广东省云浮市2020高考数学质量跟踪监视试题

2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ）
A ．1,1010⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1,
(10,)10⎛
⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝
⎭
C ．(1,10)
D ．1,1(1,10)10⎛⎫
⋃
⎪⎝⎭
2．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线2
22:14
y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是
( )
A ．(
B ．)
+∞
C ．(
D ．)
+∞
3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;
② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;
③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为
5
6
. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为
n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n
+=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ） A ．
917
B ．
817
C ．
1735
D ．
935
5．使得()3n
x n N
+⎛
∈ ⎝
的展开式中含有常数项的最小的n 为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．函数cos ()22x x
x x f x -=
+在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若1(1)z a i =+-（a R ∈），|2|z =，则a =（ ）
A ．0或2
B ．0
C ．1或2
D ．1
8．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2
136
V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式2
3112
V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．
227
B ．15750
C ．289
D ．337115
9．函数2sin cos ()20
x x x
f x x =+
在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．
C ．
D ．
10．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．12
25
-
B ．2425
-
C ．
165
D ．
85
11．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）
A ．30i >?
B ．40i >?
C ．50i >?
D ．60i >?
12．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<
D ．{|1e}A
B x x =-<<
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C 1：x 2＋（y －1）2＝r 2（r>0）上存在点P ，且点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q 在圆C 2：（x －2）2＋（y －1）2＝1上，则r 的取值范围是________． 14．数列{}n a 满足*1232321()n n a a na N a n +++
+=-∈，则，n a =_____.若存在n ∈N *使得
1
n n a n
λ+≤
⋅成立，则实数λ的最小值为______ 15．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有____种．
16．曲线()4x
f x x e =-在点()()
0,0f 处的切线方程为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆22:12x C y +=，点()00,P x y 为半圆()22
30x y y =≥+上一动点，若过P 作椭圆C 的两切
线分别交x 轴于M 、N 两点. （1）求证：PM PN ⊥；
（2）当011,2
x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
时，求MN 的取值范围.
18．已知函数2()ln (0)，f x x bx a x a b R =-+>∈.
（1）设2b a =+，若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且121x x ->，求证：12()()34ln 2f x f x ->-； （2）设()()g x xf x =，()g x 在[1,]e 不单调，且1
24b e a
+≤恒成立，求a 的取值范围.（e 为自然对数的底数）.
19．（6分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
122
n n n S a --=
(n ∈N *
).
（1）求1n n a a ++；
（2）令2n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列，并求其前n 项和n T . 20．（6分）已知0a >，函数()|||26|f x x a x =++-有最小值7. （1）求a 的值；
（2）设,0m n >，4m n a +=，求证：
119
18
m n +≥+. 21．（6分）在
cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；
③sin sin 2
A C
b A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________
，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.
22．（8分）设数列{}n a ，{}n b 的各项都是正数，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对任意n *∈N ，都有
22n n n a S a =-，1b e =，21n n b b +=，ln n n n c a b =⋅（e 是自然对数的底数）.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T .
23．（8分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y
关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为
16，获得“二等奖”的概率为1
3
．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．
参考公式：1
2
21
ˆn
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-，71
364i i i x y ==∑，7
21
140i i x ==∑．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解. 【详解】
由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.
因为()()f x f x -=， 所以()f x 为(,0)
(0,)-∞+∞上的偶函数，
因为函数1
1||y y x =
+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=， 所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠， 解得1,1(1,10)10x ⎛⎫
∈⋃ ⎪⎝⎭
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 2．C 【解析】 【分析】
先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】
双曲线22
2:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:1
4
y C x -=没有公共点，所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1C 的离心率(
2
11,5b e a ⎛⎫⎤=+∈ ⎪⎦⎝⎭
.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】
画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；
连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；
直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：
是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：
三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=
23115
22131=2222
BEM ABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 155
1326F EBM
V -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56
，④正确； 故选：C ． 【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题． 4．A 【解析】 【分析】
设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程22
1x y m n
+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分
别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()
(/)()
P AB P B A P A =计算即可. 【详解】
设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程22
1x y m n
+=表示焦点在y 轴上
的双曲线”，由题意，334217()7535P A ⨯+⨯=
=⨯，339
()7535
P AB ⨯==⨯，则所求的概率为
()9
(/)()17
P AB P B A P A =
=. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题. 5．B 【解析】
二项式展开式的通项公式为r -
n 3x n r
r C （），若展开式中有常数项，则3--=02n r r ，解得5
=2
n r ，当r 取2时，n 的最小值为5，故选B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用． 6．C 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性及函数在02
x π
<<时的符号，即可求解.
