥
=2020100
0)()()
(z z a z z a a z z a
k
k k
（其中
,,,1
00a a z 都是常都是常
数）这样的级数称为以0z 为中心的幂级数。

为中心的幂级数。

应用比值判别法和根植判别法可以判别幂级数是否收敛：可以判别幂级数是否收敛：
1010
1
01l i m l i m
<-=
--+¥
®++¥
®z z a a
a z z a z z a k
k k k
k k k k
则幂级数收敛，否则发散。

收敛半径：则幂级数收敛，否则发散。

收敛半径：
1
lim
+¥
®=
k k
k a a
R
以0z 为圆心作一个半径为R 的圆R C ,幂级数在圆内绝对收敛，在圆外发散。

幂级数在圆内绝对收敛，在圆外发散。

根植判别法：10lim
<-¥
®k
k k z z a 则幂级数收敛，否则发散。

则幂级数收敛，否则发散。

注意：注意：
① 有两个特殊的结论：
t t t t k -=+++++1112 （1<t ） 2
64211
1z
z z z +=
+-+- （1<z ）
② 幂级数 +-+-+=-å¥
=2020100
0)()()(z z a z z a a z z a k
k k 可表示连续函数的回
路积分，即可在积分号下求导任意多次，亦即解析函数。

③ 逐项求导或逐项积分不改变收敛半径。

逐项求导或逐项积分不改变收敛半径。

三 泰勒级数展开
设)(z f 在以0z 为圆心的圆R C 内解析，内解析，则对圆内的任意则对圆内的任意z 点，)(z f 可展为幂级
数
å
¥
=-=
0)
()(k k
k z z a z f 其中其中 !
)
()
()
(210)
(101
k z f
d z f i
a k C
k k R =-=
ò
+
x x x p
1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆。

同心的圆。

所以泰勒级数展开的步骤为：为：
① 求出)(z f 的各阶导数，求幂级数展开的各个序数。

的各阶导数，求幂级数展开的各个序数。

② 带入å¥
=-=
0)
()(k k
k
z z a
z f 即可即可
还可以用间接法求泰勒级数展开。

还可以用间接法求泰勒级数展开。

四 洛朗级数展开
当所研究的区域上存在奇点时，当所研究的区域上存在奇点时，就不能将函数展开为泰勒级数，就不能将函数展开为泰勒级数，就不能将函数展开为泰勒级数，但可展开为洛朗但可展开为洛朗级数。

级数。

设)(z f 在环形区域102R z z R <-<的内部单值解析，则对环域上任一点z ，)(z f 可展为幂级数可展为幂级数
å¥
-¥
=-
=
k k
k
z z
a z f )()
(0
其中其中 x x x p d z f i
a C
k k ò
+-=
1
0)
()
(21
积分路径C 为位于环域内逆时针方向绕内圆一周的任意一闭合曲线。

两种级数展开的比较： 相同点：相同点：
① 展开都是唯一的；展开都是唯一的； ② 展开的最后形式相同；展开的最后形式相同；
③ 洛朗级数的展开往往要借助泰勒级数的展开；洛朗级数的展开往往要借助泰勒级数的展开； 异同点：异同点：
① 所相对的区域不同；所相对的区域不同；
② 虽然展开的最后形式相同，但展开序数不同；
五 孤立奇点的分类
若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小领域内除0z 外处处可导，便称0z 为
)(z f 的孤立奇点。

的孤立奇点。

在挖去孤立奇点0z 而形成的环域上的解析函数)(z f 的洛朗展开级数，或则没有负幂项，负幂项，或则只有有限个负幂项，或则只有有限个负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，在这三种情形下，或则有无限个负幂项，在这三种情形下，或则有无限个负幂项，在这三种情形下，我们我们分别将0z 称为)(z f 的可去奇点，极点及本性奇点。

① 如果0z 是)(z f 的可去奇点，则有：0)(lim 0
a z f z z =®；
② 如果0z 是)(z f 的极点：¥=®)(lim 0
z f z z ，负幂项的最高阶数即为极点0z 的阶；
③ 如果0z 是)(z f 的本性点：)(z f 的极限随z 趋于0z 的方式而定。

的方式而定。

第四章
一 留数定理
如果l 只包围一个孤立奇点0z ，洛朗级数的1
0)
(--z z 项的系数1
-a 称为)
(z f 在点0z 的留数（或残数），记为)(Re 0
z f s 。

如果l 包围)(z f 的n 个孤立奇点n b b b b ,,,321 的情形，做回路n l l l ,,21分别包围
n b
b b b ,,,3
21 ，并使每个回路只有一个奇点，按照柯西定理，并使每个回路只有一个奇点，按照柯西定理 留数定理：留数定理：设函数设函数)(z f 在回路l 所包围区域B 上除有限个孤立奇点n b b b b ,,,321 外解析，在闭区域B 上除n b b b b ,,,321 外连续，则外连续，则
åò==n
j j l b sf i dz z f 1
)(Re 2)(p
留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所谓区域上各奇点的留数之和。

① []非零的有限值=-®)()(0lim
z f z z z z ，即)(Re 0z f s 。

这个式子可用来判断0
z 是
否为函数)(z f 的单极点，同时它又是计算函数)(z f 在单极点0z 的留数的公式。

的留数的公式。

②[]非零的有限值
=-®)()(0lim 0
z f z z m z z ，这个式子可用来判断0z 是否为函数)
(z f 的m 阶极点，但其非零的有限值并非)(z f 在0z 的留数。

的留数。

④ 函数)(z f 在m 阶极点0z 的留数的留数
[]
þ
ýü-îí
ì-=
--®)()()!1(1
)(Re 0
1
)1(0lim
z f z
z dz d m z f s
m
m m z z
Sin z= =),2ò
y )n
s p p
p p l
x k p （傅里叶正弦级数）p d l
x k l
2ò
l
x k p cos
p d d l
x k l
2
ò
ò
òp p
11。