2019-2020年人教A版高中数学选修2-2第一章导数及其应用章末优化总结课件 (共56张PPT)

x－sin x＋cos
xcos x2
x－sin
x＝1＋s1in
，把 2x
x＝π4代入得导数值为12.
答案：B
2．已知 P(－1,1)，Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点， (1)求过点 P，Q 的曲线 y＝x2 的切线方程． (2)求与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程． 解析：(1)因为 y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线 y＝x2 上的点．过 P 点的切线的 斜率 k1＝y′|x＝－1＝－2， 过 Q 点的切线的斜率 k2＝y′|x＝2＝4， 过 P 点的切线方程：y－1＝－2(x＋1)， 即：2x＋y＋1＝0. 过 Q 点的切线方程：y－4＝4(x－2)， 即：4x－y－4＝0.
(2015·高考江苏卷)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)． (1)试讨论 f(x)的单调性； (2)若 b＝c－a(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f(x)有三个不同的零点时，a 的 取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞，求 c 的值． [解析] (1)f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝－23a. 当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2＞0(x≠0)，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当 a＞0 时，若 x∈－∞，－23a∪(0，＋∞)，则 f′(x)＞0，若 x∈－23a，0，则 f′(x) ＜0，
f′(1)≥0 且 f′(2)≥0，解得－54≤a<0. 综上，a 的取值范围是[－54，0)∪(0，＋∞)．
专题三 导数与函数的极值、最值 函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义 域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数 值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值．
(2015·高考山东卷)设函数 f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中 a∈R. (1)讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x＞0，f(x)≥0 成立，求 a 的取值范围． [解析] (1)f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，定义域为(－1，＋∞)， f′(x)＝x＋1 1＋a(2x－1)＝a2x－1x＋x1＋1＋1＝2ax2＋xa＋x＋1 1－a， 设 g(x)＝2ax2＋ax＋1－a， 当 a＝0 时，g(x)＝1，f′(x)＝x＋1 1＞0，函数 f(x)在(－1，＋∞)为增函数，无极值点．
当 a≥0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a≤－12时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－12<a<0 时，f(x)在(0，－a＋1＋a 2a＋1)，(－a＋1－a 2a＋1，＋∞)上单 调递减， 在(－a＋1＋a 2a＋1，－a＋1－a 2a＋1)上单调递增．
当 a＞0 时，Δ＝a2－8a(1－a)＝9a2－8a， 若 0＜a≤89时 ，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，函数 f(x)在(－1，＋∞)为增函数，无 极值点． 若 a＞89时 Δ＞0，设 g(x)＝0 的两根为 x1，x2，且 x1＜x2， 且 x1＋x2＝－12，而 g(－1)＝1＞0，则－1＜x1＜－14＜x2， 所以当 x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当 x∈(x1，x2)，g(x)＜0，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当 x∈(x2，＋∞)，g(x)＞0，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
点 P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．① 又 y1＝f(x1)，② 由①②求出 x1，y1 的值， 即求出了过点 P(x0，y0)的切线方程．
已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－14x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程． [解析] (1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)，即 y＝13x－32.
上是增函数；
②由于 a≠0，故当 a<1 时，f′(x)＝0 有两个根
x1＝－1＋a
1－a，x2＝－1－a
1－a .