【详解】 由cos ()()22
x x
x x
f x f x --=-
=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02
x π
<<
时，cos 0x >，
cos ()22
0x x
x x
f x -∴=
+＞，排除选项D ， 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 7．A 【解析】 【分析】
利用复数的模的运算列方程，解方程求得a 的值. 【详解】
由于1(1)z a i =+-（a R ∈），||z ==0a =或2a =.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查复数模的运算，属于基础题. 8．C 【解析】 【分析】
将圆锥的体积用两种方式表达，即2
1
3
V r h π==23
(2)112
r h π，解出π即可. 【详解】
设圆锥底面圆的半径为r ，则2
1
3
V r h π=，又2233(2)112112
V L h r h π≈
=，
故
23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369
π≈=. 故选：C. 【点睛】
本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力. 9．A 【解析】 【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得； 【详解】
解：依题意，22sin()()cos()sin cos ()()2020
x x x x x x f x f x x x ----=+=+=-，故函数()f x 为偶函数，图
象关于y 轴对称，排除C ； 而2
()020
f ππ=-<，排除B ；2
(2)05
f ππ=
>，排除D.
故选：A . 【点睛】
本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 10．B 【解析】 【分析】
根据角终边上的点坐标，求得sin ,cos αα，代入二倍角公式即可求得sin 2α的值. 【详解】
因为终边上有一点(3,4)P -，所以43
sin ,cos 55
αα=
=-， 4324
sin 22sin cos 25525
ααα⎛⎫∴==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
故选：B 【点睛】
此题考查二倍角公式，熟练记忆公式即可解决，属于简单题目. 11．B 【解析】 【分析】
由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案
【详解】
由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？ 故选：B ． 【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 12．D 【解析】 【分析】 【详解】
因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<，{|ln 1}{|0e}B x x x x =<=<<， 所以{|01}A
B x x =<<，{|1e}A B x x =-<<，故选D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
．1] 【解析】 【分析】
设圆C 1上存在点P （x 0，y 0），则Q （y 0，x 0），分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数范围. 【详解】
设圆C 1上存在点P （x 0，y 0）满足题意，点P 关于直线x －y ＝0的对称点Q （y 0，x 0），
则()()()2220
022
001211
x y r y x ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 故只需圆x 2＋（y －1）2＝r 2与圆（x －1）2＋（y －2）2＝1有交点即可，所以|r －
≤r ＋1
11r ≤≤
.
故答案为：1] 【点睛】
此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.
14．12n n a n
-= 12
【解析】 【分析】
利用“退一作差法”求得数列{}n a 的通项公式，将不等式1n n a n λ+≤⋅分离常数1
21
n n λ-≥+，利用商比较法
求得1
21
n n -+的最小值，由此求得λ的取值范围，进而求得λ的最小值.
【详解】 当2n ≥时
123123(1)21n n n a a a n a na -+++⋯+-+=-
1
123123(1)2
1
n n a a a n a --++++-=-
两式相减得(
)(
)1
1212
12n
n n n na --=---=
所以()1
*2n n a n N n
-=∈ 当1n =时，11a =满足上式
综上所述1
2n n a n
-= 存在*
n N ∈使得1n n a n λ+≤⋅成立的充要条件为存在*
n N ∈使得121
n n λ-≥+， 设1
21
n n b n -=+，所以
1122(1)21221
n
n n n b n n b n n +-++==>++，即1n n b b +>， 所以{}n b 单调递增，{}n b 的最小项112b =，即有11,2b λλ≥=的最小值为1
2
.
