高考总复习(北师大版)数学(文)【配套课件】第五章第一节 数列的概念及其函数特性(34张PPT)

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第一节 数列的概念及其函数特性 结束
角度一 形如 an＋1＝anf(n)，求 an 1．(2012·大纲全国卷)已知数列{an}中，a1＝1，前 n 项和
Sn＝n＋3 2an. (1)求 a2，a3；
(2)求{an}的通项公式． 解：(1)由 S2＝43a2 得 3(a1＋a2)＝4a2，
[试一试] 1．已知数列{an}的前 4 项为 1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项
公式为________． 答案：an＝2n－1(n∈N＋) 2．已知数列{an}的通项公式是 an＝22·n3－n－51nn为为偶奇数数，， 则 a4·a3＝________. 解析：a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：54
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第一节 数列的概念及其函数特性 结束
[类题通法] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn，求数列的通项公式，其求解 过程分为三步： (1)先利用 a1＝S1 求出 a1； (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝ Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的 表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符 合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写．
[解] (1)a1＝S1＝2－3＝－1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝ (2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于 a1 也适合此等式，∴an＝4n－5.
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(2)a1＝S1＝3＋b， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 当 b＝－1 时，a1 适合此等式． 当 b≠－1 时，a1 不适合此等式． ∴当 b＝－1 时，an＝2·3n－1； 当 b≠－1 时，an＝32＋·3nb－，1，nn＝≥12，.
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第一节
数列的概念及其函数特性
1．数列的概念 按 一定次序 排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫
作这个数列的 项 ．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an， …，简记为 {an} ，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n 项，也叫数列的 通项 ．
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第一节 数列的概念及其函数特性 结束
1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与 构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．
2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某 一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节 数列的概念及其函数特性 结束
[针对训练] 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1，且6Sn＝ (an＋1)(an＋2)，n∈N＋，求{an}的通项公式． 解：由 a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)， 解得 a1＝1 或 a1＝2， 由已知 a1＝S1>1，因此 a1＝2.
•
结束
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第一节 数列的概念及其函数特性 结束
[练一练] 1．若数列{an}的前 n 项和 S＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则此数
列的通项公式为 an＝________.
答案：2n－11 2．已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋nq，且 a2＝32，a4＝32，
则 a8＝________. 解析：由已知得24pp＋ ＋q2q4＝ ＝3232， ，
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
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第一节 数列的概念及其函数特性 结束
[典例] 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通 项公式：
(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
已知数列前n项和求通项公式的解 题步骤是什么？解题中注意什么？
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第一节 数列的概念及其函数特性 结束
解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N＋)．
(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数 项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×nn1＋1. (3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项 公式an＝ab，，nn为为奇偶数数，. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1， 所以它的一个通项公式an＝10n－1.
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/262021/7/26July 26, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/26
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9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。20 21/7/2 62021/ 7/26Mo nday, July 26, 2021
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021 4:13:35 AM
第一节 数列的概念及其函数特性
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月26日星期一2021/7/262021/7/262021/7/26
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021
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又由 an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)·(an＋2)， 得 an＋1－an－3＝0 或 an＋1＝－an. 因为 an>0，故 an＋1＝－an 不成立，舍去． 因此 an＋1－an－3＝0. 即 an＋1－an＝3，从而{an}是以公差为 3，首项为 2 的等差数列， 故{an}的通项公式为 an＝3n－1.
解得 a2＝3a1＝3.
由 S3＝53a3 得 3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得 a3＝32(a1＋a2)＝6.
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(2)由题设知 a1＝1. 当 n≥2 时，有 an＝Sn－Sn－1＝n＋3 2an－n＋3 1an－1， 整理得 an＝nn＋ －11an－1. 即aan－n 1＝nn＋ －11. ∴an＝a1·aa21·aa23·aa43·aa54·…·aann－－23·aann－ －12·aan－n 1
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[类题通法] 用观察法求数列的通项公式的技巧
(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每 一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、规律，可使用添项、 通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对 于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n＋1 来调整．
解得p＝14， q＝2.
则 an＝14n＋n2，故 a8＝94. 答案：94
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1.下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )
A．an＝1
B．an＝－12n＋1
C．an＝2－sinn2π
D．an＝－1n2－1＋3
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1．辨明数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零 自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取 值时所对应的一列函数值，就是数列． 2．明确 an 与 Sn 的关系
an＝SS1n－Sn－1
n＝1， n≥2.
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• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/262021/7/262021/7/26Jul-2126-Jul-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/262021/7/262021/7/26Monday, July 26, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/262021/7/262021/7/262021/7/267/26/2021
项，有些项小于它的前一项
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3．数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集 N＋(或它的 有限子集) 的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应 的一列 函数值 就是这个数列． 4．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 任一项an 与它的 前一项an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示， 那么这个公式叫数列的递推公式．
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递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以 确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时， 不如通项公式直接.归纳起来常见的命题角度有：
1形如 an＋1＝anfn，求 an； 2形如 an＋1＝an＋fn，求 an； 3形如 an＋1＝Aan＋BA≠0 且 A≠1，求 an.
解析：由 an＝2－sinn2π可得 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….
答案：C
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2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…； (3)a，b，a，b，a，b，…(其中 a，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….
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2．数列的分类
分类原则
类型
按项数
有穷数列 无穷数列
递增数列
按项与项 间的大小
关系
递减数列 常数列
摆动数列
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满足条件
项数_有__限_ 项数_无__限__
an＋1>an
an＋1<an
其中n∈N＋
an＋1＝an
从第2项起有些项大于它的前一