人教A版高中数学必修三第一章 算法初步1 章末高效整合
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解析： 算法步骤如下： 第一步：输入购物金额 x. 第二步：判断 x≤300 是否成立，若成立，则 y＝x；否则，执行第三步. 第三步：判断 x≤500 是否成立，若成立，则 y＝0.9x；否则，y＝0.8x. 第四步：输出 y，结束算法.
程序框图如下：
2.铁路部门托运行李的收费方法如下：y 是收费额(单位：元)，x 是行李重量 (单位：kg)，当 0<x≤20 时，按 0.35 元/kg 收费，当 x>20 kg 时，20 kg 的部分按 0.35 元/kg 收费，超出 20 kg 的部分，则按 0.65 元/kg 收费.
[特别提醒] 在设计算法时注意：(1)与解决所求问题的一般方法相联系，并 从中提炼与概括步骤；(2)将解决问题的过程划分为若干步；(3)引入有关的参数 或变量对算法步骤加以表述.
用自然语言描述将全班 40 名学生中考试成绩不及格者的分数打印出来.
解析： 第一步，令 n＝1. 第二步，若 n 大于 40，则执行第七步； 否则，执行下一步. 第三步，输入一成绩 G. 第四步，将 G 和 60 作比较.若 G 小于 60，则打印出分数 G； 否则，执行下一步. 第五步，使 n 的值加 1. 第六步，返回到第二步. 第七步，算法结束.
答案： A
5.执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 4，则输出 s 的值为
Ｗ.
解析： 明确程序框图的功能，在循环条件控制下，得出最后结果. 第一步运算结果：s＝1，i＝2(i≤4 成立)；第二步运算结果：s＝2，i＝3(i≤4 成立)；第三步运算结果：s＝4，i＝4(i≤4 成立)；第四步运算结果：s＝7，i＝5(i≤4 不成立)，程序结束，故输出 s 的值为 7. 答案： 7
DO 循环体
LOOP UNTIL 条件
对应程序框图为：
6.使用算法语句时应注意的几个问题： (1)一个输入语句可以对多个变量赋值，中间用“，”隔开，输出语句也类似. (2)赋值号左边只能是变量，而不能是表达式.两边不能对换，若对称，需引 入第三个变量. (3)条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的 正负，确定两数大小等.
(2)辗转相除法 辗转相除法(即欧几里得算法)就是给定两个正整数，用较大的数除以较小的 数，若余数不为零，则将较小的数和余数继续上面的除法，直到余数为零，此时 的除数就是所求的最大公约数. (3)二者的区别与联系 辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除，而更相减损术进行的是减法运 算，即辗转相减，但实质都是一个递归过程.
程序框图及其画法 1.程序框图是用规定的图形和指向线来准确、直观、形象地表示算法的图形. 2.画程序框图的步骤： (1)对问题设计出合理有效的算法； (2)分析算法的逻辑结构； (3)由逻辑结构画出相应的程序框图.
某商场进行优惠促销：若购物金额 x 在 500 元以上，打 8 折；若购物 金额 x 在 300 元以上，打 9 折；否则，不打折.设计算法的程序框图，要求输入 购物金额 x，即能输出实际交款额.
b＝a
解析： 将两个变量的值互换时，要使用中间变量. 答案： B
4.执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为 16，则图中判断框内①处应 填( )
A.3
B.4
C.5
D.12
解析： 按照程序框图依次执行：初始 a＝1，b＝1；第一次循环后，b＝21 ＝2，a＝1＋1＝2；第二次循环后，b＝22＝4，a＝2＋1＝3；第三次循环后，b ＝24＝16，a＝3＋1＝4，而此时应输出 b 的值.故判断框中的条件应为“a≤3？”. 故选 A.
三、基本算法语句 1.赋值语句的一般格式：变量＝表达式 2.输入语句实现算法的信息输入功能，一般格式为 INPUT “提示内容”； 变量. 3.输出语句实现算法的信息输出功能，一般格式为 PRINT “提示内容”； 表达式.
4.条件语句有两种，一种是 IF—THEN—ELSE，其格式是：
IFHale Waihona Puke 条件 语句1答案： 3－2 0
7.任意给出一个数据(正数)，写出以它为半径的圆的周长和面积的一个算法 程序.