故答案为：(1). 1
2n n a n
-=
(2). 12 【点睛】
本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查数列单调性的判断方法，考查不等式成立的存在性问题的求解策略，属于中档题. 15．60 【解析】
试题分析：每个城市投资1个项目有3
3
43C A 种，有一个城市投资2个有2
1
2
423C C C 种，投资方案共
33
43C A 2124
23243660C C C +=+=种. 考点：排列组合. 16．310x y --= 【解析】
【分析】
求导，得到()0f '和()0f ，利用点斜式即可求得结果. 【详解】
由于()01f =-，()4x
f x e '=-，所以()0413f '=-=，
由点斜式可得切线方程为310x y --=. 故答案为：310x y --=. 【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）见解析；（2
）⎡⎣.
【解析】 【分析】
（1）分两种情况讨论：①两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线PM 、PN 的斜率都存在，可设切线的方程为()00y y k x x -=-，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为1-，进而可得出结论；
（2）求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出
MN =
，换
元[]20
21,2t x =-∈
，可得出MN =MN 的取值范围. 【详解】
（1）由于点P 在半圆()22
30x y y =≥+上，则22
003x y +=
.
①当两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为x
=1y =或x =1y =，此时PM PN ⊥；
②当两切线PM 、PN 的斜率都存在时，设切线的方程为()00y y k x x -=-（PM 、PN 的斜率分别为
1k 、2k ），
()
()()20022
000022
12422022
y kx kx y k x k y kx x y kx x y =-+⎧⇒++-+--=⎨+=⎩
()()()22
22000016412220k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦
，
(
)
(
)
2
2
20
000
2210x k x y k y ∴--+-=，22
00
122
20012122
y x k k x x --∴⋅===---，PM PN ∴⊥. 综上所述，PM PN ⊥； （2）根据题意得001,0y M x k ⎛⎫
-
⎪⎝⎭、002,0y N x k ⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
001201212
y y k
MN y y k k k k k -=-=⋅=
=
令[]20
21,2t x =-∈
，则
MN =
=
所以，当
11t =时，max MN =，当11
2
t =
时，min MN
=因此，
MN 的取值范围是⎡⎣.
【点睛】
本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题.
18．
（1）证明见解析；（2
）⎢⎥⎣⎦
. 【解析】 【分析】
（1）先求出()f x '，又由121x x ->可判断出()f x 在1,2
a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，故
()()
212ln 142
a a f x f x a -=--，令22a t =>，记()2
2ln 1h t t t t =--， 利用导数求出()h t 的最小值
即可；
（2）由()g x 在[]1,e 上不单调转化为()0g x '=在()1,e 上有解，可得2
3ln 2x a x a
b x
++=，令
()ln 1
3a a x F x x x a
+=+
+，分类讨论求()F x 的最大值，再求解()max 4F x e ≤即可. 【详解】
（1）已知2
2(0),()ln b a a f x x bx a x =+>=-+，
(1)(2)
()2a x x a f x x b x x
--'∴=-+
=， 由()0f x '=可得121
2a x x ==，，
又由121x x ->,知
22
a > ()f x ∴在1,2a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，
()()
()2
121ln 124
2a a
a f x f x f f a ⎛⎫∴-=-=-- ⎪⎝⎭
令22
a
t =
>，记()22ln 1h t t t t =--，则()22ln 2h t t t '=-- 22(1)
()20t h t t t
-''∴=-=>()h t '∴在()2+∞，
上单调递增； ()(2)2(1ln 2)0h t h ''∴>=->，()h t ∴在()2+∞，上单调递增；
()(2)34ln 20h t h -∴>=>，
12()()34ln 2f x f x ∴->-
（2）32
()ln g x x bx ax x =-+，2()32ln g x x bx a x a '∴=-++，
()g x 在[]1,e 上不单调，
()g x '∴在()1,e 上有正有负，()0g x '∴=在()1,e 上有解，
23ln 2x a x a
b x
++∴=
，(1,)x e ∈， 1
24b e a
+
≤恒成立， 记()ln 13a a x F x x x a +=++，则()2223ln 3ln x a x x F x a x a x -⎛⎫
'==- ⎪⎝⎭
，
记2ln ()x G x x =
，3
12ln ()x
G x x
-'∴=，
()G x ∴在(上单调增，在)
e 上单调减.
