高三大一轮复习讲义数学文课时作业：双曲线北师大 含解析

课时作业(五十) 双曲线
A 级
1．若k ∈R ，则方程x 2k ＋3＋y 2
k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是( )
A ．－3＜k ＜－2
B ．k ＜－3
C ．k ＜－3或k ＞－2
D ．k ＞－2
2．(2012·云南昆明高三模拟)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的焦点到渐近线的距离等于实轴的长，则该
双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3 C ．2
D. 5
3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1
的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )
A.x 24－y 2
＝1 B ．x 2－
y 2
4
＝1 C.x 22－y 2
3
＝1 D.x 23－y 2
2
＝1 4．(2012·大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )
A.14
B.35
C.34
D.45
5．(2012·东北四校高三模拟)过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若△MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为( )
A.32 B ．2 C. 2
D. 3
6．(2012·江苏启东一模)若双曲线的焦点坐标为(－5,0)和(5,0)，渐近线方程为4x ±3y ＝0，则双曲线的标准方程为________．
7．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m
的值为________．
8．(2012·天津卷)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与双曲线C 2：x 24－y 2
16＝1有相同
的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________.
9．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是5
4
，
且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为________．
10．已知椭圆D ：x 250＋y 2
25＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，
它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．
11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，
焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝
3
3
x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →
，求t 的值及点D 的坐标．
B 级
1．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1，F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，
则双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
2．(2012·重庆卷)设P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左
焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________.
3.如图，直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)
交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝b
a
x 对称的直线
l2与x轴平行．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)求双曲线C的方程．
答案
课时作业(五十)
A 级
1．A 由题意可知，⎩
⎪⎨⎪⎧
k ＋3＞0，
k ＋2＜0，解得－3＜k ＜－2.
2．D 该双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a x ，即bx ±ay ＝0，
焦点F (±c,0)，由点到直线的距离公式可得，d ＝
|bc |
a 2＋
b 2
＝b . 由题意可得，b ＝2a ，∴e ＝
1＋b 2
a
2＝ 5. 3．B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由PF 1中点为(0,2)知，PF 2⊥x 轴，
P (5，4)，即b 2a ＝4，b 2＝4a ，∴5－a 2＝4a ，a ＝1，b ＝2，∴双曲线方程为x 2
－y 2
4
＝1.
4．C 由x 2－y 2＝2知，a 2＝2，b 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴a ＝2，c ＝2. 又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝4， ∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝
(42)2＋(22)2－42
2×42×22
＝3
4
.
5．B 如图所示，△AMF 为等腰直角三角形， |AF |为|AB |的一半，|AF |＝b 2
a
.
而|MF |＝a ＋c ，由题意可得，a ＋c ＝b 2
a ，
即a 2＋ac ＝b 2＝c 2－a 2，即c 2－ac －2a 2＝0. 两边同时除以a 2可得，e 2－e －2＝0， ∵e >1，解得，e ＝2.
6．解析： 由题意可得，该双曲线焦点在x 轴上，c ＝5，b a ＝4
3.
又∵a 2＋b 2＝c 2＝25，解之得，a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2
16＝1.
答案： x 29－y 2
16＝1
7．解析： ∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝
c 2a 2＝m ＋m 2
＋4m
＝5，∴m 2－4m ＋4＝0， ∴m ＝2. 答案： 2
8．解析： 与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－
y 2
16λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝1
4
，则a 2＝1，b 2＝4.又a ＞0，b ＞0，故a ＝1，b ＝2.
答案： 1 2
9．解析： 由PF 1→·PF 2→＝0得PF 1→⊥PF 2→
， 设|PF 1→|＝m ，|PF 2→
|＝n ，不妨设m >n ，
则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，
12mn ＝9，c a ＝5
4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝4c ＝5
， ∴b ＝3，∴a ＋b ＝7. 答案： 7
10．解析： 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.
设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)
∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴
|5a |b 2＋a 2
＝3，得a ＝3，b ＝4，
∴双曲线G 的方程为x 29－y 2
16
＝1.
11．解析： (1)由题意知a ＝23，一条渐近线为y ＝b
a x ，即bx －ay ＝0，
∴
|bc |
b 2＋a 2＝3，∴b 2
＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 2
3＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0，
将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12， ∴⎩⎨⎧
x 0y 0＝43
3，x 20
12－y
20
3＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝43，y 0＝3，
∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)． B 级
1．B 如图所示，
由题意知点P 在右支上．
∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＋|PF 2|≥2c (当点P 在右顶点时取等号)
且|PF 1|－|PF 2|＜2c ，解得1＜c
a ≤3，即1＜e ≤3，故选B.
2．解析： ∵直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1相交，
由⎩⎨⎧
y ＝b 3a
x ，x 2
a 2
－y 2b 2
＝1
消去y 得x ＝32a
4
，
又PF 1垂直于x 轴，∴32a 4＝c ，即e ＝c a ＝32
4.
答案：
32
4
3．解析： (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过一、三象限的渐近线l 1：x a －y
b ＝0的倾斜角为α.
因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P .而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴交点为Q 点． 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.
又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°， 所以tan 30°＝b a ＝33
.
于是e 2
＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝23
3
.
(2)由b a ＝33，于是设双曲线方程为x 23k 2－y 2
k 2＝1，
即x 2－3y 2＝3k 2.
将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中得x 2－3·3(x －2)2＝3k 2.化简得到8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝2
362－4·8·(36＋3k 2)
8
＝
9－6k 2＝3，求得k 2＝1.
故所求双曲线方程为x 23－y 2
＝1.。