解析：
记 PI＝3.141 592 6，算法程序如下： INPUT “请输入圆的半径 r：”；r C＝2*PI*r S＝PI*r^2 PRINT “圆的半径 r＝”；r PRINT “圆的周长 C＝”；C PRINT “圆的面积 S＝”；S END
ELSE 语句2
END IF
THEN
对应的框图为：
另一种是 IF—THEN 语句，其格式是： IF 条件 THEN 语句 END IF
对应的框图为：
5.循环语句 (1)算法中的循环结构是用循环语句来实现的，对应于循环结构中的两种循 环结构，一般程序设计语言也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语言 结构. (2)WHILE 语句的一般格式为：
(4)当型循环是当条件满足时执行循环体，而直到型循环是当条件不满足时 执行循环体.
(5)在解决一些需要反复执行的任务时，如累加求和、累乘求积通常都用循 环语句来实现，要注意循环变量的控制条件.
(6)在循环语句中嵌套条件语句时，有时会在条件语句中添加“ELSE”语句， 添加后，如果没有语句需要执行，就会造成错误.
2.秦九韶算法是多项式求值的优秀算法，秦九韶算法的特点是： (1)化高次多项式求值为一次多项式求值. (2)减少了运算次数，提高了运算效率. (3)步骤重复执行，容易用计算机实现.利用秦九韶算法计算多项式的值的关 键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算用到前 项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不存 在时，可将这些项的系数看成 0，即把这些项看作 0×xn.
WEND PRINT c END
解析： 给出的算法程序对应的程序框图如图所示.
3.以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图. INPUT “x，y＝”；x，y x＝x/3 y＝2*y^2 PRINT x，y x＝2*x－y y＝y－1 PRINT x，y
END
解析： 算法语句每一步骤对应于程序框图的步骤，其框图如下.
6.阅读下面的程序，当分别输入实数 x＝ 3和 x＝0 时，其输出的结果
是
，
Ｗ.
INPUT x
IF x>1 THEN y＝x－2
ELSE y＝2*x
END IF PRINT y END
解析： 由程序可知，它解决的是求分段函数 y＝2xx－，2， x≤x1>1的函数值，显 然，当 x＝ 3时，y＝ 3－2；当 x＝0 时，y＝0.
－x＋1， （x>0） 1.函数 y＝0， （x＝0） 写出给定自变量 x，求函数值 y 的算法.
x＋1， （x<0） 解析： 算法如下：
第一步，输入 x. 第二步，若 x>0，则 y＝－x＋1，然后执行第四步；否则，执行第三步. 第三步，若 x＝0，则 y＝0；否则，y＝x＋1. 第四步，输出 y.
(1)请根据上述收费方法求出 y 关于 x 的函数式； (2)画出程序框图.
解析： (1)y 关于 x 的函数式为： y＝07＋ .35（x，x－20）×（00.6<5x.≤2（0）x>20） (2)程序框图如图所示.
算法语句的设计与应用 算法语句设计的几点说明： (1)条件语句主要用于一些需要进行条件判断的算法；循环语句主要用于有 规律的计算，使用时应注意设计一些合理的计数变量. (2)循环结构的两种格式中，判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同 的，它们恰好相反，两种循环只是实现循环运算的不同方法，它们之间可以互相 转化.
8.设计算法求1×1 2＋3×1 4＋5×1 6＋…＋2
1 013×2
014的值.
解析： 这是一个累加求和问题，共 1 007 项相加，可设计一个计数变量，
一个累加变量，用循环结构实现这一算法.程序框图如图所示：
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
二、程序框图 1.程序框图是用规定的图形和指向线来准确、直观、形象地表示算法的图形. 2.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构
(2)条件结构 (3)循环结构
3.画程序框图的规则 (1)使用标准的框图符号. (2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画. (3)除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是 具有超过一个退出点的唯一符号. (4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果； 另一种是多分支判断，有几种不同的结果. (5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.
B.1 000 011(2) D.1 000 111(2)
解析： 利用除2取余法易得67＝1 000 011(2). 答案： B
3.将两个数 a＝7，b＝8 交换，使 a＝8，b＝7，下面语句中正确的一组是( )
a＝b A. b＝a
c＝b B. b＝a
a＝c
b＝a C. a＝b
a＝c D. c＝b
1.下列说法不正确的是( ) A.任何一个算法一定含有顺序结构 B.一个算法可能同时含有顺序结构、条件结构、循环结构 C.循环结构中一定包含条件结构 D.条件结构中一定包含循环结构 解析： 条件结构中不一定包含循环结构. 答案： D
2.把 67 化为二进制数为( )
A.1 100 001(2) C.110 000(2)
(3)理解五种不同功能的基本算法语句，并懂得兼顾基本语句的格式要求， 从而完成程序设计任务.
[特别提醒] 程序设计中应特别注意的是：条件语句的条件表达和循环语句 中的循环变量的取值范围.