max 1
()2G x G e
==
于是知 （i ）当
31
2a e
≥即6a e ≤时，()0F x '≥恒成立，()F x 在()1,e 上单调增， ()21
34a F e e e e a
∴=++≤，
2
2
20a e a e ∴-+≤，2244
e e a -+∴≤≤
.
（ii ）当6a e >时，
1
4
F e
a
=>=>，故不满足题意.
综上所述，a∈
⎢⎥
⎣⎦
【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用，考查了分类讨论，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.
19．（1）
1
1
2
n n n
a a
+
+=-；（2）证明见详解，
1
11
22
n n
T
+
=-
【解析】
【分析】
（1）根据
1
1
2
2
n n n
S a
-
-=，可得
11
1
2
2
n n n
S a
++
-=，然后作差，可得结果.
（2）根据（1）的结论，用1
n+取代n，得到新的式子，然后作差，可得结果，最后根据等比数列的前n 项和公式，可得结果.
【详解】
（1）由
1
1
2
2
n n n
S a
-
-=①，则
11
1
2
2
n n n
S a
++
-=②
②-①可得：
111
111
2
222
n n n n n n
a a a
++-
-+=-=-
所以
1
1
2
n n n
a a
+
+=-
（2）由（1）可知：
1
1
2
n n n
a a
+
+=-③
则
2
11
1
2
n n n
a a
+
++
+=-④
④-③可得：2
11
111
222
n n n n n
a a
+++
⎛⎫
-=---=
⎪
⎝⎭
则
1
1
2
n n
b
+
=，且
12
1
2
n n
b
++
=
令1
n=，则
1
1
4
b=，2
1
1
1
1
2
12
2
n
n
n
n
b
b
+
+
+
==
所以数列{}n b是首项为
1
4
，公比为
1
2
的等比数列
所以
1
11
1
1111
42
1
12222
1
2
n
n n n
T
+
⎛⎫
-
⎪
⎛⎫
⎝⎭
==-=-
⎪
⎝⎭
-
【点睛】
本题主要考查递推公式以及,n n S a 之间的关系的应用，考验观察能力以及分析能力，属中档题. 20．（1）4a =.（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由绝对值三解不等式可得()3|3|f x a x ≥++-，所以当3x =时，min ()37f x a =+=，即可求出参数的值；
（2）由44m n +=，可得4(1)8m n ++=，再利用基本不等式求出11
1
m n ++的最小值，即可得证； 【详解】 解：
（1）∵()|||26|f x x a x =++-|||3||3|x a x x =++-+-|()(3)||3|x a x x ≥+--+-
3|3|a x =++-，
∴当3x =时，min ()37f x a =+=，解得4a =. （2）∵44m n +=，∴4(1)8m n ++=， ∴
[]111114(1)118m n m n m n ⎛⎫+=+++⨯ ⎪++⎝⎭14(1)95818
n m m n +⎛⎫=++≥ ⎪+⎝⎭， 当且仅当4(1)1n m m n +=+，即8
3m =，13
n =时，等号成立.
∴
11918
m n +≥+. 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．
21． 【解析】 【分析】
无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sin sin()A B C =+，展开后，可求得B 角，再由余弦定理2222cos b a c ac B =+-求得ac ，从而易求得三角形面积． 【详解】
在横线上填写cos )sin b C a c B -=”.
cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，
得sin sin sin B C C B =. 由0C π<<，得sin 0C ≠.
所以sin B B =.
又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），
所以tan B =又0B π<<，得23
B π
=
.
由余弦定理及b =
得222
22cos
3
a c ac π=+-， 即2
12()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.
所以1sin 2ABC S ac B =
△142=⨯=在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得
2sin sin 2sin cos A C B C ++=.