若 0<a<1，则当 x∈(－∞，x2)或 x∈(x1，＋∞)时 f′(x)>0，故 f(x)分别在(－∞，x2)，(x1，＋∞)是增函数；
当 x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故 f(x)在(x2，x1)是减函数； 若 a<0，则当 x∈(－∞，x1)或 x∈(x2，＋∞)时 f′(x)<0，故 f(x)分别在(－∞， x1)，(x2，＋∞)是减函数； 当 x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，故 f(x)在(x1，x2)是增函数． (2)当 a>0，x>0 时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3>0，故当 a>0 时，f(x)在区间(1,2)是增 函数； 当 a<0 时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当
(2)解法一：设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1， ∴直线 l 的方程为 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16. 又∵直线 l 过点(0,0)， ∴0＝(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16. 整理得，x30＝－8，∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
3．(2014·高考山东卷)设函数 f(x)＝aln x＋xx＋－11，其中 a 为常数． (1)若 a＝0，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数 f(x)的单调性． 解析：(1)由题意知 a＝0 时，f(x)＝xx＋－11，x∈(0，＋∞)．此时，f′(x)＝x＋2 12， 可得 f′(1)＝12，f(1)＝0，所以曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 x－2y－1＝0. (2)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋x＋212＝ax2＋x2xa＋＋122x＋a， 当 a≥0，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
章末优化总结
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章末检测
专题一 导数的几何意义与曲线的切线方程 导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，因此要准确把握导数的定义，这 是前提．另外，用导数的几何意义求曲线的切线，既降低了思维的难度，也减小了 运算量，使解题过程简洁优美． 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有 两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率 代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定 是切点，可先设切点为 Q(x1，y1)，则切线方程为 y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过
4．函数 f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．
(1)讨论函数 f(x)的单调性；
(2)若函数 f(x)在区间(1,2)是增函数，求 a 的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝0 的判别式 Δ＝36(1－a)
①若 a≥1，则 f′(x)≥0，且 f′(x)＝0 当且仅当 a＝1，x＝－1.故此时 f(x)在 R
(2)由(1)知，函数 f(x)的两个极值为 f(0)＝b，f－23a＝247a3＋b，则函数 f(x)有三个零
点等价于 f(0)·f－23a＝b247a3＋b＜0，从而a－＞2470a，3＜b＜0
a＜0， 或0＜b＜－247a3.
又 b＝c－a，所以当 a＞0 时，247a3－a＋c＞0 或当 a＜0 时，247a3－a＋c＜0. 设 g(a)＝247a3－a＋c，因为函数 f(x)有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3) ∪1，32∪32，＋∞，则在(－∞，－3)上，g(a)＜0，且在1，32∪32，＋∞上，g(a) ＞0 恒成立，从而 g(－3)＝c－1≤0，且 g32＝c－1≥0，因此 c＝1. 此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]，因为函数 f(x)有三个零点， 则 x2＋(a－1)x＋1－a＝0 有两个异于－1 的不等实根，所以 Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2 ＋2a－3＞0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，解得 a∈(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞. 综上，c＝1.
解法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)， 则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16， 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1， ∴x30＋xx00－16＝3x20＋1， 解之得，x0＝－2， ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(2)因为 y′＝2x，直线 PQ 的斜率 k＝42－ ＋11＝1， 切线的斜率 k＝y′| x＝x0 ＝2x0＝1， 所以 x0＝12，所以切点 M12，14， 所以切线方程为 y－14＝x－12，即 x－y－14＝0.
专题二 导数与函数的单调性 利用导数的符号判断函数的单调性是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应 用，它充分体现了数形结合思想，所以是高考中常考命题点．一般是给出函数解析 式后求其单调区间． 在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中， 只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．
(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直， ∴切线的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4， ∴x0＝±1. ∴xy00＝＝－1，14， 或xy00＝＝－－118，. 即切点为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18. 即y＝4x－18或y＝4x－14.
所以函数 f(x)在－∞，－23a，(0，＋∞)上单调递增，在－23a，0上单调递减； 当 a＜0 时，若 x∈(－∞，0)∪－23a，＋∞时，则 f′(x)＞0，若 x∈0，－23a，则 f′(x)＜0，所以函数 f(x)在(－∞，0)，－23a，＋∞上单调递增，在0，－23a上单调 递减．
x2＝－a＋1－a 2a＋1；
由 x1＝a＋1－－a2a＋1＝
a2＋2a＋1－ －a
2a＋1 >0.
所以 x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； x∈(x1，x2)时 g(x)>0，f′(x)>0 函数 f(x)单调递增； x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0 函数 f(x)单调递减． 综上可得：
1．曲线
y＝sin
sin x x＋cos
x－12在点
Mπ4，0处的切线的斜率为(
)ห้องสมุดไป่ตู้
A．－12
1 B.2
C．－
2 2
2 D. 2
解 析 ： 本 小 题 考 查 导 数 的 运 算 、 导 数 的 几 何 意 义 ， 考 查 运 算 求 解 能 力 ． y′ ＝
cos
xsin
x＋cos sin
当 a<时，令 g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于 Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当 a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－x12x＋x－1122≤0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ②a<－12时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ③当－12<a<0 时 Δ>0 设 x1x2(x1<x2)是函数 g(x)的两个零点， 则 x1＝－a＋1＋a 2a＋1，