请根据给出的算法程序画出程序框图. a＝1 b＝1 i＝2 WHILE i<＝12 c＝a＋b a＝b b＝c i＝i＋1
四、算法案例 1.求最大公约数 (1)更相减损术 更相减损术(也叫等值算法)是我国古代数学家在求两个正整数的最大公约 数时的一个算法，其操作过程是：对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小 的数，接着把得到的差与较小的数比较，用这两个数中较大的数减去较小的数， 继续上述操作(大数减去小数)，直到产生一对相等的数为止，那么这个数(等数) 即是所求的最大公约数.
第一章
算法初步
知能整合提升
一、算法的设计 1.算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽 象与概括，它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时是重复多次， 但最终都必须在有限个步骤之内完成. 2.设计算法时应注意： (1)与解决该问题的一般方法相联系，从中提炼与概括算法步骤. (2)将解决的问题过程划分为若干步骤. (3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达. (4)用简练的语言将各步骤表达出来.
(3)k 进制数之间的转化，首先转化成十进制数，再转化为其他进制数.
热点考点例析
算法设计 算法概念的特征分析： (1)算法是一种循序渐进解决问题的过程，尤指一种为在有限步骤内解决问 题而建立的可重复应用的计算过程.
(2)算法的特征 ①有穷性：一个算法必须保证它的执行步骤是有限的，即它是能终止的. ②确定性：算法中的每个步骤必须有确切的含义. ③可执行性：算法中的每个步骤都要实践能做的，而且能在有限的时间内完 成. (3)算法是连接人和计算机的纽带，是计算机科学的基础，利用计算机解决 问题需要算法.
3.(1)将 k 进制数转化为十进制数的方法：先把 k 进制数写成用各位上的数字 与 k 的幂的乘积的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.
(2)将十进制数化为 k 进制数的方法是除以 k 取余法，即用 k 连续去除十进 制数(或所得的商)，直到商是零为止，然后把各步得到的余数倒着写出来就是相 应的 k 进制数.
WHILE 条件 循环体
WEND
对应的程序框图为：
当计算机遇到 WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，执行 WHILE 和 WEND 之间循环体；若条件不符合，计算机就不再执行循环体，而 会直接跳到 WEND 语句后，接着执行 WEND 之后的语句.
(3)UNTIL 语句的一般格式为：
程序框图如下：
2.铁路部门托运行李的收费方法如下：y 是收费额(单位：元)，x 是行李重量 (单位：kg)，当 0<x≤20 时，按 0.35 元/kg 收费，当 x>20 kg 时，20 kg 的部分按 0.35 元/kg 收费，超出 20 kg 的部分，则按 0.65 元/kg 收费.
[特别提醒] 在设计算法时注意：(1)与解决所求问题的一般方法相联系，并 从中提炼与概括步骤；(2)将解决问题的过程划分为若干步；(3)引入有关的参数 或变量对算法步骤加以表述.
用自然语言描述将全班 40 名学生中考试成绩不及格者的分数打印出来.
解析： 第一步，令 n＝1. 第二步，若 n 大于 40，则执行第七步； 否则，执行下一步. 第三步，输入一成绩 G. 第四步，将 G 和 60 作比较.若 G 小于 60，则打印出分数 G； 否则，执行下一步. 第五步，使 n 的值加 1. 第六步，返回到第二步. 第七步，算法结束.
答案： A
5.执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 4，则输出 s 的值为
Ｗ.
解析： 明确程序框图的功能，在循环条件控制下，得出最后结果. 第一步运算结果：s＝1，i＝2(i≤4 成立)；第二步运算结果：s＝2，i＝3(i≤4 成立)；第三步运算结果：s＝4，i＝4(i≤4 成立)；第四步运算结果：s＝7，i＝5(i≤4 不成立)，程序结束，故输出 s 的值为 7. 答案： 7
DO 循环体
LOOP UNTIL 条件
对应程序框图为：
6.使用算法语句时应注意的几个问题： (1)一个输入语句可以对多个变量赋值，中间用“，”隔开，输出语句也类似. (2)赋值号左边只能是变量，而不能是表达式.两边不能对换，若对称，需引 入第三个变量. (3)条件语句一般用在需要对条件进行判断的算法设计中，如判断一个数的 正负，确定两数大小等.
(2)辗转相除法 辗转相除法(即欧几里得算法)就是给定两个正整数，用较大的数除以较小的 数，若余数不为零，则将较小的数和余数继续上面的除法，直到余数为零，此时 的除数就是所求的最大公约数. (3)二者的区别与联系 辗转相除法进行的是除法运算，即辗转相除，而更相减损术进行的是减法运 算，即辗转相减，但实质都是一个递归过程.