又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1
cos 2
B =-.又(0,)B π∈， 所以23
B π=
由余弦定理及b =
得222
22cos
3
a c ac π=+- 即2
12()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.
所以11sin 4222
ABC
S
ac B =
=⨯⨯=
在横线上填写“sin sin
2
A C
b A +=”
解：由正弦定理，得sin sin sin 2
B
B A A π-=.
由0A π<<，得sin A θ≠，
所以sin 2
B B =
由二倍角公式，得2sin
cos 222
B B B =.
由022B π<
<，得cos 02B ≠，所以sin 2B =. 所以
23
B π=，即23B π=.
由余弦定理及b =
得222
22cos
3
a c ac π
=+-. 即2
12()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.
所以1sin 2ABC S ac B =△1422
=⨯⨯=【点睛】
本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦定理进行边角转换，求三角形面积时，
①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
22．（1）n a n =，1
2n n b e -=（2）(1)21n
n T n =-⋅+
【解析】 【分析】
（1）当2n ≥时,2
1112n n n a S a ---=-,与22n n n a S a =-作差可得11(2)n n a a n --=≥,即可得到数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对21n n b b +=取自然对数,则1ln 2ln n n b b +=,即{}ln n b 是以1为首项,
以2为公比的等比数列,即可求解；
（2）由（1）可得1
ln 2n n n n c a b n -==⋅,再利用错位相减法求解即可.
【详解】
解:（1）因为0n a >,2
2n n n a S a =-,①
当1n =时,2
1112a S a =-,解得11a =； 当2n ≥时,有2
1112n n n a S a ---=-,②
由①-②得,()()2
2
11112(2)n n n n n n n n a a S S a a a a n -----=---=+≥,
又0n a >,所以11(2)n n a a n --=≥,
即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,故n a n =,
又因为2
1n n b b +=,且0n b >,取自然对数得1ln 2ln n n b b +=,所以
1
ln 2ln n n
b b +=, 又因为1ln ln 1b e ==,
所以{}ln n b 是以1为首项,以2为公比的等比数列,
所以1
ln 2n n b -=,即1
2n n b e -=
（2）由（1）知,1
ln 2n n n n c a b n -==⋅, 所以12
21112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯,③ 123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+⨯,④
③减去④得:2
112222n n n T n --=+++
+-⨯
()()121221212121
n n n n n n n n -=
-⨯=--⨯=---,
所以(1)21n
n T n =-⋅+
【点睛】
本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.
23．（1）ˆ23y x =+；（2）见解析
【解析】 试题分析：
（I ）由题意可得4x =，11y =，则ˆ2b
=，ˆ3a =，y 关于x 的线性回归方程为ˆ23y x =+． （II ）由题意可知二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：()104P X ==
，()13003P X ==，()560018P X ==，()1
90036
P X ==．据此可得分布列，计算相应的数学期望为400EX =元． 试题解析： （I ）依题意：()1
123456747
x =
++++++=， ()158810141517117y =++++++=，72
1140i i x ==∑，7
1
364i i i x y ==∑，
7
172217364741121407167ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，11243ˆˆa y bx =-=-⨯=， 则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23y
x =+． （II ）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：
()1110224P X ==⨯=，()1113002233P X ==⨯⨯=，()11115
6002332618
P X ==⨯+⨯⨯=，
()1119002369P X ==⨯⨯=，()111
12006636
P X ==⨯=．
所以，总金额X 的分布列如下表：
总金额X 的数学期望为030060090012004004318936
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=元．
2019-2020学年高考数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、
C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）
A ．6种
B ．12种
C ．24种
D ．36种
2．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF ⋅的最小值为（ ） A ．-
14
B ．-
12
C ．-l
D ．1
3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）
A ．800
B ．1000
C ．1200
D ．1600
4．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫
=-
⋅ ⎪⎝
⎭
图像可能是（ ） A ． B ．
C
． D ．
5．若双曲线22
214
x y a -=的离心率为3，则双曲线的焦距为（ ）
A ．26
B ．25
C ．6
D ．8
6．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ）
A ．
1637
B ．
949
C ．
937
D ．
311
7．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则22
x y +的取值范围是（ ）
A ．2522⎣
B ．4,85⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]1,8
8．若()()()
2019
2019
012019111x a a x a x -=+++
++，x ∈R ，则2
2019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为
（ ） A ．201912--
B ．201912-+
C ．201912-
D ．201912+
9．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（ ） A ．12i +
B ．12i -+
C ．12i --
D ．12i -
10．已知函数()2
943,0
2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩
，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．()1,0-
C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()4,5
11．下列与函数y x
=
定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2
x
y =
B ．21log 2x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．21
log y x
=
D ．14
y x =
12．已知抛物线C ：2
14
y x =
的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( ) A ．
409
B ．40
C ．16
D ．
163
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，6543214,1a a a a a a +=+--=，则1a 的值为________. 14．抛物线24y x =上到其焦点的距离为1的点的个数为________．
15．如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，
则()
PA PB PC +⋅的最小值为 .
16．设函数()ln ln(2)(0)f x x x ax a =+-+>，若()f x 在(0,1]上的最大值为1
2
，则a =________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为抛物线C 过焦点F 的弦，已知以AB 为
直径的圆与l 相切于点()1,0-. （1）求p 的值及圆的方程；
（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF NF ⊥. 18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2
22sin 2cos 2cos cos 122
A B A B
A B -+++= （1）求角C 的大小
（2）若4,38c CA CB =+=
19．（6分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
()2sin 2cos 0a a ρθθ=>.过点()2,4P --的直线l ：2
22
242
x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若
MN PN
PM MN
=，求实数a 的值. 20．（6分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 满足(
)*
21N n n S a n +=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知数列{}n b 中，113b a =，11n n b b +=+()
*
N n ∈，求数列{}n n a b +的前n 项和n T .
21．（6分）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2
A C
b A B
c ++=. （1）求B ；
（2）若ABC 8，求b.
22．（8分）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）. 已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.
（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；
（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）； （3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式. 参考数据：2401.004 2.61≈.
23．（8分）已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且
()
2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-.
（Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若1,c ABC =∆的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
【分析】
分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数. 【详解】
如果甲单独到A 县，则方法数有22
326C A ⨯=种.
如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12
326C A ⨯=种.
故总的方法数有6612+=种. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】
设点2,4y P y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则点()0,Q y ，()1,0F ，利用向量数量积的坐标运算可得()2211
2164PQ PF y =⋅--，利用二次函数的性质可得最值. 【详解】
解：设点2,4y P y ⎛⎫
⎪⎝⎭，则点()0,Q y ，()1,0F ， 22,0,1,44PQ P y F y y ⎛⎫⎛⎫
∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()22422211
,01,24416416
4PQ P y y y y y F y ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅，
当2
2y =时，PQ PF ⋅取最小值，最小值为1
4
-. 故选：A. 【点睛】
本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题. 3．B 【解析】 【分析】
由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在
[250,350]内的学生人数.
由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查频率直方图的应用，属基础题. 4．D 【解析】 【分析】
先判断函数的奇偶性可排除选项A,C ，当0x +→时，可分析函数值为正，即可判断选项. 【详解】
sin ln ||cos ln ||2y x x x x π⎛
⎫=-⋅=- ⎪⎝
⎭,
cos()ln ||cos ln ||x x x x ∴---=-,
即函数为偶函数， 故排除选项A,C ，
当正数x 越来越小，趋近于0时，cos 0,ln ||0x x -<<， 所以函数sin ln ||02y x x π⎛⎫
=-⋅> ⎪⎝
⎭
，故排除选项B, 故选：D 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题. 5．A 【解析】 【分析】
依题意可得24b =，再根据离心率求出2a ，即可求出c ，从而得解； 【详解】
解：∵双曲线22
214
x y a -=
所以2
24
13e a
=+=，∴22a =，∴6c =，双曲线的焦距为26. 故选：A 【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】
首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【详解】
因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，
五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=， 所以此点取自朱方的概率为937
. 故选：C 【点睛】
本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】
画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得2
2x y +的取值范围.