程序框图及其画法 1.程序框图是用规定的图形和指向线来准确、直观、形象地表示算法的图形. 2.画程序框图的步骤： (1)对问题设计出合理有效的算法； (2)分析算法的逻辑结构； (3)由逻辑结构画出相应的程序框图.
某商场进行优惠促销：若购物金额 x 在 500 元以上，打 8 折；若购物 金额 x 在 300 元以上，打 9 折；否则，不打折.设计算法的程序框图，要求输入 购物金额 x，即能输出实际交款额.
b＝a
解析： 将两个变量的值互换时，要使用中间变量. 答案： B
4.执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值为 16，则图中判断框内①处应 填( )
A.3
B.4
C.5
D.12
解析： 按照程序框图依次执行：初始 a＝1，b＝1；第一次循环后，b＝21 ＝2，a＝1＋1＝2；第二次循环后，b＝22＝4，a＝2＋1＝3；第三次循环后，b ＝24＝16，a＝3＋1＝4，而此时应输出 b 的值.故判断框中的条件应为“a≤3？”. 故选 A.
三、基本算法语句 1.赋值语句的一般格式：变量＝表达式 2.输入语句实现算法的信息输入功能，一般格式为 INPUT “提示内容”； 变量. 3.输出语句实现算法的信息输出功能，一般格式为 PRINT “提示内容”； 表达式.
4.条件语句有两种，一种是 IF—THEN—ELSE，其格式是：
IFHale Waihona Puke 条件 语句1答案： 3－2 0
7.任意给出一个数据(正数)，写出以它为半径的圆的周长和面积的一个算法 程序.
解析：
记 PI＝3.141 592 6，算法程序如下： INPUT “请输入圆的半径 r：”；r C＝2*PI*r S＝PI*r^2 PRINT “圆的半径 r＝”；r PRINT “圆的周长 C＝”；C PRINT “圆的面积 S＝”；S END
ELSE 语句2
END IF
THEN
对应的框图为：
另一种是 IF—THEN 语句，其格式是： IF 条件 THEN 语句 END IF
对应的框图为：
5.循环语句 (1)算法中的循环结构是用循环语句来实现的，对应于循环结构中的两种循 环结构，一般程序设计语言也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语言 结构. (2)WHILE 语句的一般格式为：
(4)当型循环是当条件满足时执行循环体，而直到型循环是当条件不满足时 执行循环体.
(5)在解决一些需要反复执行的任务时，如累加求和、累乘求积通常都用循 环语句来实现，要注意循环变量的控制条件.
(6)在循环语句中嵌套条件语句时，有时会在条件语句中添加“ELSE”语句， 添加后，如果没有语句需要执行，就会造成错误.
2.秦九韶算法是多项式求值的优秀算法，秦九韶算法的特点是： (1)化高次多项式求值为一次多项式求值. (2)减少了运算次数，提高了运算效率. (3)步骤重复执行，容易用计算机实现.利用秦九韶算法计算多项式的值的关 键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算用到前 项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不存 在时，可将这些项的系数看成 0，即把这些项看作 0×xn.
WEND PRINT c END
解析： 给出的算法程序对应的程序框图如图所示.
3.以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图. INPUT “x，y＝”；x，y x＝x/3 y＝2*y^2 PRINT x，y x＝2*x－y y＝y－1 PRINT x，y
END
解析： 算法语句每一步骤对应于程序框图的步骤，其框图如下.
6.阅读下面的程序，当分别输入实数 x＝ 3和 x＝0 时，其输出的结果
是
，
Ｗ.
INPUT x
IF x>1 THEN y＝x－2
ELSE y＝2*x
END IF PRINT y END
解析： 由程序可知，它解决的是求分段函数 y＝2xx－，2， x≤x1>1的函数值，显 然，当 x＝ 3时，y＝ 3－2；当 x＝0 时，y＝0.
－x＋1， （x>0） 1.函数 y＝0， （x＝0） 写出给定自变量 x，求函数值 y 的算法.
x＋1， （x<0） 解析： 算法如下：
第一步，输入 x. 第二步，若 x>0，则 y＝－x＋1，然后执行第四步；否则，执行第三步. 第三步，若 x＝0，则 y＝0；否则，y＝x＋1. 第四步，输出 y.
(1)请根据上述收费方法求出 y 关于 x 的函数式； (2)画出程序框图.
解析： (1)y 关于 x 的函数式为： y＝07＋ .35（x，x－20）×（00.6<5x.≤2（0）x>20） (2)程序框图如图所示.
算法语句的设计与应用 算法语句设计的几点说明： (1)条件语句主要用于一些需要进行条件判断的算法；循环语句主要用于有 规律的计算，使用时应注意设计一些合理的计数变量. (2)循环结构的两种格式中，判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同 的，它们恰好相反，两种循环只是实现循环运算的不同方法，它们之间可以互相 转化.
8.设计算法求1×1 2＋3×1 4＋5×1 6＋…＋2
1 013×2
014的值.
解析： 这是一个累加求和问题，共 1 007 项相加，可设计一个计数变量，
一个累加变量，用循环结构实现这一算法.程序框图如图所示：
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
二、程序框图 1.程序框图是用规定的图形和指向线来准确、直观、形象地表示算法的图形. 2.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构
(2)条件结构 (3)循环结构
3.画程序框图的规则 (1)使用标准的框图符号. (2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画. (3)除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是 具有超过一个退出点的唯一符号. (4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果； 另一种是多分支判断，有几种不同的结果. (5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.
B.1 000 011(2) D.1 000 111(2)
解析： 利用除2取余法易得67＝1 000 011(2). 答案： B
3.将两个数 a＝7，b＝8 交换，使 a＝8，b＝7，下面语句中正确的一组是( )
a＝b A. b＝a
c＝b B. b＝a
a＝c
b＝a C. a＝b
a＝c D. c＝b
1.下列说法不正确的是( ) A.任何一个算法一定含有顺序结构 B.一个算法可能同时含有顺序结构、条件结构、循环结构 C.循环结构中一定包含条件结构 D.条件结构中一定包含循环结构 解析： 条件结构中不一定包含循环结构. 答案： D
2.把 67 化为二进制数为( )
A.1 100 001(2) C.110 000(2)
(3)理解五种不同功能的基本算法语句，并懂得兼顾基本语句的格式要求， 从而完成程序设计任务.
[特别提醒] 程序设计中应特别注意的是：条件语句的条件表达和循环语句 中的循环变量的取值范围.
请根据给出的算法程序画出程序框图. a＝1 b＝1 i＝2 WHILE i<＝12 c＝a＋b a＝b b＝c i＝i＋1
四、算法案例 1.求最大公约数 (1)更相减损术 更相减损术(也叫等值算法)是我国古代数学家在求两个正整数的最大公约 数时的一个算法，其操作过程是：对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小 的数，接着把得到的差与较小的数比较，用这两个数中较大的数减去较小的数， 继续上述操作(大数减去小数)，直到产生一对相等的数为止，那么这个数(等数) 即是所求的最大公约数.
第一章
算法初步
知能整合提升
一、算法的设计 1.算法设计与一般意义上的解决问题不同，它是对一类问题的一般解法的抽 象与概括，它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时是重复多次， 但最终都必须在有限个步骤之内完成. 2.设计算法时应注意： (1)与解决该问题的一般方法相联系，从中提炼与概括算法步骤. (2)将解决的问题过程划分为若干步骤. (3)引入有关的参数或变量对算法步骤加以表达. (4)用简练的语言将各步骤表达出来.
(3)k 进制数之间的转化，首先转化成十进制数，再转化为其他进制数.
热点考点例析
算法设计 算法概念的特征分析： (1)算法是一种循序渐进解决问题的过程，尤指一种为在有限步骤内解决问 题而建立的可重复应用的计算过程.
(2)算法的特征 ①有穷性：一个算法必须保证它的执行步骤是有限的，即它是能终止的. ②确定性：算法中的每个步骤必须有确切的含义. ③可执行性：算法中的每个步骤都要实践能做的，而且能在有限的时间内完 成. (3)算法是连接人和计算机的纽带，是计算机科学的基础，利用计算机解决 问题需要算法.
3.(1)将 k 进制数转化为十进制数的方法：先把 k 进制数写成用各位上的数字 与 k 的幂的乘积的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果.
(2)将十进制数化为 k 进制数的方法是除以 k 取余法，即用 k 连续去除十进 制数(或所得的商)，直到商是零为止，然后把各步得到的余数倒着写出来就是相 应的 k 进制数.
WHILE 条件 循环体
WEND
对应的程序框图为：
当计算机遇到 WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，执行 WHILE 和 WEND 之间循环体；若条件不符合，计算机就不再执行循环体，而 会直接跳到 WEND 语句后，接着执行 WEND 之后的语句.
(3)UNTIL 语句的一般格式为：