【详解】
由约束条件作出可行域是由(2,0)A ，(0,1)B ，(2,2)C 三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而2
2x
y +可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到AB 所在的直线220x y +-=的距离是
可行域内的点到原点距离的最小值，此时2
2
2
2
45
OA OB x y OD AB ⋅⎛⎫+===
⎪⎝⎭，点C 到原点的距离是可行
域内的点到原点距离的最大值，此时2222
228x y +=+=.所以22x y +的取值范围是4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
故选：B
【点睛】
本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识. 8．A 【解析】 【分析】
取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2
201901220193331a a a a +⋅+⋅+
+⋅=-，计算得到答案.
【详解】
取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-.
故22019201912201933312a a a ⋅+⋅+
+⋅=--.
故选：A . 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键. 9．B 【解析】 【分析】
根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果. 【详解】
() 22112i i i i +=-=-+.
故选B 【点睛】
本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型. 10．A 【解析】 【分析】
首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0f
f x =，根
据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93x
f x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数
()()y f f x =的零点所在区间.
【详解】
当0x ≤时，()34f x <≤.
当0x ≥时，()2
932log 92log 9x
x
x f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零
点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以 令()()0f
f x =，得()32
log 93x
f x x =+-=，因为()303f =<
，
3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫
=->⨯+-=> ⎪⎝⎭
，
所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
.
故选：A 【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】
分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】
函数y =
的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合.
B 选项，21log 2x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的定义域为R ，不符合. C 选项，2
1
log y x
=的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，1
4y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题. 12．D 【解析】 【分析】
如图所示，过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D ，利用APC BPD ∆∆和FPM BPD ∆∆，联立方
程组计算得到答案. 【详解】
如图所示：过AB 分别作AC l ⊥于C ，BD l ⊥于D .
2PA AF =，则
2433
AC FM =
=， 根据APC BPD ∆∆得到：AP AC
BP BD =，即
4
343
AP BD AP BD =++， 根据FPM BPD ∆∆得到：AF FM BP BD =，即42343
AP BD AP BD +
=++，
解得83AP =，4BD =，故16
3
AB AF BF AC BD =+=+=
. 故选：D .
【点睛】
本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1321 【解析】 【分析】
运用等比数列的通项公式，即可解得1a ． 【详解】 解：65432141a a a a a a +=⎧⎨+--=⎩，∴53
1(1)4
(1)(1)1a q a q a q +=⎧⎨
+-+=⎩， 3155
44
1a a a a ∴⨯
-⨯=，5314()a a a ∴=-，42440q q ∴-+=， 22(2)0q ∴-=，22q ∴=，2q ∴=，44q =， 54114a q a q ∴+=，1(21)1a ∴=，
1
1
a
∴=．
1．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题．
14．1
【解析】
【分析】
设抛物线上任意一点的坐标为()
00
,x y，根据抛物线的定义求得
x，并求出对应的
y，即可得出结果. 【详解】
设抛物线上任意一点的坐标为()
00
,x y，
抛物线24
y x
=的准线方程为1
x=-，由抛物线的定义得011
x+=，解得
x=，此时
y=.
因此，抛物线24
y x
=上到其焦点的距离为1的点的个数为1.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
15．
9
2
-.
【解析】
()2239
222()2()
222
PO PC
PA PB PC PO PC PO PC
+
+⋅=⋅=-≥-=-⨯=-.
16．
1
2
a=
【解析】
【分析】
求出函数的导数，由()
22
()
2
x
f x a
x x
-
'=+
-在
(0,1]上()0
f x
'>，可得()
f x在(0,1]上单调递增，则函数最大值为()
1
1
2
f=，即可求出参数的值.
【详解】
解：()ln ln(2)
f x x x ax
=+-+定义域为()
0,2
()
1122
()
22
x
f x a a
x x x x
-
'
∴=++=+
--
(0,1]
x∈，0
a>。